Lời giải chi tiết:

Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm hợp

Cách giải: \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x + 3\sin 3x.2\cos 3x = 2\cos 2x + 3\sin 6x\)

Chọn đáp án A

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = {\cos ^2}3x \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 6\sin 3x\cos 3x =  - 3\sin 6x\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \(\left( \cos u\left( x \right) \right)'=-u'\left( x \right)\sin u\left( x \right)\) và \(\left( sinu\left( x \right) \right)'=u'\left( x \right)\cos u\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=\left( \cos 4x-3\sin 4x \right)'=-4sin4x-12cos4x.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]'=f'\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right)g'\left( x \right)\) và các công thức đạo hàm cơ bản của hàm số để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=\left( {{x}^{2}}\cos x \right)'=2x\cos x-{{x}^{2}}\sin x.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin ax} \right)' = a\,cos\,ax.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {\sin 3x} \right)' = 3\cos 3x.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích: \(\left( uv \right)'=u'v+uv'\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\cos 3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x\left( {\sin 2x} \right)' =  - \sin 3x.\left( {3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x.\cos 2x\left( {2x} \right)'\\=  - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) =  - 3\sin \pi .\sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi .\cos \frac{{2\pi }}{3} =  - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\cos x-\sin x\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác : \(\left( \cos u \right)'=-u'\sin u;\ \ \left( \sin u \right)'=u'\cos u.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({f}'\left( x \right)=-\,2\sin 2x\Rightarrow {f}''\left( x \right)=-\,4\cos 2x\Rightarrow P={f}''\left( \pi  \right)=-\,4.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\\ \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 4\end{array}\)  

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left( {\cos kx} \right)' =  - k\sin kx\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {\cos 2x + 1} \right)' =  - 2\sin 2x\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức hạ bậc \({{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\)

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = \frac{{1 + \cos \left( {2{{\sin }^3}x} \right)}}{2}\\ \Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\left( { - \sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right)} \right).\left( {2{{\sin }^3}x} \right)'\\ = \frac{{ - 1}}{2}\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).2.3{\sin ^2}x\left( {\sin x} \right)'\\ =  - 3\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).{\sin ^2}x.\cos x\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y'=\frac{\left( \cot x \right)'}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x\sqrt{\cot x}}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = {{u'} \over {2\sqrt u }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = {{\left( {1 + 2\tan x} \right)'} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {{{2 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {1 \over {{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm hàm hợp: \(y = f\left( {u(x)} \right)\,\, \Rightarrow \,\,y' = f'\left( {u(x)} \right).u'(x)\).

Lời giải chi tiết:

\(y = {\sin ^2}3x \Rightarrow y' = 2.\sin 3x.\left( {\sin 3x} \right)' = 2.\sin 3x.3.\cos 3x = 3\sin 6x\)

Chọn: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left[ {\sin f\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right)\cos f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left[ {\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)} \right]' = \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)'\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right) =  - 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)\\ =  - 4\cos \left( {\pi  + \dfrac{\pi }{2} - 4x} \right) =  - 4\left[ { - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 4x} \right)} \right] =  - 4\left( { - \sin 4x} \right) = 4\sin 4x\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left[ {\cos \left( {kx} \right)} \right]' =  - k\sin kx\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right)\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) =  - 2\sin 4x\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) =  - 2\sin \dfrac{\pi }{2} =  - 2\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 =  - 2\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đạo hàm: \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \dfrac{{\left( {u\left( x \right)} \right)'}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\).

Lời giải chi tiết:

\(y' = \dfrac{{2\left( {\sin \,x} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{{2\left( {\cos x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos x} }} = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm

\(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left( {\cot x} \right)' =  - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}},\,\,\\\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx,\,\,\left( {\cos kx} \right)' =  - k\sin kx\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = \left( {\tan 3x} \right)' = \dfrac{{\left( {3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx\).

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {\sin 2x} \right)' = 2\cos 2x\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\sin 2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2\cos 2x\Rightarrow {f}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=2.\cos \frac{\pi }{3}=1.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)  \cr   & y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)'  \cr   & y' = \left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} + {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right)  \cr   & y' = {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} - {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} - {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}}  \cr   & y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a.\tan b}}\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & f\left( x \right) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = {{\tan x - \tan {{2\pi } \over 3}} \over {1 + \tan x.\tan {{2\pi } \over 3}}} = {{\tan x + \sqrt 3 } \over {1 - \sqrt 3 \tan x}}  \cr   & f'\left( x \right) = {{\left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)'\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)'} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}  \cr   & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( { - {{\sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}}} \right)} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}  \cr   & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {3 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}  \cr   & f'\left( x \right) = {4 \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}  \cr   &  \Rightarrow f'\left( 0 \right) = {4 \over {1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4 \cr} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\({\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} = {{{{1 - \cos x} \over 2}} \over {{{1 + \cos x} \over 2}}} = {{1 - \cos x} \over {1 + \cos x}}  \cr   &  \Rightarrow y' = {{\left( {1 - \cos x} \right)'\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)'} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}  \cr   & y' = {{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}  \cr   & y' = {{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}  \cr   & y' = {{2\sin x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}  \cr   & y' = {{4\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {{{\left( {2{{\cos }^2}{x \over 2}} \right)}^2}}} = {{\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}} \cr} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u'\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A đúng vì \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {\cos 2x} \right)' = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - \sin 2x} \right).\left( {2x} \right)' = \frac{{ - 2}}{3}.\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Đáp án B đúng.

\(\Rightarrow f'\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{-2}{3}.\frac{\sin \pi }{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}\pi }}=0\Rightarrow \)  Đáp án C sai.

Ta có thể thử nốt đáp án D :

\(3{{f}^{2}}\left( x \right)f'\left( x \right)+2\sin 2x=3\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}.\frac{-2}{3}.\frac{\sin 2x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}}+2\sin 2x=-2\sin 2x+2\sin 2x=0\Rightarrow \) D đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x\)

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u’\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y =  - \frac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \frac{4}{3}\cot x\\y =  - \frac{1}{3}\frac{{\cos x}}{{\sin x.{{\sin }^2}x}} + \frac{4}{3}\cot x\\y =  - \frac{1}{3}\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + \frac{4}{3}\cot x\\y =  - \frac{1}{3}{\cot ^3}x + \cot x\\ \Rightarrow y' =  - \frac{1}{3}.3{\cot ^2}x\left( {\cot x} \right)' + \left( {\cot x} \right)'\\y' = {\cot ^2}x.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = {\cot ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)\\y' = {\cot ^4}x - 1\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = 2\cot \left( {\cos x} \right).\left( {\cot \left( {\cos x} \right)} \right)' + \dfrac{{\left( {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\\y' = -2\cot \left( {\cos x} \right)\dfrac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\\y' =   2\cot \left( {\cos x} \right)\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích \(\left( uv \right)'=u'v+uv'\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\cos }^2}x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x\left( {\cos x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\y' =  - \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x.\sin x.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x.\cos x\\y' =  - 2\sin x\cos x\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\y' =  - \sin 2x.\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\y' =  - \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right)\\ \Rightarrow a =  - 1 \in \left( { - 3;2} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm tính đạo hàm của hàm số f(2x).

Thay x = 0 và suy ra \(f'\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( {2x} \right).\left( {2x} \right)' = 4\left( {\cos x} \right)'.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( {2x} \right) =  - 4\sin x.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( 0 \right) = 4.f'\left( 0 \right) - 2\\ \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = 1\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Chứng minh \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \sin \left( {x + a} \right)\\f''\left( x \right) = - \cos \left( {x + a} \right)\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \sin \left( {x + a} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos \left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 8 \right)}}\left( x \right) = ... = {f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right){\rm{ }}\left( {n \in *} \right)\\ \Rightarrow {f^{\left( {20} \right)}}\left( x \right) = f\left( x \right) = \cos \left( {x + a} \right)\\ \Rightarrow {f^{\left( {21} \right)}}\left( x \right) = - \sin \left( {x + a} \right) = \cos \left( {x + a + \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

+) Sử dung quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\)

+) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích \(\sin a-\sin b=-2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)} \right)' + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)} \right)' + 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)} \right)' - 4\sin x.\left( {\sin x} \right)'\\f'\left( x \right) =  - 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)' - 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)' - 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)' - 4\sin x\cos x\\f'\left( x \right) = 2\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) - 2\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) - 2\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) =  - 2\cos \frac{{2\pi }}{3}\sin 2x - 2\cos \frac{{4\pi }}{3}\sin 2x - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) = \left( { - 2\cos \frac{{2\pi }}{3} - 2\cos \frac{{4\pi }}{3} - 2} \right)\sin 2x\\f'\left( x \right) = \left( { - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2} \right)\sin 2x\\f'\left( x \right) = 0\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm từng cấp của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)  \cr   & y'' =  - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right)  \cr   & y''' =  - \cos x = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right)  \cr   & {y^{\left( 4 \right)}} = \sin x,\,\,\sin \left( {2\pi  - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) =  - \sin x \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} \ne \sin \left( {2\pi  - x} \right) \cr} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương \(\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{\left( {\cos x} \right)'.\sqrt {\cos 2x}  - \cos x.\left( {\sqrt {\cos 2x} } \right)'}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\sqrt {\cos 2x}  - \cos x.\frac{{\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x\sqrt {\cos 2x}  - \cos x\frac{{ - \sin 2x.\left( {2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\sqrt {\cos 2x}  + \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\cos 2x + \sin 2x\cos x}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\\f'\left( x \right) = \frac{{\sin \left( {2x - x} \right)}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\\f'\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\end{array}\)

Xét phương trình \(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos 2x\sqrt{\cos 2x}}=0\,\,\,\left( 1 \right)\)

ĐK: \(\cos 2x>0\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

TH1: \(k=2m\Leftrightarrow x=2m\pi \Rightarrow \cos 2x=\cos \left( 4m\pi  \right)=1>0\,\,\left( tm \right)\)

TH2: \(k=2m+1\Rightarrow x=\left( 2m+1 \right)\pi \Rightarrow \cos 2x=\cos \left( 2\left( 2m+1 \right)\pi  \right)=\cos \left( 4m\pi +2\pi  \right)=1>0\,\,\left( tm \right)\)

Vậy có 2 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right)=0\) trên đường tròn lượng giác.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Rút gọn hàm số \(f\left( x \right)\) sau đó tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\f\left( x \right) = 3\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\\f\left( x \right) = 3\left[ {1 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right] - 2\left( {1 - \dfrac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right)\\f\left( x \right) = 3 - \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x - 2 + \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'\left( {2018} \right) = 0\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}};\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y' = 2\sin \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\cos \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2 - x} \right)\)

Ta có \( - 1 \le \sin \left( {2 - x} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le  - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2 - x} \right) \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le y' \le \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\max f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác: \(\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - 3\sin x\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm số lượng giác: \(\left( {\cot x} \right)' =  - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( {\cot x} \right)' =  - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\), \(\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 3\cos x + 5\sin x.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm tính liên tục để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \left( { - x} \right) = \sin 0 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0.\) 

Chọn C. 

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) để tìm số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) = \frac{{2{{\cos }^3}x}}{3} + {\sin ^3}x - 2\cos x - 3\sin x\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 2{\cos ^2}x\sin x + 3{\sin ^2}x\cos x + 2\sin x - 3\cos x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{\cos ^2}x\sin x + 3{\sin ^2}x\cos x + 2\sin x - 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow  - 2\sin x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right) + 3\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x.{\sin ^2}x - 3\cos x.{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 3{\cos ^3}x = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Với \(\cos x = 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x = 0\) (vô lý)

\( \Rightarrow \cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Với \(\cos x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình \(\left( * \right)\) cho \({\cos ^3}x\) ta được :

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} - 3.\frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x = 3\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \tan x = \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}}\\ \Leftrightarrow x = \arctan \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}}+k\pi\end{array}\) 

Chọn B. 

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0  ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Viết hàm số theo biến t.

- Tính y’. Tìm điều kiện của m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \tan x\), với \(x \in \left( {0  ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Khi đó hàm số trở thành \(y = \dfrac{{mt + 1}}{{4t + m}}\).

ĐKXĐ: \(t \ne  - \dfrac{m}{4}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}}\).

Để \(y' > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right),\,\,t \ne  - \dfrac{m}{4}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - \dfrac{m}{4} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{m}{4} \le 0\\ - \dfrac{m}{4} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm lượng giác: \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

- Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

- Biểu diễn \(y'\) theo \(y\) sau đó chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {y^2}\).

Vậy \(y' - {y^2} = 1 \Leftrightarrow y' - {y^2} - 1 = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\).

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm lượng giác: \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\), \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(2\sin x\cos x = \sin 2x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = 2\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\y' =  - 2\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'\\y' =  - 2\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\y' =  - 2\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x.\cos x\\y' =  - 2\sin 2x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp và hàm số lượng giác để tính \(y'\).

- Thay \(y'\) vào các đẳng thức ở các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {{{\sin }^2}x} \right)' = 2\sin x.\left( {\sin x} \right)'\\\,\,\,\,\, = 2\sin x.\cos x = \sin 2x\end{array}\)

Thay vào đáp án B ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4y{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sin 2x} \right)^2} - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\)  (luôn đúng).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(f\left( x \right)\), sử dụng công thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\).

- Tính đạo hàm hàm số \(f\left( x \right)\) sau khi biến đổi, sử dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u\).

- Tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\), sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'\sin u\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\f\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}.2\sin 2x\left( {\sin 2x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - \sin 4x\\g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\cos 4x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}.4\sin 4x =  - \sin 4x\end{array}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).