Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 1}}.\)

Cho mẫu bằng 0 ta được: \(x = 1\)\( \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Sử dụng pp bấm máy tính ta được: \(x \to  \pm \infty :\,y = 0\) \( \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận: \(x = 1\) và \(y = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = a\)

Hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang \(y = 1\\) và \(y = –1\).

Chọn B. 

Lời giải chi tiết:

Cho mẫu số bằng 0 ta được \(x = 1 \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Sử dụng phương pháp bấm máy ta được: \(x \to  \pm \infty :\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} \to 2 \Rightarrow y = 2\) là TCN của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giao điểm \(2\) đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho có giao \(2\) đường tiệm cận là \(I(–2;1)\)

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị  (H)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=-\infty \) nên \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( H \right).\) Ta lại có

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2017}{x-2}=0\) nên đồ thị có một tiệm cận ngang là \(y=0.\) Vậy có \(2\) đường tiệm cận của \(\left( H \right).\)

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (nếu có) có phương trình là \(y = \dfrac{a}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang \(y = 0\).

Chọn đáp án A

Phương pháp giải:

 Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ x = 2, TCN y = 1

Chọn đáp án A

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số phân thức \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng \)x =  - \dfrac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \)y = \dfrac{a}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \). Suy ra : \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\). Suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án B

Phương pháp giải:

Tìm số tiệm cận của hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)

+ Số tiệm cận ngang: Xét 2 giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\), đếm số các giới hạn hữu hạn khác nhau

+ Số tiệm cận đứng: Xét các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} y;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} y;...\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ + } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ - } y;...\) với x₁, x₂, ... là nghiệm của phương trình g(x) = 0: Đếm số các giới hạn vô hạn

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{2}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 2\) nên đồ thị hàm số có 2 TCN y = 2 và y = –2

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có 2 TCĐ x = –1 và x = 1

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

Hàm số có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\)  được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}} =  - \infty  \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) nếu \({x_0}\) là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\) nhưng không phải nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x =  - 2\) và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\) hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\) thì \(x = a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{1 + x}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x =  - 1;\,\,y =  - 2\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\) có 3 đường tiệm cận là \(x = 2;\,\,x =  - 2;\,\,y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{x}{{{x^2} - x + 9}}\) có 1 đường tiệm cận là \(y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{x + 3}}{{5x - 1}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x = \dfrac{1}{5};\,\,y = \dfrac{1}{5}\)

Chọn: B.

Phương pháp giải:

Định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\)  hoặc \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) thì y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y=\pm \infty \Rightarrow x={{x}_{0}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\) và tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{a}{c}=\frac{1}{1}=1\Rightarrow \)Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

\(x=-\frac{d}{c}=-\frac{-2}{1}=2\Rightarrow x=2\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số dựa vào định nghĩa:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty .\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) nên đường thẳng \(y=0\) (trục hoành \(Ox\)) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn D

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = a\) thì đường thẳng y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } y = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } y = 0\) thì x = x₀  được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \)Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm các giới hạn để tìm đường tiệm cận

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = + \infty \end{array} \right.\)

Vậy \(x =  \pm 4\) là tiệm cận đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Chọn: C.

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\)hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)thì \(x=a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2;\)\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\) nên đường thẳng \(y=2\)là tiệm cận ngang của (C).

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa tiệm cận ngang trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=a\).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=b\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\)nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

Vì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\)nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-1\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đường tiệm cận đứng là \(x=-\,\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-2}=\infty \,\,\Rightarrow \,\,x=2\) là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính giới hạn để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=\frac{\sqrt{5+x}-1}{x\left( x+4 \right)}=\frac{1}{x\left( \sqrt{5+x}+1 \right)}.\) Suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Chọn C

Phương pháp giải:

Xác định được hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\frac{a}{2}\Rightarrow y=\frac{a}{2}\) là tiệm cận ngang của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,\frac{a}{2}=2\Rightarrow a=4.\)

Và \(\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\infty \Rightarrow x=-\frac{c}{2}\) là tiệm cận đứng của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,-\frac{c}{2}=1\Rightarrow c=-\,2.\)

Vậy tổng \(a+c=4-2=2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Rút gọn biểu thức, tính giới hạn để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu \(x=a\) là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử số.

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{{{x}^{2}}-7x+6}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-6 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{x-6}{x+1}.\)

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=-1\) và tiệm cận ngang là \(y=1.\)

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn A

Phương pháp giải:

Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất dựa vào định nghĩa.

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\) thì \(y={{y}_{0}}\) là TCN của đồ thị hàm số.

Nếu \(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \) hoặc \(\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \) thì \(x={{x}_{0}}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}\) có hai đường tiệm cận là \(y=\frac{a}{b}\) (TCN) và \(x=\frac{2}{b}\) (TCĐ).

Yêu cầu bài toán tương đương với \(\frac{2}{b}=1;\,\,\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=2 \\ \end{align} \right..\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\Rightarrow y=a\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \Rightarrow x={{x}_{0}}\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy đồ thị hàm số có 1 đường TCN là \(y=0\) và 2 đường TCĐ là \(x=1;x=3\)

Vậy \(n=3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCN là \(y=a\).

Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty ;\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCĐ là \(x={{x}_{0}}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=3;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-3\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCN là \(y=3\) và \(y=-3\)

\(\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCĐ là \(x=-2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chọn 1 điểm M bất kỳ và tính d

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ: x = 0 và TCN: y = 1

Ta có M(1;3) ∈ (C)

Khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt là 1 và 2

Tích của chúng là d = 2

Chọn đáp án A

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Dùng công thức \(y-f\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\) để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y=f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}.\) Tìm giao điểm của tiệm cận và tiếp tuyến. Từ đó tính diện tích tam giác tạo thành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=+\infty \) nên \({{d}_{1}}:x=1\) là tiệm cận đứng của \(\left( H \right).\)

Ta cũng có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=2,\) nên \({{d}_{2}}:y=2\) là tiệm cận ngang của \(\left( H \right).\)

Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1} \right).\) Ta có \(y'\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng

\(y-y\left( {{x}_{0}} \right)=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\left( {{d}_{3}} \right).\)

Ta tìm được \({{d}_{1}}\cap {{d}_{3}}=B\left( 1;\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right),{{d}_{2}}\cap {{d}_{3}}=A\left( 2{{x}_{0}}-1;2 \right).\) Giả sử \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\left( 1;2 \right).\) Tam giác tạo thành là tam giác vuông \(IAB\) vuông tại \(I.\) Ta tính được \(\overrightarrow{IA}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right),\,\overrightarrow{IB}=\left( 0;\frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right)\Rightarrow IA=2\left| {{x}_{0}}-1 \right|,\,\,IB=\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|.\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.2\left| {{x}_{0}}-1 \right|.\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|=2.\)

Chọn đáp án D.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng các kí hiệu như ở câu 2. Khi đó khoảng cách từ \(M\) tới \({{d}_{2}}\) là

\(d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \dfrac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1}-2 \right|=\dfrac{1}{\left| {{x}_{0}}-1 \right|},\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-1 \right|\)

\(\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\dfrac{1}{\left| {{x}_{0}}-1 \right|}.\,\left| {{x}_{0}}-1 \right|=1.\)

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa để tìm tiệm cận. Từ đó tính khoảng cách từ điểm \(M\) tới hai tiệm cận rồi thay vào yêu cầu của bài toán để đưa ra một phương trình theo ẩn \({{x}_{0}}\) và giải phương trình này tìm \({{x}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự câu 2 ta tìm được tiệm cận đứng là \({{d}_{1}}:x=2,\) tiệm cận ngang là \({{d}_{2}}:y=3.\) Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right).\) Khi đó ta tính được các khoảng cách \(d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|,\,\,d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-3 \right|=\left| \frac{5}{{{x}_{0}}-2} \right|.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,d\left( {M;{d_1}} \right) + d\left( {M;{d_2}} \right) = 6 \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{5}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} = 6 \Leftrightarrow {\left| {{x_0} - 2} \right|^2} - 6\left| {{x_0} - 2} \right| + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 1} \right)\left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x_0} - 2} \right| = 1\\\left| {{x_0} - 2} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\\{x_0} =  - 3\\{x_0} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1; - 2} \right)\\B\left( {3;8} \right)\\C\left( { -3;2} \right)\\D\left( {7;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Số tiệm cận đứng của hàm phân thức \(y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\) là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy mẫu thức \({{x}^{2}}-1\) có 2 nghiệm \(x=\pm 1\) và \(x=1\) cũng là nghiệm của tử, \(x=-1\) không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng \(x=-1\).

Đáp án D.

Phương pháp giải:

\(x={{x}_{o}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn ít nhất: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } \,f\left( x \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } \,f\left( x \right) =  - \infty \end{array} \right.\)

(Chú ý: có thể tìm các nghiệm của mẫu thức và kiểm tra xem có bao nhiêu nghiệm của mẫu thức không là nghiệm của tử thức thì đó chính là đáp án cần tìm)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{x+1}{x+4}\).

Vậy đồ thị hàm số chỉ có \(1\)tiệm cận đứng \(x=-4\).

Đáp án C

Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\)hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\)thì \(x=a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = a - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to b + 3} \dfrac{{(a - 3)x + a + 2018}}{{x - (b + 3)}} = \infty \end{array}\)

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y=a-3\), tiệm cận đứng là \(x=b+3\)

Theo đề bài, ta có:  \(a-3=b+3=0\)

=> \(a=3,\,\,b=-3\Rightarrow a+b=0\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) không có tiệm cận đứng nếu mọi nghiệm của \(g\left( x \right)\) (nếu có) đều là nghiệm của \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Thử đáp án

Với \(m = 0\) ta có \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 3\left( {x \ne 0} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Với \(m = 1\) ta có \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x + 1}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 1\left( {x \ne 1} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\) hoặc \(m = 1\)

Phương pháp giải:

\(y={{y}_{o}}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)={{y}_{o}} \\ \end{align} \right.\)

\(x={{x}_{o}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu thỏa mãn ít nhất: \(\left[ \begin{align}  & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty  \\  & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty  \\ & \underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\,f\left( x \right)=-\infty  \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x\ge 1,x\ne 5\).

Ta có:

+) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x-1}+1}{{{x}^{2}}-4x-5}=+\infty \) nên \(x=5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có 2 tiệm cận.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Xác định các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\)

Giả sử \(M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right)\)

Từ đề bài ta có phương trình

\(5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 =  - 1\\x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là \(\left( {2; - 4} \right)\) và \(\left( {4;6} \right)\)

Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm các đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số ở mỗi đáp án.

- Kiểm tra điểm đó thuộc đường thẳng \(y = x\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 3;2} \right) \notin d\)

Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là \(\left( {1;1} \right) \in d\)

Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 2;2} \right) \notin d\)

Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là \(\left( { - 3;0} \right) \notin d\)

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\) và tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-m\,\,\left( d \right),M\in d\Rightarrow 2=-m\Rightarrow m=-2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang.

Đường thẳng \(y=a\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a;\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=a\).

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m>0\) ta có ĐKXĐ: \(1-m{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}<1\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\frac{1}{m}\Leftrightarrow -\frac{1}{\sqrt{m}}<x<\frac{1}{\sqrt{m}}\) loại vì theo định nghĩa tiệm cận ngang phải tồn tại giới hạn khi \(x\to \infty \).

+) Với \(m<0\) ta có ĐKXĐ: \(1-m{{x}^{2}}>0\) đúng với \(\forall x\).

Xét \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{1-m{{x}^{2}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x.\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-m}}=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) nên \(y=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{1-m{{x}^{2}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{-x.\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-m}}=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\) nên \(y=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy với \(m<0\) đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y=\frac{1}{\sqrt{-m}}\) và \(y=\frac{-1}{\sqrt{-m}}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Chứng minh đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 bằng cách tính \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y\).

+) Đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng 2 đường TCĐ \(\Leftrightarrow \) phương trình mẫu có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình tử.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{m}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\Rightarrow \) Đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 với mọi giá trị của m.

Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 2 đường tiệm cận đứng

\(\Leftrightarrow \) phương trình \({{x}^{2}}-mx+1=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} - 4 > 0\\
{2^2} - 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
m < - 2
\end{array} \right.\)

Chọn A.