40 bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) có tất cả các đường tiệm cận là: 

  • A \(x =  \pm 1\)
  • B \(x = 1;\,y = 0\)
  • C \(y = 1;\,x =  \pm 1\)
  • D \(y = 0;\,x =  \pm 1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 1}}.\)

Cho mẫu bằng 0 ta được: \(x = 1\)\( \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Sử dụng pp bấm máy tính ta được: \(x \to  \pm \infty :\,y = 0\) \( \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận: \(x = 1\) và \(y = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
  • B Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1\) và \(y = –1\). 
  • C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. 
  • D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = –1\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = a\)

Hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang \(y = 1\\) và \(y = –1\).

Chọn B. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Phát biểu nào sau đây sai?

  • A Đồ thị hàm số có TCN là \(y=2\).
  • B TCĐ và TCN của đồ thị hàm số là \(y=2\) và \(x=1\).
  • C Đồ thị hàm số có tiệm cận.
  • D TCĐ và TCN của đồ thị hàm số là \(x=1\) và \(y=2\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Cho mẫu số bằng 0 ta được \(x = 1 \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Sử dụng phương pháp bấm máy ta được: \(x \to  \pm \infty :\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} \to 2 \Rightarrow y = 2\) là TCN của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\)có đồ thị \((C)\). Tìm tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị \((C)\).

  • A \(I\left( { - 2;2} \right)\)
  • B \(I\left( { - 2; - 2} \right)\)
  • C \(I\left( {2;1} \right)\)
  • D \(I\left( { - 2;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giao điểm \(2\) đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho có giao \(2\) đường tiệm cận là \(I(–2;1)\)

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(y=\dfrac{2017}{x-2}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:

  • A \(0.\)                                               
  • B  \(2.\)                                                
  • C \(3.\)                               
  • D  \(1.\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị  (H)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=-\infty \) nên \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( H \right).\) Ta lại có

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=0\) nên đồ thị có một tiệm cận ngang là \(y=0.\) Vậy có \(2\) đường tiệm cận của \(\left( H \right).\)

Chọn đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{5}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình:

  • A \(y = 0\)    
  • B \(y{\text{ }} = {\text{ }}5\)
  • C \(x = 1\)  
  • D \(x = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (nếu có) có phương trình là \(y = \dfrac{a}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang \(y = 0\).

Chọn đáp án A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

 Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\) . Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?

  • A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng\(x=2\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)
  • B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng  \(x=2\),tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-2\)
  • C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng  \(x=1\),tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\)
  • D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng\(x=-2\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

 Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 2, TCN y = 1

Chọn đáp án A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

 Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) lần lượt là

  • A \(x =  - 1;y = \dfrac{1}{2}\)
  • B \(x =  - 1;y = 2\)
  • C \(x = 1;y = 2\)
  • D \(x = 2;y =  - 1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số phân thức \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng \)x =  - \dfrac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \)y = \dfrac{a}{c}\).

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \). Suy ra : \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\). Suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) có số đường tiệm cận là:

  • A 2
  • B 1
  • C 3
  • D 4

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm số tiệm cận của hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)

+ Số tiệm cận ngang: Xét 2 giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\), đếm số các giới hạn hữu hạn khác nhau

+ Số tiệm cận đứng: Xét các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} y;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} y;...\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ - } y;...\) với x1, x2, ... là nghiệm của phương trình g(x) = 0: Đếm số các giới hạn vô hạn

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{2}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 2\) nên đồ thị hàm số có 2 TCN y = 2 và y = –2

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có 2 TCĐ x = –1 và x = 1

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}}.\) Chọn khẳng định đúng.

  • A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =  - 1.\)
  • B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(y = 2.\)
  • C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 2.\)   
  • D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(y =  - 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

 

Hàm số có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\)  được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

 

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}} =  - \infty  \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)
  • D \(3\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) nếu \({x_0}\) là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\) nhưng không phải nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x =  - 2\) và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

 Đồ thị hàm só nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

  • A \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{1 + x}}.\)
  • B  \(y = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}.\)
  • C  \(y = \dfrac{x}{{{x^2} - x + 9}}.\) 
  • D  \(y = \dfrac{{x + 3}}{{5x - 1}}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\) hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\) thì \(x = a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{1 + x}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x =  - 1;\,\,y =  - 2\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\) có 3 đường tiệm cận là \(x = 2;\,\,x =  - 2;\,\,y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{x}{{{x^2} - x + 9}}\) có 1 đường tiệm cận là \(y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{x + 3}}{{5x - 1}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x = \dfrac{1}{5};\,\,y = \dfrac{1}{5}\)

Chọn: B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

 Cho hàm số \(y=\frac{-1+x}{-2+x}\)  có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây đúng?

  • A  Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\).
  • B Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng x = 2.
  • C  Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng x = 2.
  • D  Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng y = 1.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\)  hoặc \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) thì y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y=\pm \infty \Rightarrow x={{x}_{0}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\) và tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{a}{c}=\frac{1}{1}=1\Rightarrow \)Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

\(x=-\frac{d}{c}=-\frac{-2}{1}=2\Rightarrow x=2\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
  • B  Đồ thị hàm số nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
  • C  Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
  • D Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số dựa vào định nghĩa:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty .\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) nên đường thẳng \(y=0\) (trục hoành \(Ox\)) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A 1
  • B 0
  • C 2
  • D 3

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = a\) thì đường thẳng y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } y = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } y = 0\) thì x = x0  được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \)Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A 2
  • B 4
  • C 1
  • D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm các giới hạn để tìm đường tiệm cận

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = + \infty \end{array} \right.\)

Vậy \(x =  \pm 4\) là tiệm cận đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên \(\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -1 \right\}\)có bảng biến thiên như hình dưới đây.

 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

  • A Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1.                         
  • B  Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
  • C  Đồ thị hàm số và trục hoành có 2 điểm chung.                     
  • D  Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;+\infty  \right)\).

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn: C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hàm số \(y=f(x)\)có đồ thị là đường cong (C) và các giới hạn \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1;\,\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1\,;\)\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2;\)\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A  Đường thẳng \(y=2\)là tiệm cận ngang của (C).       
  • B  Đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của (C).
  • C  Đường thẳng \(x=2\)là tiệm cận ngang của (C).       
  • D  Đường thẳng \(x=2\)là tiệm cận đứng của (C).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\)hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)thì \(x=a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2;\)\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\) nên đường thẳng \(y=2\)là tiệm cận ngang của (C).

Chọn: A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\)có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\)và\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\). Khẳng định nào đúng.

  • A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang \(x=1\)và \(x=-1\).
  • B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
  • C Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
  • D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang\(y=1\)và \(y=-1\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa tiệm cận ngang trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=a\).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=b\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\)nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

Vì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\)nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-2}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình

  • A

     \(x=2.\)                                  

  • B

     \(y=1.\)                                  

  • C

     \(x=-\,2.\)                               

  • D  \(x=-1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đường tiệm cận đứng là \(x=-\,\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-2}=\infty \,\,\Rightarrow \,\,x=2\) là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}.\)

  • A

     Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

  • B

     \(x=-\,4.\)         

  • C

     \(x=0.\)                              

  • D  \(x=0;\,\,x=-\,4.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính giới hạn để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=\frac{\sqrt{5+x}-1}{x\left( x+4 \right)}=\frac{1}{x\left( \sqrt{5+x}+1 \right)}.\) Suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

 Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{2x+c}\) có tiệm cận ngang \(y=2\) và tiệm cận đứng \(x=1\) thì \(a+c\) bằng

  • A 1
  • B 2
  • C 4
  • D 6

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định được hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\frac{a}{2}\Rightarrow y=\frac{a}{2}\) là tiệm cận ngang của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,\frac{a}{2}=2\Rightarrow a=4.\)

Và \(\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\infty \Rightarrow x=-\frac{c}{2}\) là tiệm cận đứng của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,-\frac{c}{2}=1\Rightarrow c=-\,2.\)

Vậy tổng \(a+c=4-2=2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

 Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-7x+6}{{{x}^{2}}-1}.\)

  • A 2
  • B 3
  • C 1
  • D 0

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Rút gọn biểu thức, tính giới hạn để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu \(x=a\) là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử số.

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{{{x}^{2}}-7x+6}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-6 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{x-6}{x+1}.\)

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=-1\) và tiệm cận ngang là \(y=1.\)

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}.\) Xác định \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.

  • A  \(a=1;\,\,b=2.\)            
  • B  \(a=2;\,\,b=-\,2.\)        
  • C  \(a=2;\,\,b=2.\)          
  • D   \(a=-\,1;\,\,b=-\,2.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất dựa vào định nghĩa.

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\) thì \(y={{y}_{0}}\) là TCN của đồ thị hàm số.

Nếu \(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \) hoặc \(\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \) thì \(x={{x}_{0}}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}\) có hai đường tiệm cận là \(y=\frac{a}{b}\) (TCN) và \(x=\frac{2}{b}\) (TCĐ).

Yêu cầu bài toán tương đương với \(\frac{2}{b}=1;\,\,\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=2 \\ \end{align} \right..\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Gọi n là số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}\). Tìm n ?

  • A \(n=0\)                        
  • B  \(n=3\)                         
  • C \(n=2\)                        
  • D  \(n=1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\Rightarrow y=a\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \Rightarrow x={{x}_{0}}\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy đồ thị hàm số có 1 đường TCN là \(y=0\) và 2 đường TCĐ là \(x=1;x=3\)

Vậy \(n=3\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{9{{x}^{2}}+6x+4}}{x+2}\)

  • A

     \(x=-2\) và \(y=-3\)                                                   

  • B

     \(x=-2\) và \(y=3\)

  • C

     \(y=3\) và \(x=2\)                                                      

  • D  \(y=-3,y=3\) và \(x=-2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCN là \(y=a\).

Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty ;\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCĐ là \(x={{x}_{0}}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=3;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-3\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCN là \(y=3\) và \(y=-3\)

\(\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCĐ là \(x=-2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x}\) có đồ thị (C ). Gọi d là tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị (C ) đến các đường tiệm cận của (C ). Tính d

  • A \(d=2\).
  • B \(d=1\).
  • C \(d=2\sqrt{2}\).

     

     

  • D \(d=\sqrt{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chọn 1 điểm M bất kỳ và tính d

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ: x = 0 và TCN: y = 1

Ta có M(1;3) ∈ (C)

Khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt là 1 và 2

Tích của chúng là d = 2

Chọn đáp án A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\left( H \right)\) . M là một điểm bất kỳ và \(M\in \left( H \right)\). Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng:

  • A 4
  • B 5
  • C 3
  • D 2

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Dùng công thức \(y-f\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\) để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y=f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}.\) Tìm giao điểm của tiệm cận và tiếp tuyến. Từ đó tính diện tích tam giác tạo thành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=+\infty \) nên \({{d}_{1}}:x=1\) là tiệm cận đứng của \(\left( H \right).\)

Ta cũng có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=2,\) nên \({{d}_{2}}:y=2\) là tiệm cận ngang của \(\left( H \right).\)

Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1} \right).\) Ta có \(y'\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng

\(y-y\left( {{x}_{0}} \right)=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\left( {{d}_{3}} \right).\)

Ta tìm được \({{d}_{1}}\cap {{d}_{3}}=B\left( 1;\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right),{{d}_{2}}\cap {{d}_{3}}=A\left( 2{{x}_{0}}-1;2 \right).\) Giả sử \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\left( 1;2 \right).\) Tam giác tạo thành là tam giác vuông \(IAB\) vuông tại \(I.\) Ta tính được \(\overrightarrow{IA}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right),\,\overrightarrow{IB}=\left( 0;\frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right)\Rightarrow IA=2\left| {{x}_{0}}-1 \right|,\,\,IB=\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|.\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.2\left| {{x}_{0}}-1 \right|.\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|=2.\)

Chọn đáp án D.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

 Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\left( H \right)\) . M là một điểm bất kỳ và \(M\in \left( H \right)\). Khi đó tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) là: .

  • A 3
  • B 1
  • C 2
  • D 5

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Sử dụng các kí hiệu như ở câu 2. Khi đó khoảng cách từ \(M\) tới \({{d}_{2}}\) là

\(d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \dfrac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1}-2 \right|=\dfrac{1}{\left| {{x}_{0}}-1 \right|},\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-1 \right|\)

\(\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\dfrac{1}{\left| {{x}_{0}}-1 \right|}.\,\left| {{x}_{0}}-1 \right|=1.\)

Chọn đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho đường cong \(\left( C \right):y=\frac{3x-1}{x-2}\) . Có bao nhiêu điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điển đó đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 6 ?

  • A 4
  • B 2
  • C 0
  • D 6

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Từ đó tính khoảng cách từ điểm \(M\) tới hai tiệm cận rồi thay vào yêu cầu của bài toán để đưa ra một phương trình theo ẩn \({{x}_{0}}\) và giải phương trình này tìm \({{x}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự câu 2 ta tìm được tiệm cận đứng là \({{d}_{1}}:x=2,\) tiệm cận ngang là \({{d}_{2}}:y=3.\) Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right).\) Khi đó ta tính được các khoảng cách \(d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|,\,\,d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-3 \right|=\left| \frac{5}{{{x}_{0}}-2} \right|.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,d\left( {M;{d_1}} \right) + d\left( {M;{d_2}} \right) = 6 \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{5}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} = 6 \Leftrightarrow {\left| {{x_0} - 2} \right|^2} - 6\left| {{x_0} - 2} \right| + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 1} \right)\left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x_0} - 2} \right| = 1\\\left| {{x_0} - 2} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\\{x_0} =  - 3\\{x_0} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1; - 2} \right)\\B\left( {3;8} \right)\\C\left( { -3;2} \right)\\D\left( {7;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn đáp án A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}-2}{{{x}^{2}}-1}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

  • A 0
  • B 2
  • C 3
  • D 1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số tiệm cận đứng của hàm phân thức \(y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\) là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy mẫu thức \({{x}^{2}}-1\) có 2 nghiệm \(x=\pm 1\) và \(x=1\) cũng là nghiệm của tử, \(x=-1\) không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng \(x=-1\).

Đáp án D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}\) là:

  • A 0
  • B 3
  • C 1
  • D 2

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(x={{x}_{o}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn ít nhất: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } \,f\left( x \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } \,f\left( x \right) =  - \infty \end{array} \right.\)

(Chú ý: có thể tìm các nghiệm của mẫu thức và kiểm tra xem có bao nhiêu nghiệm của mẫu thức không là nghiệm của tử thức thì đó chính là đáp án cần tìm)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{x+1}{x+4}\).

Vậy đồ thị hàm số chỉ có \(1\)tiệm cận đứng \(x=-4\).

Đáp án C

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Biết rằng đồ thị hàm số \(y=\dfrac{(a-3)x+a+2018}{x-(b+3)}\) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cần đứng. Khi đó giá trị của \(a+b\) là:

  • A 3
  • B -3
  • C 0
  • D 6

Đáp án: C

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\)hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)thì \(x=a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = a - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to b + 3} \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = \infty \end{array}\)

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y=a-3\), tiệm cận đứng là \(x=b+3\)

Theo đề bài, ta có:  \(a-3=b+3=0\)

=> \(a=3,\,\,b=-3\Rightarrow a+b=0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho hàm số \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + m}}{{x - m}}\) . Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giá trị của tham số \(m\)là:

  • A  

    \(m = 0\)

  • B \(m = 0;m = 1\)
  • C \(m = 1\)
  • D Không tồn tại \(m\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) không có tiệm cận đứng nếu mọi nghiệm của \(g\left( x \right)\) (nếu có) đều là nghiệm của \(f\left( x \right)\).

 

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Thử đáp án

Với \(m = 0\) ta có \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 3\left( {x \ne 0} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Với \(m = 1\) ta có \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x + 1}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 1\left( {x \ne 1} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

 

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\) hoặc \(m = 1\)

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}\) có tổng số bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?

  • A 1
  • B 2
  • C 4
  • D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(y={{y}_{o}}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\ \end{align} \right.\)

\(x={{x}_{o}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn ít nhất: \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty  \\  & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=-\infty  \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x\ge 1,x\ne 5\).

Ta có:

+) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=+\infty \) nên \(x=5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có 2 tiệm cận.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiêu điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(M\) đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng.

  • A \(1\)
  • B  \(2\)
  • C \(3\)
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Xác định các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\)

Giả sử \(M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right)\)

Từ đề bài ta có phương trình

\(5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 =  - 1\\x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là \(\left( {2; - 4} \right)\) và \(\left( {4;6} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng \(d:y = x\)?

  • A \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\)
  • B \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}\)
  • C \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)
  • D \(y = \frac{1}{{x + 3}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm các đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số ở mỗi đáp án.

- Kiểm tra điểm đó thuộc đường thẳng \(y = x\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 3;2} \right) \notin d\)

Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là \(\left( {1;1} \right) \in d\)

Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 2;2} \right) \notin d\)

Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 3;0} \right) \notin d\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

 Tìm các giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+m}\) đi qua điểm \(M\left( 2;3 \right)\)

  • A 3
  • B -2
  • C 2
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\) và tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-m\,\,\left( d \right),M\in d\Rightarrow 2=-m\Rightarrow m=-2.\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{\sqrt{1-m{{x}^{2}}}}\) có hai tiệm cận ngang.

  • A  \(m=0\).                                         
  • B  \(m=1\).                                         
  • C   \(m>1\).                                        
  • D  \(m<0\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang.

Đường thẳng \(y=a\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a;\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\).

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m>0\) ta có ĐKXĐ: \(1-m{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}<1\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\frac{1}{m}\Leftrightarrow -\frac{1}{\sqrt{m}}<x<\frac{1}{\sqrt{m}}\) loại vì theo định nghĩa tiệm cận ngang phải tồn tại giới hạn khi \(x\to \infty \).

+) Với \(m<0\) ta có ĐKXĐ: \(1-m{{x}^{2}}>0\) đúng với \(\forall x\).

Xét \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{1-m{{x}^{2}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x.\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-m}}=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) nên \(y=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{1-m{{x}^{2}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{-x.\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-m}}=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\) nên \(y=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy với \(m<0\) đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) và \(y=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}\)  có đúng 3 đường tiệm cận.

  • A \(\left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    m > 2\\
    m \ne \frac{5}{2}
    \end{array} \right.\\
    m < - 2
    \end{array} \right.\)

                           

  • B \(\left\{ \begin{array}{l}
    m > 2\\
    \left[ \begin{array}{l}
    m < - 2\\
    m \ne - \frac{5}{2}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.\)

                              

  • C  \(\left[ \begin{align}  & m>2 \\ & m<-2 \\\end{align} \right.\)                          
  • D  \(-2<m<2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Chứng minh đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 bằng cách tính \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y\).

+) Đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng 2 đường TCĐ \(\Leftrightarrow \) phương trình mẫu có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình tử.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{m}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\Rightarrow \) Đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 với mọi giá trị của m.

Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 2 đường tiệm cận đứng

\(\Leftrightarrow \) phương trình \({{x}^{2}}-mx+1=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} - 4 > 0\\
{2^2} - 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
m < - 2
\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.



Gửi bài