20 bài tập vận dụng Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho tam giác \(ABC\) , điểm \(D\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AD=\frac{1}{2}DC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AM\). Chứng minh rằng \(AI=IM\). 

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác. Từ đó dùng các tính chất của đường trung bình để suy ra điều cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(DC\) .

Xét tam giác \(BDC\) có: \(BM=MC,DE=EC\) nên \(ME\) là đường trung bình của tam giác\(BDC\) . Suy ra \(BD//ME\) hay \(DI//EM\) .

Xét tam giác \(AME\) có \(AD=DE,DI//EM\) nên \(AI~=IM\) (đpcm)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 12cm,BC = 13cm\). Gọi M, N là trung điểm AB, BC

a) Chứng minh MN vuông góc với AB.                     b) Tính độ dài đoạn MN.

  • A \(b)\,\,MN = 2cm\)
  • B \(b)\,\,MN = 2,5cm\)
  • C \(b)\,\,MN = 3cm\)
  • D \(b)\,\,MN = 3,5cm\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Áp dụng định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh \(MN \bot AB\)

MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\,\,\,\left( {gt} \right)\)

 \( \Rightarrow MN//AC\) (định lí 2)

Mà \(AC \bot AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

Do đó \(MN \bot AB\). (từ song song đến vuông góc)

b) Tính độ dài MN.

Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {13^2} - {12^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = 169 - 144 = 25\\ \Rightarrow AC = 5cm.\end{array}\)

Do \(MN = \frac{{AC}}{2}\) (MN là đường trung bình \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow MN = \frac{5}{2} = 2,5\,\,cm.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Chọn câu đúng trong các câu sau:

  • A \(AE=\frac{1}{2}EC\)            
  • B \(AE=2EC\)                          
  • C  \(FC=AF\)                         
  • D \(MF=BE\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Sử dụng các dấu hiệu nhận biết đường trung bình để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác. Từ đó rút ra các mối liện hệ giữa các đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét tam giác \(BEM\) có \(BM=MC,EF=FC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(BEC\). Do đó \(MF//BE\).

Xét tam giác \(AMF\) có \(AD=DM,DE//MF\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(AMF\). Do đó \(AE=EF\).

Do đó \(AE=EF=FC\) nên \(AE=\frac{1}{2}EC\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(G\). Gọi \(I,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(GB,GC\). Trong các câu sau câu nào đúng

  • A \(DE//IK\)                                                            
  • B \(DE=IK\)           
  • C Cả A và B đều đúng                                         
  • D Cả A và B đều sai.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh các đường thẳng lần lượt là các đường trung bình của các tam giác tương ứng. Sau đó sử dụng tính chất của các đường trung bình để suy ra các mỗi liên hệ giữa các đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Vì tam giác \(ABC\) có \(AE=EB,AD=DC\) nên \(ED\) là đường trung bình, do đó \(ED//BC,ED=\frac{1}{2}BC\(.

Tương tự tam giác \(GBC\) có \(GI=IB,GK=KC\) nên \(IK\) là đường trung bình, do đó \(IK//BC,IK=\frac{1}{2}BC\).

Suy ra \(ED//IK\) (cùng song song với \(BC\))

            \(ED=IK\) (cùng bằng \(\frac{1}{2}BC\))

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Từ \(M\) và \(C\) kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc \(A\), các đường này lần lượt cắt tia \(AB\) tại \(P\) và \(E\).

a) Chứng minh rằng \(AP=\frac{AB+AC}{2}\)

b) Chứng minh \(\Delta PNM\) là tam giác cân.

c) So sánh \(PN\) và \(AC\) 

Phương pháp giải:

Phương pháp:

a) Chứng minh \(P\) là trung điểm của \(BE\) dựa vào đường trung bình rồi suy ra \(AP=\frac{AB+AE}{2}\).

Chứng minh \(\Delta ACE\) cân tại \(A\) suy ra \(AE=AC\Rightarrow \) đpcm.

b) Chứng minh \(\Delta NPM\) cân tại \(N\) bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình và tính chất tam giác cân.

c) Chứng minh \(PN=\frac{1}{2}AC\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(AP=AB+BP\)

  \(AP=AEPE\)

Do đó \(2AP=AB+AE+BPPE\text{ }\left( 1 \right)\)

Trong tam giác \(BCE\) ta có :\(BM=MC\)  và \(MP//CE\) (cùng vuông góc với tia phân giác \(Ax\)) nên suy ra \(P\) là trung điểm của \(BE\) và ta có \(BP=PE\) .

Mặt khác tam giác \(ACE\) cân tại \(A\) vì có phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao. Do đó \(AE=AC\) .

Vậy (1) cho ta \(2AP=AB+AC\) hay \(\text{AP =}\frac{AB+AC}{2}\) (đpcm)

b) Đường thẳng \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) . Ta có tam giác \(APQ\) cân tại \(A\) vì phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao, nên ta có \(\widehat{APM}=\widehat{AQP}\) .

Mà \(\widehat{NMP}=\widehat{AQP}\) (hai góc đồng vị)

Do đó \(\widehat{APM}=\widehat{NMP}\)

Suy ra tam giác \(MNP\) cân tại \(N\).

Suy ra \(PN=MN\)

c) Ta có \(MN=\frac{1}{2}AC\) ( đường trung bình của tam giác \(ABC\))

Vậy \(PN=\frac{1}{2}AC\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Độ dài đường trung bình của hình thang là \(16cm\); hai đáy tỉ lệ với \(3\)  và \(5\)  thì độ dài hai đáy là :

  • A \(12cm\)  và \(20cm\) 
  • B  \(6cm\)  và \(10\text{ }cm\)
  • C \(3cm\)  và \(5cm\)                                                                             
  • D Đáp số khác

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp: Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Gọi \(a\) và \(b\) lần lượt là độ dài hai đáy nhỏ, đáy lớn của hình thang.

Theo định lí đường trung bình của hình thang suy ra \(a+b=2.16=32(cm)\).

Mặt khác theo bài ra \(a\) và \(b\) tỉ lệ với \(3\)  và \(5\)  nên ta có: \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\) .

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{align}  & \frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{a+b}{3+5}=\frac{32}{8}=4 \\ & \Rightarrow a=4.3=12(cm) \\ & \Rightarrow b=4.5=20(cm) \\\end{align}\)

Vậy độ dài \(2\)  đáy của hình thang là \(12cm,\text{ }20cm\) .

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Một hình thang cân có cạnh bên là \(2,5cm\) , đường trung bình là \(3cm\). Chu vi của hình thang đó là:

  • A \(8cm\)                               
  • B \(8,5cm\)                                
  • C \(11,5cm\)                                    
  • D  \(11cm\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp: Dựa vào định lí đường trung bình của hình thang ta tính được tổng hai đáy của hình thang. Từ đó tính được chu vi của hình thang.

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Từ định lí đường trung bình của hình thang suy ra độ dài tổng hai đáy của hình thang bằng hai lần độ dài đường trung bình của hình thang và bằng: \(3.2=6(cm)\)

Mà đây là hình thang cân nên có chu vi của hình thang là: \(6+2,5.2=11(cm)\) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

 Cho hình thang \(ABCD\left( AB//CD \right)\), \(M\) là trung điểm của \(AD,\text{ }N\) là trung điểm của \(BC\) . Gọi \(I,\text{ }K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD,\text{ }AC\) . Cho biết \(AB=6cm,CD=14cm\) . Tính các độ dài \(MI,\text{ }IK,\text{ }KN\).

  • A \(\begin{array}{l}
    MI = 3\,\,cm\\
    IK = 4\,cm\\
    KN = 3\,cm
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    MI = 4\,\,cm\\
    IK = 4\,cm\\
    KN = 3\,cm
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    MI = 3\,\,cm\\
    IK = 4\,cm\\
    KN = 4\,cm
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    MI = 3\,\,cm\\
    IK = 3\,cm\\
    KN = 3\,cm
    \end{array}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang ta tính được \(MN\), sử dụng định lí đường trung bình của tam giác ta tính được \(MK,MI\).

Từ đó tính được \(IK,\text{ }KN\).

Lời giải chi tiết:

Xét hình thang \(ABCD\) có: \(M\) là trung điểm của \(AD;\text{ }N\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Rightarrow \) \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+14}{2}=10(cm) \\ & MN//AB//CD \\\end{align} \right.\)

Xét \(\Delta ADC\) có: \(AM\text{ }=\text{ }MD,\text{ }MK\text{ }//\text{ }DC\) nên \(AK=KC\) (định lí đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow \)\(MK\) là đường trung bình của \(\Delta ADC\Rightarrow MK=\frac{DC}{2}=\frac{14}{2}=7\left( cm \right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(AM\text{ }=\text{ }MD,\text{ }MI\text{ }//\text{ }AB\) nên \(BI=ID\) (định lí đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow \) \(MI\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\Rightarrow MI=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\left( cm \right)\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow IK=MK-MI=7-3=4\,(cm) \\ & KN=MN-MK=10-7=3\,(cm) \\\end{align}\)

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng \(10cm\).

  • A \(8\,cm\)
  • B \(15\,cm\)
  • C \(10\,cm\)
  • D \(12\,cm\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Ta đi chứng minh đường trung bình của hình thang cân \(ABCD\) bằng đường cao đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang

Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang để tính

Lời giải chi tiết:

Xét hình thang cân \(ABCD\left( AB//CD \right)\) , hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại \(O,\text{ }MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\)

Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(E,\)  với \(CD\) tại \(F.\) 

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:

\(AD=BC\) (gt)

DC cạnh chung

\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) (gt)

\(\Rightarrow \Delta ADC=\Delta BCD(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \)

\(\Rightarrow OC=OD\) (tính chất tam giác cân).

Mà \(AC=BD\) nên \(OA=OB\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\).

Lại có \(\widehat{AOB}=90{}^\circ \) (do \(AB\) vuông góc với \(CD\)) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) nên  \(OE=\frac{AB}{2}\).

Tương tự: tam giác \(DOC\) vuông cân tại \(O\) nên \(FO=\frac{CD}{2}\)

Do đó \(FE=\frac{AB+CD}{2}\)

\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

\(\Rightarrow MN=FE=10cm\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang, đường trung bình của tam giác để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Xét hình thang \(ABCD\) có \(AB//CD,AE=ED,FE//AB//CD\), suy ra \(BF=FC\) (định lí đường trung bình của hình thang).

Xét \(\Delta ADC\) có \(AE=ED,EK//DC\), suy ra \(AK=KC\) (định lí đường trung bình của \(\Delta BDC\)) .

Xét \(\Delta ABD\) có \(AE=ED,EI//AB\), suy ra \(BI=ID\) (định lí đường trung bình của \(\Delta ABC\)).

Do đó \(EF\) đi qua trung điểm của \(BC,\,AC,\,BD\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Độ dài hai đáy của một hình thang lần lượt là 3cm và 7cm, thì độ dài đường trung bình của hình thang đó bằng:

  • A 10 cm
  • B 5 cm
  • C 4 cm
  • D 2 cm

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng độ dài hai đấy. 

Lời giải chi tiết:

Độ dài đường trung bình của hình thang là: (3 + 7) : 2 = 5(cm)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho tam giác ABC. Từ điểm O trong tam giác đó kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB ở M, cắt cạnh AC ở N.

a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của DABC để tứ giác BMNC  là hình thang cân?

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa của hình thang: hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song.

Áp dụng định nghĩa của hình thang cân: hình thang cân là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

Theo đề bài ta có: \(MN//BC.\)

\( \Rightarrow BMNC\) là hình thang. (định nghĩa)

b) Tìm điều kiện của DABC để tứ giác BMNC  là hình thang cân?

Theo câu a) ta có: \(BMNC\) là hình thang có hai đáy \(MN,\,\,BC.\)

\( \Rightarrow BMNC\) là hình thang cân \( \Leftrightarrow \angle B = \angle C.\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy để \(BMNC\) là hình thang cân thì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho tam giác ABC đều và có độ dài một đường trung bình là \(3cm\). Ta tính được chu vi tam giác ABC là        

  • A \(36cm\)
  • B \(9cm\)
  • C \(12cm\)
  • D \(18cm\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết:

 Do đường trung bình của \(\Delta ABC\)  bằng \(3cm\), nên độ dài BC là: \(BC = 2 \times 3 = 6cm\)

Mà \(\Delta ABC\) đều nên \(BC = AC = AB = 6cm\)

Vậy chu vi \(\Delta ABC\)  là :\(BC + AC + AB = 6 + 6 + 6 = 18cm\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hình vẽ sau:

Biết \(AC = CE = EG\),\(BD = DF = FH\) và \(AB//CD//EF//GH.\) Khi tính \(x\)  và \(y,\)  khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A \(x = 5cm,y = 7cm\)
  • B \(x = 5cm,y = 8cm\)
  • C \(x = 12cm,y = 18cm\)
  • D \(x = 12cm,y = 20cm\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết:

+) Xét hình thang ABFE có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD//EF\\AC = CE\\BD = DF\end{array} \right. \Rightarrow \) CD là đường trung bình của hình thang ABFE (định nghĩa)

 \( \Rightarrow x = CD = \frac{{AB + EF}}{2}\)\( = \frac{{4 + 6}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\,\,cm\)

+) Xét hình thang CDHG có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD//EF//GH\\CE = EG\\DF = FH\end{array} \right. \Rightarrow \) EF là đường trung bình của hình thang CDHG (định nghĩa)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow EF = \frac{{CD + GH}}{2} \Leftrightarrow 6 = \frac{{5 + y}}{2}\\ \Leftrightarrow 12 = 5 + y\,\, \Leftrightarrow y = 7\,\,cm\end{array}\)

Vậy \(x = 5cm,\,\,y = 7cm.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, trên đoạn AB lấy 2 điểm D và E sao cho\(AD = DE = EB\). Gọi I là giao điểm CD và AM. Chứng minh I là trung điểm AM.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 1 đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta BDC\) ta có: \(M,\,\,E\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,BD\)

\( \Rightarrow ME\) là đường trung bình của \(\Delta BDC.\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow ME//CD.\)

Xét \(\Delta AEM\) ta có: \(D\) là trung điểm của \(AE\)

\(DE//ME\,\,\,\left( {DC//ME} \right)\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AM.\) (định lý đảo)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hình thang ABCD (AB//CD); M và N là trung điểm AD và BC. Cho biết\(CD = 4cm,MN = 3cm\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

  • A \(AB = 2cm\)
  • B \(AB = 1,5cm\)
  • C \(AB = 3cm\)
  • D \(AB = 2,5cm\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (định nghĩa)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN = \frac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow 3 = \frac{{AB + 4}}{2}\\ \Leftrightarrow AB + 4 = 6 \Leftrightarrow AB = 2\,\,cm.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Độ dài đường trung bình của hình thang là \(22,5cm\). Tỉ số hai đáy của hình thang là \(\frac{1}{2}\) .Tính độ dài hai đáy của hình thang.

  • A \(12cm\) và \(24cm\)
  • B \(14cm\) và \(28cm\)
  • C \(15cm\) và \(30cm\)
  • D \(16cm\) và \(32cm\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết:

Gọi hai đáy của hình thang có độ dài là: \(x,\,\,y\,\,\,\left( {y > x > 0} \right).\)   

\( \Rightarrow \frac{{x + y}}{2} = 22,5 \Leftrightarrow x + y = 45\)  (định lý 2)

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\)  

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{1 + 2}} = \frac{{45}}{3} = 15\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1.15 = 15\,\,cm.\\y = 2.15 = 30\,\,\,cm.\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) gọi \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(BCD, \,ACD,\,ABD,\,ABC\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AC,\,BD.\)

Chứng minh rằng các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD'\) và \(MN\) đồng quy.

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ ta dự đoán \(AA',BB',CC',DD',MN\) sẽ đồng quy tại trung điểm của \(MN\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\)  và \(MN\) ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MN\).

Ta dùng kiến thức về đường trung bình của tam giác và điểm \(K\) là trung điểm của \(A'C\)  sẽ giúp ta giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\)  và \(MN,K\) là trung điểm của đoạn \(A'C\) .

Do \(A'\)  là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên suy ra \(CK=KA=A'N\).

Tam giác \(AA'C\)  có \(AM=MC\left( gt \right),CK=KA'\) suy ra \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(AA'C.\)

Suy ra \(MK//AA'.\) 

Tam giác \(NMK\) có \(IA'//MK\) và \(KA'=\text{ }A'N\) nên \(MI=IN\) .

Vậy \(I\) là trung điểm của \(MN,\) suy ra \(AA'\)  đi qua trung điểm \(I\) của \(MN.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(BB',CC',DD'\) đi qua \(I\).

Vậy các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD',\,MN\) đồng quy.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hình thang \(ABCD\left( AB//CD \right),\) hai đường phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) cắt nhau tại \(I,\)  hai đường phân giác của góc \(B\) và góc \(C\) cắt nhau tại \(J.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD,\text{ }K\) là trung điểm của \(BC\) . Cho biết \(AB=AD=10cm,\,BC=12cm,\,CD=20cm.\) Tính độ dài các đoạn \(HI,\text{ }IJ\) và \(JK.\)

  • A \(\begin{array}{l}
    HI = 5\,\,cm\\
    IJ = 3\,\,cm\\
    JK = 6\,cm
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    HI = 5\,\,cm\\
    IJ = 4\,\,cm\\
    JK = 3\,cm
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    HI = 3\,\,cm\\
    IJ = 4\,\,cm\\
    JK = 6\,cm
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    HI = 5\,\,cm\\
    IJ = 4\,\,cm\\
    JK = 6\,cm
    \end{array}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang để tính \(HK\).

Sau đó ta đi chứng minh bốn điểm \(H,\,I,\,J,\,K\) thẳng hàng từ đó tính được \(HI,\,J,\,IK\).

Lời giải chi tiết:

Xét hình thang \(ABCD\) có: \(H\) là trung điểm của \(AD,\text{ }K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(KH\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\).

Suy ra \(\left\{ \begin{align} & KH\parallel CD(1) \\ & HK=\frac{AB+CD}{2}=\frac{10+20}{2}=15cm \\\end{align} \right.\)

Vì \(AI\) và \(DI\) là hai tia phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) nên ta có:\(\widehat{IAD}+\widehat{IDA}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ \) .

Xét \(\Delta AID\) có: \(\widehat{AID}=180{}^\circ -\left( \widehat{IAD}+\widehat{IDA} \right)=180{}^\circ -90{}^\circ =90{}^\circ \) . Suy ra \(\Delta AID\) vuông tại \(I\). Lại có \(IH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AD\) của tam giác vuông \(AID\) nên \(HI=HD\) .

Do đó tam giác \(HID\) cân tại \(H\) nên\(\widehat{HID}=\widehat{HDI}\) .

Mà \(\widehat{HDI}=\widehat{IDC}\Rightarrow \widehat{HID}=\widehat{IDC}\Rightarrow HI\parallel DC(2)\) .

Từ (1) và (2) suy ra \(H,\text{ }I,\text{ }K\) thẳng hàng hay điểm \(I\) thuộc đường thẳng \(HK\).

Tương tự điểm \(J\) thuộc đường thẳng \(HK\). Do đó bốn điểm \(H,\text{ }I,\text{ }J,\text{ }K\) thẳng hàng.

\(\begin{align} & IH=\frac{AD}{2}=\frac{10}{2}=5cm \\ & JK=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6cm \\ & \Rightarrow \text{IJ}=HK-IH-JK=15-5-6=4cm \\\end{align}\)

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AD, BC, AC, BD.

a) Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.                                  b) Giả sử \(AB < CD\). Chứng minh \(PQ = \frac{{DC - AB}}{2}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.

Xét hình thang ABCD ta có:

M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang ABCD.

\( \Rightarrow MN//AB//CD\) (tính chất) (1)

Xét \(\Delta ADB\) ta có:

M, Q lần lượt là trung điểm của AD và BD

\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\) (định nghĩa).

\( \Rightarrow MQ//AB\) (tính chất) (2)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

N, P lần lượt là trung điểm của BC và AC

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow NP//AB\) (tính chất) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(MN//MQ//NP//AB\)

\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,\,Q\) thẳng hàng. (đpcm)

b) Giả sửa \(AB < CD.\) Chứng minh \(PQ = \frac{{DC - AB}}{2}.\)

Ta có: \(MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\)

\( \Rightarrow MQ = \frac{1}{2}AB.\)

\(NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB.\)

\( \Rightarrow MQ + NP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AB = AB.\)

\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB + CD}}{2}.\)

Lại có: \(PQ = MN - \left( {MQ + PN} \right)\)

\( \Rightarrow PQ = \frac{{AB + CD}}{2} - AB = \frac{{CD - AB}}{2}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm