Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết rằng \(AA' = 2\) và tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 1\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'D'} \)

b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} \)

c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Đưa hai vectơ về cùng gốc, nghĩa là từ một trong hai vectơ xác định một vectơ bằng vectơ đó sao cho nó có cùng điểm đầu với vectơ còn lại (sử dụng các yếu tố, song song, bằng nhau xuất hiện trong hình lăng trụ kết hợp với khái niệm hai vectơ bằng nhau). Sau khi xác định được vectơ đó ta sẽ tìm được góc giữa hai vectơ cần tìm là một góc nào đó trong hình, dùng kiến thức hình học phẳng về hình thoi đã học để tìm góc. Từ góc tìm được ta tiếp tục tính tích vô hướng giữa haii vectơ bằng công thức đã học.

Ý b: Chứng minh hai vectơ vuông góc, từ đó xác định được góc và tích vô hướng.

Ý c: Tương tự ý a, ngoài ra còn sử dụng kiến thức hình học phẳng trong tam giác ở bước tìm số đo góc.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC}\).

Mặt khác, xét hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot 60}}{2} = {120^ \circ }\).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = {120^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {A'D'}  = AB \cdot AD \cdot \cos {120^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\).

b) Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot BD\), do đó \(\overrightarrow {AA'}  \bot \overrightarrow {BD} \) hay \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {90^ \circ }\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow {AC} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\).

Mặt khác, xét hình tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = 1\) nên tam giác \(ABC\) cân tại B,

mà \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\) suy ra tam giác \(ABC\) là tam giác đều, vì vậy \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {A'C'}  = AB \cdot A'C' \cdot \cos {60^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right| = 1), (left| {overrightarrow b } right| = 2) và (left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}); b) (left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right) cdot left( {overrightarrow a - overrightarrow b } right)); c) (left( {2

  • Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 )

  • Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) (overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'D'} ); b) (overrightarrow {BD} cdot overrightarrow {B'C'} ); c) (overrightarrow {A'B'} cdot overrightarrow {AC'} ).

  • Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} \).

  • Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {AB'} + overrightarrow {AD'} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {CC'} ).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí