50 bài tập tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi

  • A \(0 < x < 2\)
  • B \(x < 1\)
  • C \(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
  • D \(x < 0\) hoặc \(x > 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

Có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\)

\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}\). Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:

  • A \({3 \over 2}\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + {1 \over {x\sqrt x }} + {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
  • B \(x\sqrt x  - 3\sqrt x  + {3 \over {\sqrt x }} - {1 \over {x\sqrt x }}\)
  • C \({3 \over 2}\left( { - \sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + {1 \over {x\sqrt x }} - {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
  • D \({3 \over 2}\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }} - {1 \over {x\sqrt x }} + {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3}\), đưa các hạng tử về dạng \({x^n}\) và sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3} = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - 3{\left( {\sqrt x } \right)^2}.{1 \over {\sqrt x }} + 3\sqrt x {\left( {{1 \over {\sqrt x }}} \right)^2} - {\left( {{1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}  \cr   & f\left( x \right) = {x^{{3 \over 2}}} - 3\sqrt x  + {3 \over {\sqrt x }} - {1 \over {{x^{{3 \over 2}}}}}  \cr   & f\left( x \right) = {x^{{3 \over 2}}} - 3\sqrt x  + 3{x^{ - {1 \over 2}}} - {x^{ - {3 \over 2}}}  \cr   & f'\left( x \right) = {3 \over 2}{x^{{3 \over 2} - 1}} - {3 \over {2\sqrt x }} + 3.\left( { - {1 \over 2}} \right){x^{ - {1 \over 2} - 1}} + {3 \over 2}{x^{ - {3 \over 2} - 1}}  \cr   & f'\left( x \right) = {3 \over 2}\sqrt x  - {3 \over {2\sqrt x }} - {3 \over 2}{x^{ - {3 \over 2}}} + {3 \over 2}{x^{ - {5 \over 2}}}  \cr   & f'\left( x \right) = {3 \over 2}\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }} - {1 \over {x\sqrt x }} + {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right) \cr} \)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(f\left( 2x \right)=4.\cos x.f\left( x \right)-2x\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).

  • A  \(f'\left( 0 \right)=0\)                          
  • B  \(f'\left( 0 \right)=1\)                          
  • C \(f'\left( 0 \right)=-2\) 
  • D \(f'\left( 0 \right)=3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm tính đạo hàm của hàm số f(2x).

Thay x = 0 và suy ra \(f'\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( {2x} \right).\left( {2x} \right)' = 4\left( {\cos x} \right)'.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( {2x} \right) =  - 4\sin x.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( 0 \right) = 4.f'\left( 0 \right) - 2\\ \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = 1\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính tổng \(S=1+2.2+{{3.2}^{2}}+{{4.2}^{3}}+...+{{2018.2}^{2017}}\)

  • A \(S={{2017.2}^{2018}}+1\).            
  • B  \(S={{2018.2}^{2018}}+1\).                       
  • C \(S={{2017.2}^{2018}}\).                
  • D  \(S={{2019.2}^{2018}}+1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tổng:

\(\begin{align}  f(x)\,\,\,\,\,=1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+...+{{x}^{n}} \\  f'(x)\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,+2x+3{{x}^{2}}+...+n{{x}^{n-1}}. \\ \end{align}\)

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

\(f(x)=1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+...+{{x}^{n}}=\frac{{{x}^{n+1}}-1}{x-1},\,\,\,(x\ne 1)\)

\(\begin{align}  f'(x)=1+2x+3{{x}^{2}}+...+n{{x}^{n-1}}=\frac{(n+1){{x}^{n}}(x-1)-({{x}^{n+1}}-1)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\\=\frac{(n+1){{x}^{n+1}}-(n+1){{x}^{n}}-{{x}^{n+1}}+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{n{{x}^{n+1}}-(n+1){{x}^{n}}+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Cho \(x=2,\,\,n=2018\), ta có: \(S=1+2.2+{{3.2}^{2}}+{{4.2}^{3}}+...+{{2018.2}^{2017}}=\frac{{{2018.2}^{2019}}-{{2019.2}^{2018}}+1}{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}\\={{2}^{2018}}\left( 2018.2-2019 \right)+1={{2017.2}^{2018}}+1\)

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Đạo hàm của biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) là :

  • A \(f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + {{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\)
  • B \(f'\left( x \right) = 2x{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\)
  • C \(f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + {{{x^2} - 3} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\)
  • D \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + {{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo của 1 tích : \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) và cách tính đạo hàm của hàm số hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)'.\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + \left( {{x^2} - 3} \right).\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)'  \cr   &  = 2x\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + \left( {{x^2} - 3} \right).{{\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)'} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}  \cr   &  = 2x\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + \left( {{x^2} - 3} \right).{{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}  \cr   &  = 2x\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  + {{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} \cr} \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x  + {x^2} + 1\). Tính \(f'\left( 1 \right)\).

  • A \(5\)
  • B \(3\)
  • C \(\dfrac{7}{2}\)
  • D \(4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và quy tắc đạo hàm của một tích \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

+) Thay \(x = 1\) vào \(f'\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f'\left( x \right) = 1.\sqrt x  + x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + 2x \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 1 + \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hàm số \(f(x) =  - {x^3} + 3m{x^2} - 12x + 3\) với \(m\) là tham số thực. Số giá trị nguyên của \(m\) để \(f'(x) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\) là

  • A 1
  • B 5
  • C 4
  • D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta  < 0\) thì luôn cùng dấu với hệ số \(a\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6mx - 12\).

\(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( {3m} \right)^2} - 36 < 0 \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Tập các giá trị của \(x\) để \(2x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) \ge 0\) là:

  • A \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)
  • B \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\).
  • C \(\left[ {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)
  • D \(\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\) và \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) tính \(f'\left( x \right)\). Từ đó giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Theo bài ra ta có \(2x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - x - \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - x - \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\sqrt {{x^2} + 1}  + 2{x^2} - x\sqrt {{x^2} + 1}  - {x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - 1 + x\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\end{array}\)

Thử các đáp án:

Với \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow g\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) thuộc tập nghiệm của BPT \( \Rightarrow \) Loại đáp án A, B và C.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Biết đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} \) là hàm số \(f'(x) = \dfrac{{a{{\left( {2 - 5x} \right)}^2}}}{{b\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }}\) (\(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(b > 0\)). Tính tích \(P = a.b\)

  • A \(P = 12.\)
  • B \(P = 30.\)
  • C \(P =  - 30.\)
  • D \(P = 6.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left[ {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} \right]'}}{{2\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }} = \dfrac{{3{{\left( {2 - 5x} \right)}^2}\left( { - 5} \right)}}{{2\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }} = \dfrac{{ - 15{{\left( {2 - 5x} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }}\)

\( \Rightarrow a =  - 15,\,\,b = 2 \Rightarrow P = ab =  - 30\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(g\left( x \right) = xf\left( x \right) + x\) với \(f\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(g'\left( 3 \right) = 2,\,\,f'\left( 3 \right) =  - 1\). Giá trị của \(g\left( 3 \right)\) bằng:

  • A \( - 3\)                                  
  • B \(3\)                                       
  • C \(20\)                                     
  • D \(15\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của tích \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g'\left( x \right) = f\left( x \right) + xf'\left( x \right) + 1\).

\( \Rightarrow g'\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) + 3f'\left( 3 \right) + 1 \Leftrightarrow 2 = f\left( 3 \right) + 3.\left( { - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = 4\)

\( \Rightarrow g\left( 3 \right) = 3f\left( 3 \right) + 3 = 3.4 + 3 = 15\) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + x - 2}}\) có đạo hàm là:

  • A \(\dfrac{{4{x^2} - 12x - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\)
  • B \(\dfrac{{4{x^2} + 12x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\)
  • C \(\dfrac{{4{x^2} - 12x}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\)
  • D \(\dfrac{{4{x^2} - 12x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3{x^2} - 3x + 6 - 2{x^3} + 6{x^2} - 8x - {x^2} + 3x - 4}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{4{x^2} - 12x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx + {m^2} + 10m - 12}}{{x - m}},\,\,m \in \mathbb{R}\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\) là:

  • A vô số 
  • B 1
  • C 6
  • D 3

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' \ge 0\,\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} - {m^2} - 10m + 12}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{m^2} - 10m + 12}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

\(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{m^2} - 10m + 12 \ge 0\\m \notin \left( { - \infty ; - 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 \le m \le 1\\m \ge  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\). Vậy có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn. Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên\(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x - 12\). Số nghiêm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) với \(g\left( x \right) = f\left( {1 - {x^2}} \right)\) là:

  • A 5
  • B 0
  • C 1
  • D 3

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = f'\left( u \right).u'\).

Lời giải chi tiết:

\(g\left( x \right) = f\left( {1 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {1 - {x^2}} \right).\left( { - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {1 - {x^2}} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 6\\1 - {x^2} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} =  - 5\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \).

Vậy phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm \(x = 0,\,\,x =  \pm \sqrt 3 \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - \dfrac{{m{x^2}}}{2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\). Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

  • A \(0 \le m \le \dfrac{{12}}{5}\)
  • B \(0 < m < \dfrac{{12}}{5}\)
  • C \(0 \le m < \dfrac{{12}}{5}\)
  • D

    \(0 < m \le \dfrac{{12}}{5}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản tính \(f'\left( x \right)\).

+) Tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta  < 0\) thì luôn cùng dấu với hệ số \(a\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m\).

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\1 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta  = {m^2} - 4m\left( {3 - m} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\5{m^2} - 12m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < \dfrac{{12}}{5}\end{array}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ \({0^0}C\). Tại thời điểm \(t = 0\) người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng lên và tại mỗi thời điểm \(t\), nhiệt độ của nó được ước tính bởi hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {t - 1} \right)^3} + 1\,\,\left( {^0C} \right)\). Hãy so sánh tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại hai thời điểm \({t_1} = 0,5s\) và \({t_2} = 1,25s\).

  • A

    Nhiệt độ tại thời điểm \({t_1}\) tăng nhanh hơn tại thời điểm \({t_2}\).

  • B

    Nhiệt độ tại thời điểm \({t_1}\) và \({t_2}\) tăng như nhau.

  • C Không đủ dữ kiện để kết luận
  • D

    Nhiệt độ tại thời điểm \({t_2}\)tăng nhanh hơn tại thời điểm \({t_1}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tốc độ tăng nhiệt tại thời điểm \(t = {t_0}\) là \(f'\left( {{t_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{\left( {t - 1} \right)^2}\).

Tốc độ tăng nhiệt tại thời điểm \({t_1} = 0,5s\) là \(f'\left( {0,5} \right) = 0,75\).

Tốc độ tăng nhiệt tại thời điểm \({t_2} = 1,25s\) là \(f'\left( {1,25} \right) = 0,1875\).

Vậy nhiệt độ tại thời điểm \({t_1}\) tăng nhanh hơn tại thời điểm \({t_2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho \(y = F\left( x \right)\) và \(y = G\left( x \right)\) là những hàm số có đồ thị cho trong hình bên dưới, đặt \(P\left( x \right) = F\left( x \right)G\left( x \right).\) Tính \(P'\left( 2 \right).\)

  • A \(\dfrac{5}{2}\)
  • B \(4\)
  • C \(\dfrac{3}{2}\)
  • D

    \(6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số: \(\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right).g'\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét khoảng \(\left( {0;\,3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = {x^2} - 4x + 7\\G\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2x - 4\\G'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Ta có: \(P\left( x \right) = F\left( x \right).G\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P'\left( x \right) = F'\left( x \right).G\left( x \right) + F\left( x \right).G'\left( x \right)\\ \Rightarrow P'\left( 2 \right) = F'\left( 2 \right).G\left( 2 \right) + F\left( 2 \right).G'\left( 2 \right)\\ = \left( {2.2 - 4} \right).2 + 3.\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2m - 1}}{3}{x^3} - m{x^2} + x + {m^2} - 1\), m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m  để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m=-1\)
  • B \(m>\dfrac{1}{2}\)
  • C \(m<\dfrac{1}{2}\)
  • D \(m=1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

+) Giải bất phương trình \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1\).

Ta có: \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( * \right)\)

TH1: \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó ta có \( - x + 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \le 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2m - 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m=1\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(S\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - 9t + 27\) , trong đó t tính bằng giây (s) và \(S\) được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:

  • A \(0\,\,m/{s^2}\)
  • B \(6\,\,m/{s^2}\)
  • C \(24\,\,m/{s^2}\)
  • D \(12\,\,m/{s^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(v\left( t \right) = s'\left( t \right),\,\,a\left( t \right) = v'\left( t \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \left( {s'\left( t \right)} \right)' = s''\left( t \right)\)

\(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - 9 \Rightarrow a\left( t \right) = S''\left( t \right) = 6t + 6\).

Giả sử \({t_0}\) là thởi điểm vận tốc của vật triệt tiêu \( \Rightarrow v\left( {{t_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3t_0^2 + 6{t_0} - 9 = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 1\).

Vậy giá tốc của vật tại thời điểm \({t_0} = 1\) là \(a\left( 1 \right) = 6.1 + 6 = 12\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m}}{{x + 2}}\). Tìm các giá trị của \(m\) để \(y' \ge 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.

  • A \(m \ge \dfrac{9}{8}\)            
  • B \(m > \dfrac{9}{8}\)              
  • C \(m \le \dfrac{9}{8}\)            
  • D \(m < \dfrac{9}{8}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x + 3m - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 4x + 2\left( {3m - 2} \right) - {x^2} - \left( {3m - 2} \right)x - 1 + 2m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 8m - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' \ge 0\,\,\forall x \in D \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne  - 2\).

Ta có \(\Delta ' = 4 - 8m + 5 = 9 - 8m\).

TH1: \(\Delta ' < 0 \Rightarrow 9 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{8}\).

Khi đó \({x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne \mathbb{R}\,\,\left( {tm} \right).\)

TH2: \(\Delta ' = 0 \Rightarrow 9 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{8}\).

Khi đó \({x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne \dfrac{{ - 4}}{2} =  - 2\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(m \ge \dfrac{9}{8}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(y = {\left( {2{x^2} + 1} \right)^3}\), để \(y' \ge 0\) thì \(x\) nhận giá trị nào sau đây?

  • A \(\mathbb{R}\)                      
  • B \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
  • C  \(x \in \emptyset \)               
  • D \(x \in \left( { - \infty ;0} \right]\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\).

Lời giải chi tiết:

\(y' = 3{\left( {2{x^2} + 1} \right)^2}\left( {2{x^2} + 1} \right)' = 12x{\left( {2{x^2} + 1} \right)^2}\).

\(y' \ge 0 \Leftrightarrow 2x{\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} \ge 0\). Do \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).

Vậy \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là

  • A  \(\mathbb{R}\)                              
  • B  \(\emptyset \)                                
  • C  \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
  • D  \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\) theo công thức \({\left( {\dfrac{1}{u}} \right)^\prime } =  - \dfrac{{u'}}{{{u^2}}}\)

Rồi giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } =  - \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Xét \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow  - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 0\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x + \sqrt {3 - {x^2}} .\) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)

  • A \(x = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{5}.\)
  • B \(x = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{5}.\)
  • C \(x = \dfrac{{2\sqrt {11} }}{5}.\)
  • D \(x = \dfrac{{2\sqrt {17} }}{5}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\) rồi giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

ĐK : \( - \sqrt 3  \le x \le \sqrt 3 \)

Ta có \(f'\left( x \right) = 2 + \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {3 - {x^2}} }} = 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {3 - {x^2}} }}\)

Xét  

\( \Rightarrow 2\sqrt {3 - {x^2}}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4\left( {3 - {x^2}} \right) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5{x^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} \\x =  - \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} \end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{5}\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(x = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{5}.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\). Nếu\(y' > 0\) thì x thuộc tập hợp nào sau đây:

  • A \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
  • B \(\left( { - 3; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
  • C \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right)\).       
  • D \(\left( { - 3; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{x}\) có đạo hàm \(y' = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\). Tìm \(\max \left\{ {a,b} \right\}.\)

  • A \(2.\)
  • B \( - 1.\)
  • C \( - 3.\)
  • D \( - 7\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}.x - \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + x - {x^2} - 2x - 3}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }} = \dfrac{{ - x - 3}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \max \left\{ {a;b} \right\} = \max \left\{ { - 1; - 3} \right\} =  - 1\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực, biết \(f\left( {3 - x} \right) = {x^2} + x\). Tính \(f'\left( 2 \right)\).

  • A \(f'\left( 2 \right) =  - 1.\)
  • B \(f'\left( 2 \right) =  - 3.\)
  • C \(f'\left( 2 \right) =  - 2.\)
  • D \(f'\left( 2 \right) = 3.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {3 - x} \right) = {x^2} + x \Rightarrow  - f'\left( {3 - x} \right) = 2x + 1\).

Thay \(x = 1\) ta có \( - f'\left( 2 \right) = 2.1 + 1 = 3 \Rightarrow f'\left( 2 \right) =  - 3\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\), biết \(f\left( x \right) = 2x + \sqrt {1 - {x^2}} .\)

  • A \(x \in \left( { - 1;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\)
  • B \(x \in \left( { - 1;1} \right).\)
  • C \(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)
  • D \(x \in \left( { - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Tính \(f'\left( x \right)\).

+) Giải BPT dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}DKXD:\,\, - 1 \le x \le 1\\f'\left( x \right) = 2 + \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0\,\,\left( {x \in \left( { - 1;1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  - x > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  > x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4\left( {1 - {x^2}} \right) > {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5{x^2} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }} < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 \le x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của BPT là:  \(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tính đạo hàm y’ của hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).

  • A \(y' = \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)    
  • B \(y' = \frac{x}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}\)          
  • C \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}\)            
  • D \(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} =  - 1\).

  • A \(2\)
  • B \(1\)
  • C \(0\)
  • D Không tồn tại.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{x} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{\frac{{{x^2} - x - 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{x} = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\end{array}\)

Do đó không tồn tại  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\), vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \({x_0} =  - 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)  âm khi và chỉ khi

  • A \(0 < x < 2\)                    
  • B \(x < 1\)
  • C \(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
  • D \(x < 0\) hoặc \(x > 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

Có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\)

\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\). Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:

  • A \(\frac{3}{2}\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)        
  • B \(x\sqrt x  - 3\sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }}\)
  • C \(\frac{3}{2}\left( { - \sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)        
  • D \(\frac{3}{2}\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3}\), đưa các hạng tử về dạng \({x^n}\) và sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) .

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3} = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - 3{\left( {\sqrt x } \right)^2}.\frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt x {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\\f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}}\\f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x  + 3{x^{ - \frac{1}{2}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}\\f'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} - \frac{3}{{2\sqrt x }} + 3.\left( { - \frac{1}{2}} \right){x^{ - \frac{1}{2} - 1}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}}\\f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\sqrt x  - \frac{3}{{2\sqrt x }} - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{2}}}\\f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) ?

  • A \(10000!\)
  • B \(1000!\)
  • C \(1100!\)
  • D \(1110!\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) - 0}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)...\left( { - 1000} \right) = {\left( { - 1} \right)^{1000}}.1000! = 1000!\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + \dfrac{1}{3}\). Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(y' \le 0\).

  • A \(x > 1\)
  • B \(x \ge 3\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x > 3\end{array} \right.\)
  • D \(1 \le x \le 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức đạo hàm cơ bản: \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải bất phương trình \(y' \le 0\), sử dụng quy tắc phải cùng, trái khác.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + 3\) 

Khi đó \(y' \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(y' \le 0\) là \(\left[ {1;3} \right]\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Câu 1:

\(y = {\left( {x - 2} \right)^{11}}{\left( {1 - x} \right)^{21}}\)

  • A \(y' = \left ( x - 2 \right )^{10}.\left ( 1 - x \right )^{20}.\left ( 31 - 10x \right )\)
  • B \(y' = \left ( x - 2 \right )^{10}.\left ( 1 - x \right )^{20}.\left ( 31 - 32x \right )\)
  • C \(y' = \left ( x - 2 \right )^{10}.\left ( 1 - x \right )^{20}.\left ( 53 - 32x \right )\)
  • D \(y' = \left ( x - 2 \right )^{10}.\left ( 1 - x \right )^{20}.\left ( 53 - 10x \right )\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích, thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {\left( {x - 2} \right)^{11}}{\left( {1 - x} \right)^{21}}\)

\(\begin{array}{l}y' = 11{\left( {x - 2} \right)^{10}}{\left( {1 - x} \right)^{21}} - 21{\left( {x - 2} \right)^{11}}.{\left( {1 - x} \right)^{20}}\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 2} \right)^{10}}{\left( {1 - x} \right)^{20}}\left[ {11\left( {1 - x} \right) - 21\left( {x - 2} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 2} \right)^{10}}{\left( {1 - x} \right)^{20}}\left[ {11 - 11x - 21x + 42} \right]\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 2} \right)^{10}}{\left( {1 - x} \right)^{20}}\left[ {53 - 32x} \right]\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(y = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^9}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^8}}}\)

  • A \(y' = \frac{\left ( 2x - 1 \right )^{9}.\left ( x + 31 \right )}{\left ( x+ 3 \right )^{8}}\)
  • B \(y' = \frac{2\left ( 2x - 1 \right )^{9}.\left ( x + 31 \right )}{\left ( x+ 3 \right )^{8}}\)
  • C \(y' = \frac{2\left ( 2x - 1 \right )^{8}.\left ( x + 31 \right )}{\left ( x+ 3 \right )^{9}}\)
  • D \(y' = \frac{\left ( 2x - 1 \right )^{8}.\left ( x + 31 \right )}{\left ( x+ 3 \right )^{9}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích, thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^9}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^8}}}\)

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{9{{\left( {2x - 1} \right)}^8}.2.{{\left( {x + 3} \right)}^8} - {{\left( {2x - 1} \right)}^9}.8{{\left( {x + 3} \right)}^7}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^{16}}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{18{{\left( {2x - 1} \right)}^8}.\left( {x + 3} \right) - 8{{\left( {2x - 1} \right)}^9}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^9}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\left( {2x - 1} \right)}^8}.\left[ {9\left( {x + 3} \right) - 4\left( {2x - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^9}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\left( {2x - 1} \right)}^8}.\left( {x + 31} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^9}}}\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

\(y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + x + 3} \)

  • A \(y' = \frac{4x^{2} - x + 4}{2\sqrt{x^{2} + x + 3}}\)
  • B \(y' = \frac{4x^{2} - x + 4}{\sqrt{x^{2} + x + 3}}\)
  • C \(y' = \frac{2x^{2} - x + 4}{2\sqrt{x^{2} + x + 3}}\)
  • D \(y' = \frac{2x^{2} - x + 4}{\sqrt{x^{2} + x + 3}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích, thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + x + 3} \)

\(\begin{array}{l}y' = \sqrt {{x^2} + x + 3}  + \left( {x - 2} \right).\frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 3} }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\left( {{x^2} + x + 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 3} }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2x + 6 + 2{x^2} + x - 4x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 3} }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4{x^2} - x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 3} }}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 4:

\(y = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} }}\)

  • A \(y' = \frac{- 6x + 17}{2\sqrt{x^{2} - x + 2}.\left ( x^{2} - x + 2 \right )}\)
  • B \(y' = \frac{- 6x + 17}{\sqrt{x^{2} - x + 2}.\left ( x^{2} - x + 2 \right )}\)
  • C \(y' = \frac{- 6x + 17}{\sqrt{x^{2} - x + 2}}\)
  • D \(y' = \frac{- 6x + 17}{2\sqrt{x^{2} - x + 2}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích, thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 2} }}\)

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{4\sqrt {{x^2} - x + 2}  - \left( {4x + 1} \right).\frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 2} }}}}{{{x^2} - x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{8\left( {{x^2} - x + 2} \right) - \left( {4x + 1} \right).\left( {2x - 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 2} \left( {{x^2} - x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{8{x^2} - 8x + 16 - 8{x^2} + 4x - 2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 2} \left( {{x^2} - x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 6x + 17}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 2} \left( {{x^2} - x + 2} \right)}}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Giải các bất phương trình sau:

Câu 1:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \). Giải bất phương trình \(2f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\).

  • A \(S = 1\)
  • B \(S = \left [ -4;6 \right ]\)
  • C \(S = \left [ 2 - \sqrt{26};2 + \sqrt{26} \right ]\)
  • D \(S = \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

- Giải bất phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \)

ĐKXĐ: \({x^2} - 2x - 24 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le  - 4\end{array} \right.\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }}\).

\(\begin{array}{l}2f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }} \ge \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \\ \Leftrightarrow 2x - 2 \ge {x^2} - 2x - 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 22 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {23}  \le x \le 1 + \sqrt {23} \end{array}\)

Kết hợp điều kiện xác định \( \Rightarrow x \in \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Cho hàm số \(g\left( x \right) = x - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \). Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) \ge 0\).

  • A \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\)
  • B \([3; +\infty )\)
  • C \([ - 3; +\infty )\)
  • D \(\left( { - \infty ; 3} \right]\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

- Giải bất phương trình chứa căn: \(f\left( x \right) \le \sqrt {g\left( x \right)}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\{f^2}\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(g\left( x \right) = x - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \)

ĐKXĐ: \({x^2} + 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }}\)

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \le 1\\ \Leftrightarrow x + 1 \le \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 1 < 0\\{x^2} + 2x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \le {x^2} + 2x - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\1 \le  - 3\,\,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le  - 3\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(f\left( x \right) = m{x^3} - 3m{x^2} + 3x - 1\) (m là tham số).

Câu 1:

Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(0 < m < 1\)
  • B \(0 \le m < 1\)
  • C \(m > 0\)
  • D \(m < 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} - 6mx + 3\).

TH1: \(3m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)

\(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\9{m^2} - 9m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\0 < m < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 1.\) 

Vậy \(0 \le m < 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m < 0\)
  • B \(0 < m < 1\)
  • C \(0 \leq m \leq 1\)
  • D \(m \in \emptyset \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} - 6mx + 3\).

TH1: \(3m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \(3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)

\(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\9{m^2} - 9m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\0 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \). 

Vậy \(m \in \emptyset \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + 3x - 2\) (m là tham số).

Câu 1:

Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \( - 1 < m < 8\)
  • B \( - 8 < m < 1\)
  • C \( - 1 \le m < 8\)
  • D \( - 8 \le m < 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\).

TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m =  - 1\) thỏa mãn.

TH2: \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

\(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\{m^2} - 7m - 8 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\ - 1 < m < 8\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 8\). 

Vậy \( - 1 \le m < 8\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tìm \(m\) để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m < - 1\)
  • B \(-1 \leq m \leq 8\)
  • C \(-8 \leq m \leq 1\)
  • D \(m \in \emptyset \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+ \(f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

+ \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\).

TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó \(m =  - 1\) không thỏa mãn.

TH2: \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

\(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\{m^2} - 7m - 8 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\ - 1 \le m \le 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \). 

Vậy \(m \in \emptyset \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + mx + 5\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

  • A \(m \ge 1.\)  
  • B \(m > 1.\)     
  • C \(m < 1.\)
  • D \(m \le 1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm đạo hàm của hàm số. Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + m\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 1 - m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \ge 1.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - mx - 4\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)
  • B \(m \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{4}} \right]\)
  • C \(m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right]\)
  • D \(m \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - mx - 4\\ \Rightarrow y' = {x^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - m\\ \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} + m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 + m \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 5m + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le m \le  - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right]\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x} \) . Bất phương trình \(f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(3\)
  • D \(2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) để tính đạo hàm của hàm số.

- Giải bất phương trình, tìm nghiệm nguyên.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({x^2} + 2x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le  - 2\end{array} \right.\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x} }} = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\).

Khi đó \(f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} \ge \sqrt {{x^2} + 2x} \\ \Leftrightarrow x + 1 \ge {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \le x \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta có: \(x \in \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}; - 2} \right] \cup \left[ {0;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Suy ra phương trình trên có 2 nghiệm nguyên là \(x = 0,\,\,x =  - 2\).

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình trên là 2.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2019}}\)  là:

  • A \(y' = 2019{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2018}}.\)
  • B \(y' = 2019\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right).\)
  • C \(y' = 2019{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2018}}\left( {3{x^2} - 4x} \right).\)   
  • D \(y' = 2019\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {3{x^2} - 2x} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm hợp: \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2019}}\\ \Rightarrow y' = 2019.{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2018}}.\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,y' = 2019.{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2018}}.\left( {3{x^2} - 4x} \right)\end{array}\)

Lại có \(f\left( 2 \right) = m\).

Do đó để hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow m = 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - \dfrac{{m{x^2}}}{2} + (3 - m)x - 2\). Xác định m để \(f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m > \dfrac{3}{2}\).
  • B \(m < \dfrac{3}{2}\).
  • C \(m \ge \dfrac{3}{2}\).
  • D \(m \le \dfrac{3}{2}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\).

Để \(a{x^2} + bx + c > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m\).

\(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta  = {m^2} - m\left( {3 - m} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\2{m^2} - 3m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{2}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(m > \dfrac{3}{2}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Cho \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Ta có \(\dfrac{{y'}}{y}\) bằng:

  • A \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
  • B \(1\)
  • C \(\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
  • D \(\sqrt {{x^2} + 1} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\).

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm lượng giác: \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\), \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(2\sin x\cos x = \sin 2x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{y'}}{y} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}:\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x - 5 + m\). Tìm \(m\) để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

  • A \(m \ge 1\)
  • B \(m <  - \dfrac{3}{4}\)
  • C \(-\dfrac{3}{4} \le m \le 1\)
  • D \(-\dfrac{3}{4} < m < 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\), sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\).

- Tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x - 5 + m\\ \Rightarrow y' = {x^2} - 4mx + m + 3\\y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - m - 3 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4} \le m \le 1\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^3} + {x^2} + x - 5\). Tìm m để \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

  • A \(m = 0\)
  • B \(m < 1\)
  • C \(m < 0\)
  • D \(m > 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2x + 1\).

Để \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu thì \(\left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\3m.1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \cr   2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1 \hfill \cr}  \right.\) ta được:

  • A \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{  2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \cr   2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1 \hfill \cr}  \right.\)
  • B \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{  2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \cr   2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr}  \right.\)
  • C Không tồn tại đạo hàm
  • D \(f'\left( x \right) = 2x - 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x > 1\)

+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x < 1\)

+) Sử dụng định nghĩa đạo hàm, xét sự tồn tại của đạo hàm của hàm số tại x = 1.

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 1\) ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\)

Với \(x < 1\) ta có : \(f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)

Với x = 1 ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) =  - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại x = 1, do đó không có đạo hàm tại x = 1.

Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{  2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \cr   2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Tìm m để hàm số \(y = {{m{x^3}} \over 3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

  • A \(m \le \sqrt 2 \)
  • B \(m \le 2\)
  • C \(m \le 0\)
  • D \(m < 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số.

Giải bpt \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & y = {{m{x^3}} \over 3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1  \cr   &  \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1  \cr   & y' \le 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0\,\,\forall x \in R \cr} \)

TH1: m = 0, khi đó \(BPT \Leftrightarrow  - 1 \le 0\), đúng \(\forall x \in R\)

TH2: \(\eqalign{  & m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = m < 0 \hfill \cr   \Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0 \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m < 0 \hfill \cr    - 2{m^2} + m \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m < 0 \hfill \cr   \left[ \matrix{  m \le 0 \hfill \cr   m \ge {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m < 0 \cr} \)

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \(m \le 0\) là những giá trị cần tìm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho hàm số \(y = {1 \over 3}\left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1\). Giá trị của m để \(y' - 2x - 2 > 0\) với mọi x thuộc R là :

  • A \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {1; + \infty } \right)\)       
  • B \(\left( {0;{4 \over 5}} \right)\)
  • C Không tồn tại m          
  • D \(\left( { - 1;0} \right);\left( {{4 \over 5};1} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính y’, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow y' - 2x - 2 > 0\,\,\forall x \in R  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2 - 2x - 2 > 0\,\,\,\forall x \in R  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - 4 > 0\,\,\,\forall x \in R \cr} \)

TH1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Khi m = 1 ta có: \( - 2x - 4 > 0\,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow x <  - 2\,\forall x \in R\,\,\left( {ktm} \right)\)

Khi \(m =  - 1\) ta có: \( - 6x - 4 > 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow x < {{ - 2} \over 3}\,\,\forall x \in R\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH2 :  \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\)

Khi đó

\(\eqalign{
& \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - 4 > 0\,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4\left( {{m^2} - 1} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
m < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
5{m^2} - 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
m < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
0 < m < {4 \over 5} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \cr} \)

 

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho đa thức \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\). Tính \(\dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}} \).

  • A \(1\)
  • B \(-1\)
  • C \(0\)
  • D Không xác định

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+) Tính \(P'\left( x \right)\), từ đó tính \(P'\left( {{x_1}} \right);\,\,P'\left( {{x_2}} \right);\,\,P'\left( {{x_3}} \right)\).

+) Thay vào biểu thức \(\dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\). Quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(P'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}\\ = \dfrac{{ - {x_2} + {x_3} - {x_3} + {x_1} - {x_1} + {x_2}}}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}} = 0 \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2};{x_3}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)

  • A \(P = {3.2^{2018}}\)
  • B \(P =  - 2018\)
  • C \(P = 0\)
  • D \(P = {2^{2019}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc ba \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = \dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} =  - \dfrac{d}{a}\end{array} \right.\)

Sau đó biến đổi \(f'\left( x \right)\) để tính \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {3.2^{2019}}{x^2} + {3.2^{2019}}x = {3.2^{2019}}x\left( {x + 1} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{f'\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{1}{{x.\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành \({2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018 = 0\) (*)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) là ba ngiệm của phương trình (*) nên theo hẹ thức Vi-et ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 0\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{{2018}}{{{2^{2019}}}}\end{array} \right.\)

Ta có \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3}}} - \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} + \dfrac{1}{{{x_3}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} - \dfrac{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {0 - \dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} + 2\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{{0 + 2.\dfrac{{ - 3}}{2} + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}} = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

  • A \(m \le \sqrt 2 \)     
  • B \(m \le 2\)
  • C \(m \le 0\)    
  • D \(m < 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số.

Giải bpt \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1\\y' \le 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0\,\,\forall x \in R\end{array}\)

TH1: m = 0, khi đó \(BPT \Leftrightarrow  - 1 \le 0\) , đúng \(\forall x \in R\)

TH2: \(\begin{array}{l}m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2{m^2} + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\end{array}\)

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \(m \le 0\) là những giá trị cần tìm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.