Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ là \(\vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{u}} \right|.\cos \left( \vec{u};\vec{v} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({{\left| \vec{u}+\vec{v} \right|}^{2}}={{\left( \vec{u}+\vec{v} \right)}^{2}}={{\left| {\vec{u}} \right|}^{2}}+2\vec{u}.\vec{v}+{{\left| {\vec{v}} \right|}^{2}}\) mà \(\vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{u}} \right|.\cos \left( \vec{u};\vec{v} \right)=2.5.\cos {{120}^{0}}=-\,5.\)

Vậy \({{\left| \vec{u}+\vec{v} \right|}^{2}}={{2}^{2}}+2.\left( -\,5 \right)+{{5}^{2}}=19\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=\sqrt{19}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hình học lớp 11, khi H là trực tâm của tam giác ABC với tam diện vuông OABC thì OH vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Lời giải chi tiết:

Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta \,ABC\)  và \(O.ABC\) là tam diện vuông tại \(O\)

\(\Rightarrow \,\,OH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-\,3}=1\Leftrightarrow 6x+3y-2z-6=0.\)

Vậy \(OH=d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| 6.0+3.0+2.0-6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{6}{7}.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tích hỗn tạp để tính thể tích tứ diện : \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD} \right) \right|.\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \left( {0; - \,2;0} \right)\\
\overrightarrow {AD} = \left( {1; - \,1; - \,2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0\\
{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
{ - 2}&1
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 2}\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;0;  2} \right)\)

Có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;\ -2;\ -3 \right).\)

\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right)=-1.4-2.0+2.\left( -3 \right)=-10.\)

Vậy thể tích tứ diện \(ABCD\) là \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right) \right|=\frac{1}{6}.10=\frac{5}{3}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

\(\cos A = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{AB.AC}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 21\)

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {42} ;\,\,AC = \sqrt {14} \\ \Rightarrow \cos A = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{AB.AC}} = \frac{{21}}{{\sqrt {42} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A = {30^0}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {0;m;0} \right) \in Oy\). Điểm M cách đều hai điểm A, B \( \Leftrightarrow MA = MB\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {0;m;0} \right) \in Oy\) ta có \(M{A^2} = {2^2} + {\left( {m - 1} \right)^2};\,\,M{B^2} = {\left( {m - 4} \right)^2} + {5^2}\)

Điểm M cách đều hai điểm A, B \( \Leftrightarrow MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow 4 + {\left( {m - 1} \right)^2} = {\left( {m - 4} \right)^2} + 25\)

\( \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 = {m^2} - 8m + 16 + 25 \Leftrightarrow 6m = 36 \Leftrightarrow m = 6\).

Vậy \(M\left( {0;6;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ vectơ BC, tính độ dài BC và áp dụng công thưc đường trung tuyến tìm độ dài

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A{{B}^{2}}={{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=9\), \(A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}=61\), \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=1.3+\left( -2 \right)\left( -4 \right)+2.6=23\).

Và \({{\overrightarrow{BC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}\)\(={{\overrightarrow{AC}}^{2}}+{{\overrightarrow{AB}}^{2}}-2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\)\(=61+9-2.23=24\).

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: \(A{{M}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}\)\(=\frac{9+61}{2}-\frac{24}{4}=29\).

Vậy \(AM=\sqrt{29}\).

Chọn C

Phương pháp giải:

Đường thẳng d và d’ có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) \( \Rightarrow \cos \left( {\widehat {d;d'}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\) .

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( {1;2; - 1} \right)\)

 \( \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB;AC}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {AB;AC}} \right) = {60^0}\)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Để ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right].\,\overrightarrow c  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Để ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right].\,\overrightarrow c  = 0\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 4;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right].\,\overrightarrow c  =  - 4.m + 1.1 + 2.0 =  - 4m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{4}\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướng \( \Leftrightarrow \exists k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướng \( \Leftrightarrow \exists k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k.1\\m - 1 = 3k\\3 =  - 2nk\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m - 1 = 6\\3 =  - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m = 7\\n = \dfrac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\,\,\,\overrightarrow v  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)là: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1 \Leftrightarrow 2.0 + \left( { - 1} \right)\left( { - 3} \right) + 1.\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD; G là trung điểm của MN

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm tứ diện ABCD

\( \Rightarrow G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right) \Rightarrow G\left( {1;2;0} \right)\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Hình đa diện được lập thành là hình bát diện đều.

Lời giải chi tiết:

Tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 3\) là hình bát diện đều SABCDS’ (như hình vẽ)

Thể tích V của khối đa diện đó :

\(V = 2.{V_{S.ABCD}} = 2.\dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}}\)

\(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(BC = OB.\sqrt 2  = 3\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\)

\( \Rightarrow V = 2.\dfrac{1}{3}.3.18 = 36\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Nếu \(\exists k \ne 0:\,\,\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \) ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;10; - 14} \right);\,\,\overrightarrow {MF}  = \left( { - 1; - 5;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  =  - 2\overrightarrow {MF} \).

Vậy \(M,N,F\) thẳng hàng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right);\,\,\overrightarrow v  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow u  \pm l\overrightarrow v  = \left( {k{a_1} \pm l{a_2};k{b_1} \pm l{b_2};k{c_1} \pm l{c_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - a; - 1 - b; - c} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( { - a;2 - b; - c} \right)\\\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - a;1 - b;3 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {3 - a; - 2 - b;3 - c} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a = 0\\ - 2 - b = 0\\3 - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3; - 2;3} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \left( {a;b;c} \right)\\\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {OB}  = \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \frac{{a - 2b - 2c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }};\,\,\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{2a + 2b + c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Theo bài ra ta có : \(\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow a - 2b - 2c = 2a + 2b + c \Leftrightarrow a + 4b + 3c = 0\).

Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc mặt phẳng \(x + 4y + 3z = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {OA}  = 3\vec i + \vec j - 2\vec k \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {3;1; - 2} \right) \Rightarrow A\left( {3;1; - 2} \right)\)

Khi đó ta có \(A{B^2} = {\left( {m - 3} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} + {\left( { - 4 + 2} \right)^2}\) .

Theo bài ra ta có \({\left( {m - 3} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} + {\left( { - 4 + 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 2{m^2} - 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 1\end{array} \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hai điểm: \(A\left( {{x_1};\,{y_1};\,{z_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,{y_2};\,{z_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đề bài, ta có \(AB = \left| a \right|;\,\,AD = 2\left| a \right|;\,\,AA' = 2\left| a \right|.\)

\(AC' = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 4{a^2}}  = 3\left| a \right|.\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right);\,\overrightarrow v  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)  thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i \sqrt 3  + \overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \overrightarrow j \sqrt 3  + \overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \sqrt 3 .0 + 0.\sqrt 3  + 1.1 = 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \(S = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;2} \right)\).

Nên \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cộng trừ các vectơ.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow u  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + t\overrightarrow c ,\,\,\left( {m,n,t \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - n + 4t =  - 2\\ - 2m + n = \dfrac{1}{2}\\2n + 6t = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{3}{2}\\t =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow a  + \dfrac{3}{2}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow c \).

Chọn: A

Phương pháp giải:

+) Gọi tọa độ điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và điểm \(B\) thuộc trục \(Oz\).

+) Sử dụng công thức trọng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right),B\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).

Do \(G\left( {2;5;8} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{a + 0 + 1}}{3}\\5 = \dfrac{{b + 0 + 1}}{3}\\8 = \dfrac{{0 + c + 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 14\\c = 23\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {5;14;0} \right),B\left( {0;0;23} \right)\).

Chọn D

Phương pháp giải:

\(AM\) là trung tuyến của tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;0;4} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1; - 1;4} \right)\\ \Rightarrow AM = \sqrt {1 + 1 + 16}  = 3\sqrt 2 \end{array}\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) đến trục \(Oy\) là \(\sqrt {{a^2} + {c^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) đến trục \(Oy\) là \(d = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \).

Chọn B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức cộng, trừ và nhân vecto với một hằng số.

\(\overrightarrow u \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right) = \overrightarrow v \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - a;\,\,3 - b; - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( {3 - a;\, - 1 - b;\,\,5 - c} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left( {1 - a;\,\,3 - b; - 1 - c} \right) = 3\left( {3 - a; - 1 - b;\,\,5 - c} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 9 - 3a\\3 - b =  - 3 - 3b\\ - 1 - c = 15 - 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 3\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 3;\,\,8} \right).\end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Quy tắc hình hộp .

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {1; - 2;0} \right)\\\overrightarrow {AA'}  = \left( {3;0;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} + 1 = 2\\{y_{C'}} - 1 =  - 1\\{z_{C'}} - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = 1\\{y_{C'}} = 0\\{z_{C'}} = 1\end{array} \right.\,\, \Rightarrow C'\left( {1;0;1} \right)\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Cho các vecto: \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right).\) Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow c  = \left( {1;\,\,1;\,\,1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\(\overrightarrow a  = \left( { - 1;\,\,1;\,\,0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2  \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\overrightarrow b .\overrightarrow c  = \left( {1;\,\,1;\,\,0} \right).\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right) = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow b \) không vuông góc với \(\overrightarrow c  \Rightarrow \) đáp án C sai.

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Cho ba điểm \(A\left( {{x_1};\,{y_1};\,{z_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,{y_2};\,{z_2}} \right),\,\,C\left( {{x_3};\,{y_3};\,{z_3}} \right)\) thì tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};\,{y_G};\,{z_G}} \right)\) của \(\Delta ABC\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(G\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{3 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = 1\\b = \dfrac{{ - 2 + 2 + 0}}{3} = 0\\c = \dfrac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 0 + 3 = 4.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho các vecto: \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right).\) Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \pm \overrightarrow v  = \left( {{x_1} \pm {x_2};\,\,{y_1} \pm {y_2};\,\,{z_1} \pm {z_2}} \right)\\k\overrightarrow u  = \left( {k{x_1};\,\,k{y_1};\,\,k{z_1}} \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow b  - \overrightarrow a  + 2\overrightarrow c  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow b  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow c \)

\(\overrightarrow b  = \left( {3;\,\,0;\,\,1} \right) - 2\left( {1;\,\,1;\,\,0} \right)\)\( = \left( {3 - 2;\,\,0 - 2.1;\,\,1 - 2.0} \right) = \left( {1;\, - 2;\,\,1} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

- Gọi \(A\left( {a;0;0} \right) \in Ox\), \(B\left( {0;b;0} \right) \in Oy\), \(C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\end{array} \right.\) tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.SB.SC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right) \in Ox\), \(B\left( {0;b;0} \right) \in Oy\), \(C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {SB}  = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {SC}  = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) - 2\left( {b - 2} \right) + 4 = 0\\16 - 2\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c - 2} \right) = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 4 - 2\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b + 24 = 0\\ - 2b - 2c + 24 = 0\\ - 4a - 2c + 24 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 6\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow A\left( {3;0;0} \right);\,\,B\left( {0;6;0} \right);\,\,C\left( {0;0;6} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3\\\,\,\,\,\,\,SB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 6\\\,\,\,\,\,\,SC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 6\end{array}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.SB.SC = \dfrac{1}{6}.3.6.6 = 18\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Vecto \(\overrightarrow a \) và veco \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,\,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {m;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;\,\,n;\,\,2} \right)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {m;\,\,2;\,\,3} \right) = k\left( {1;\,\,n;\,\,2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = k\\2 = kn\\3 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{3}{2}\\m = \dfrac{3}{2}\\n = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2m + 3n = 2.\dfrac{3}{2} + 3.\dfrac{4}{3} = 7.\end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\left( {x;0;0} \right) \in Ox\).

- Điểm \(M\) cách đều hai điểm \(A,\,\,B\) nên \(MA = MB\).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

- Giải phương trình tìm \(x\) và suy ra tọa độ điểm \(M\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {x;0;0} \right) \in Ox\). Theo giả thiết: Điểm \(M\) cách đều hai điểm \(A,\,\,B\) nên ta có: \(MA = MB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} = M{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {2 - 0} \right)^2} + {\left( { - 1 - 0} \right)^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 2 - 0} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 5\\ \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm \(G\): \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\).

- Đoạn thẳng \(GM\) có độ dài ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right).\)

- Hình chiếu của điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) lên \(\left( {Oxz} \right)\) là \(M'\left( {a;0;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{2 + 4 + 3}}{3} = 3\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{5 + 1 - 3}}{3} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {2;3;1} \right).\) 

Do \(M\) là điểm nằm trên \(mp\left( {Oxz} \right)\) và \(MG\) ngắn nhất nên \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(\left( {Oxz} \right).\)

Do đó, \(M\left( {2;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MG} \left( {0;3;0} \right) \Rightarrow MG = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {0^2}}  = 3.\)

Vậy .. có độ dài ngắn nhất bằng \(3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \).

- Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow b  = \left( {1;2;m} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow c  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] \Rightarrow \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right) = \left( {5;1;7} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\).

- Vì \(\overrightarrow p \) cùng hướng với \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) nên \(\overrightarrow p  = k\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) với \(k > 0\).

- Tìm \(\overrightarrow p \) và tính \(\left| {\overrightarrow p } \right|\), từ đó tìm được hằng số \(k\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow m  = \left( {4;3;1} \right);\,\,\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left( {3; - 4;0} \right).\)

Mà \(\overrightarrow p ;\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) cùng hường nên \(\overrightarrow p  = \left( {3k; - 4k;0} \right);\left( {k > 0} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3k} \right)}^2} + {{\left( {4k} \right)}^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow \sqrt {25{k^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow 5k = 15\,\,\left( {Do\,\,k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow k = 3\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow p  = \left( {9; - 12;0} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {BC} \).

- Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Để \(\overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 4; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {m + 1;2m - 7; - 2} \right)\).

Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) - 4\left( {2m - 7} \right) - 2.\left( { - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5m + 35 = 0 \Leftrightarrow m = 7.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \).

- Tính tích vô hướng: Cho \(\overrightarrow u \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\), \(\overrightarrow v \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\) .

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {0;6; - 7} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = 2.0 + 7.6 - 3.\left( { - 7} \right) = 63\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

- Để góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \) là góc tù thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) > 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {5;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {m; - 1;m + 3} \right)\).

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{5m - 3 - 2m - 6}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }} = \dfrac{{3m - 9}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }}\)

Mà góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) là góc tù nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) < 0\).

\( \Rightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3.\)

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\).

Vậy \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61} \).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên trục Ox có tọa độ là \(\left( {a;0;0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2; - 2;1} \right)\) trên trục Ox có tọa độ là \(\left( {2;0;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình hộp chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(B'\left( {a;b;c} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = B'C' = OA = 6\\b = B'A' = OC = 8\\c = B'B = OO' = 5\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {6;8;5} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow k\overrightarrow u  = \left( {ka;kb;kc} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right),\,\,\overrightarrow v  = \left( {a';b';c'} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {a + a';b + b';c + c'} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + 3\overrightarrow c \\\,\,\,\, = 2.\left( { - 2;0;1} \right) - \left( {1;2; - 1} \right) + 3\left( {0;3; - 4} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 4;0;2} \right) - \left( {1;2; - 1} \right) + \left( {0;9; - 12} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 5;7; - 9} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Để MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \).

- Sử dụng điều kiện để hai vectơ bằng nhau là chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(Q\left( {a;b;c} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;3; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {QP}  = \left( {1 - a; - 1 - b;2 - c} \right)\).

Vì MNPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 1\\ - 1 - b = 3\\2 - c =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 4\\c = 9\end{array} \right.\).

Vậy Q(0;-4;9).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

- Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng của chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có AD // B’C’, AD = B’C’ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và AB’ = DC’.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {DC'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = 1 - {x_D}\\0 - 0 = 1 - {y_D}\\0 - 1 = 0 - {z_D}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 1\\{z_D} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(D\left( {0;1;1} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow w \\\overrightarrow v  \bot \overrightarrow w \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow w \)  cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left( {0;7;0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\)cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).

Vậy \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\) vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\) \(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hai vectơ cùng phương khi \(\frac{x}{{x'}} = \frac{y}{{y'}} = \frac{z}{{z'}}\)

Lời giải chi tiết:

Hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {m;2;3} \right),\overrightarrow b  = \left( {1;n;2} \right)\) cùng phương khi \(\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2m + 3n = 7.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho ba điểm \(A\left( {{x_1};\,{y_1};\,{z_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,{y_2};\,{z_2}} \right),\,\,C\left( {{x_3};\,{y_3};\,{z_3}} \right)\) thì tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};\,{y_G};\,{z_G}} \right)\) của \(\Delta ABC\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_3} = 3{x_G} - {x_1} - {x_2}\\{y_3} = 3{y_G} - {y_1} - {y_2}\\{z_3} = 3{z_G} - {z_1} - {z_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {{x_C};\,\,{y_C};\,\,{z_C}} \right).\) Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.\left( { - 3} \right) - 1 - 2 =  - 12\\{y_C} = 3.1 - 0 - 3 = 0\\{z_C} = 3.4 - \left( { - 1} \right) - 5 = 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( { - 12;\,\,0;\,\,8} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho vecto \(\overrightarrow a  = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( {{a_1};\;{a_2};\;{a_3}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AO}  = 3\left( {\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AO}  = 3\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \left( { - {x_A};\, - {y_A};\, - {z_A}} \right) = 3\overrightarrow i  + 17\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k \\ \Leftrightarrow \left( { - {x_A};\, - {y_A};\, - {z_A}} \right) = \left( {3;\,\,17;\, - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x_A};\,\,\,{y_A};\,\,\,{z_A}} \right) = \left( { - 3; - 17;\,\,2} \right)\\ \Rightarrow A\left( { - 3; - 17;\,\,2} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{1.1 + 1.0 - 2.m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)}  = \sqrt 2 \left( {1 - 2m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {1 + {m^2}} \right) = 2{\left( {1 - 2m} \right)^2}\\1 - 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2\left( {1 - 4m + 4{m^2}} \right)\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2 - 8m + 8{m^2}\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 8m - 4 = 0\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2 \pm \sqrt 6 \\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho các vecto: \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u \left( { - \sqrt 3 ;\,\,0;\,\,1} \right)\\\overrightarrow v \left( {0;\,\,1;\,\,1} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  =  - \sqrt 3 .0 + 0.1 + 1.1 = 1.\)  

Chọn D.