Đề thi giữa kì 2 Toán 9 - Đề số 4

Vì tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {QMP} = \widehat {QNP}\) (hai góc nội tiếp chắn cung PQ), suy ra  \(\widehat {QNP} = 40^\circ \).

Ta có: \(\widehat {MNP} = \widehat {MPQ} + \widehat {QNP} = 60^\circ  + 40^\circ  = 100^\circ \).

Áp dụng định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp, ta có: \(\widehat {MQP} + \widehat {MNP} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MQP} = 180^\circ  - \widehat {MNP} = 180^\circ  - 100^\circ  = 80^\circ \).

Đáp án C

a) Sai

Vì \(\widehat {ACM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACM} = 90^\circ \).

b) Đúng

Xét (O) có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = 90^\circ \left( {AH \bot BC} \right)\)

Lại có: \(\widehat {OAC} + \widehat {AMC} = 90^\circ \) (tam giác ACM có \(\widehat {ACM} = 90^\circ \)).

Suy ra \(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {OAC} + \widehat {AMC}\)

nên \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\)

c) Đúng

Tam giác BOC cân tại O (OB = OC = R) có I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra \(OI \bot BC\)

Mà \(AH \bot BC\) nên \(OI//AH\).

d) Sai

Xét (O) có \(\widehat {ANM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ANM} = 90^\circ \) suy ra \(AN \bot NM\)

Mà \(BC \bot AN\) suy ra \(MN//BC\). Do đó tứ giác BCMN là hình thang. (1)

Ta lại có: \(\widehat {BAN} = \widehat {CAM}\) (vì \(\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\))

Do đó: $\overset\frown{BN}=\overset\frown{CM}$

$\overset\frown{BN}+\overset\frown{MN}=\overset\frown{CM}+\overset\frown{MN}$

$\overset\frown{BNM}=\overset\frown{CMN}$

Do đó \(\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCMN là hình thang cân.

Đáp án: SĐĐS

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) = 4 - 4m + 12 =  - 4m + 16\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\) hay \( - 4m + 16 \ge 0\), suy ra \(m \le 4\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{1} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{1} = m - 3\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = {2^2} - 2\left( {m - 3} \right) + {\left( {m - 3} \right)^2}\\ = 4 - 2m + 6 + {m^2} - 6m + 9\\ = {m^2} - 8m + 19\\ = {m^2} - 8m + 16 + 3\end{array}\)

\( = {\left( {m - 4} \right)^2} + 3 \ge 3\) với mọi \(m\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi \(m - 4 = 0\) hay \(m = 4\).

Vậy \(m = 4\) thì P đạt giá trị nhỏ nhất.