Giải bài 1.17 trang 17, 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2 + 3|\cos x|\);

b) \(y = 2\sqrt {\sin x}  + 1\);

c) \(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);                                    

d) \(y = \sin x + \cos x\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1\) nên \(0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3\), do đó\(2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall  \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi:

\(|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi:

\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

b) Điều kiện \(\sin x \ge 0\). Vì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le \sqrt {\sin x}  \le 1\) nên \(0 \le 2\sqrt {\sin x}  \le 2\), do đó \(1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x}  \le 3\) với mọi x thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hay \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

c) Ta có \(y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x \)

\(= 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x \)

\(= \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x\).

Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),

Do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi:

\(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi:

\(\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

d) Ta có \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi\)

\(  \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\(\Rightarrow x =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \).