Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia hết thì số dư cuối cùng phải bằng 0, từ đó ta tìm ra a và b

Lời giải chi tiết:

Để \({x^4} + ax + b\) chia hết cho \({x^2} – 4\) thì \(ax + b + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ax = 0 \hfill \cr  b + 16 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a = 0 \hfill \cr b =  - 16 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia có dư thì số dư cuối cùng phải bằng giá trị dư của biểu thức, từ đó ta tìm ra .

Lời giải chi tiết:

Để \(6{x^3} - 7{x^2} - x + a\) chia 2x + 1 dư 2  thì  \(a - 2 = 2 \Leftrightarrow a = 4\)

Phương pháp giải:

- Phân tích biểu thức A thành tích các đa thức (sử dụng hằng đẳng thức).

- Nếu A là tích các đa thức giống đa thức B thì A chia hết cho B.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& A = {x^3} + 12x + 6{x^2} + 8 = {x^3} + 3.2.{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}  \cr & B = {\left( {x + 2} \right)^2} \cr} \)

Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia có dư theo điều kiện đề bài thì số dư cuối cùng phải bằng số dư đề bài cho. Từ đó ta được phương trình thứ nhất.

- Thực hiện tương tự, được phương trình thứ hai. Lập hệ phương trình, giải hệ thu được giá trị của a và b.

Lời giải chi tiết:

Để \({x^3} + ax + b\) chia cho x + 1 dư 7 thì  \(b - a - 1 = 7 \Leftrightarrow  - a + b = 8\;(1)\)

Để \({x^3} + ax + b\) chia cho x - 3 dư - 5 thì  \(b + 3a + 27 = -5 \Leftrightarrow 3a + b =  - 32\;(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ  \(\left\{ \matrix{- a + b = 8 \hfill \cr 3a + b =  - 32 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a =  - 10 \hfill \cr  b =  - 2 \hfill \cr}  \right.\)

Phương pháp giải:

Đa thức bị chia = Đa thức chia x Đa thức thương + Đa thức dư.

Lời giải chi tiết:

Đa thức bị chia A là:

\(\begin{array}{l}\left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x + 1\\ = 2{x^4} + 4{x^2} + {x^3} + 2x + {x^2} + 2 + 2x + 1\\ = 2{x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 4x + 3\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đa thức bị chia = Đa thức chia x Đa thức thương + Đa thức dư.

Lời giải chi tiết:

Đa thức bị chia A là:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x - 1\\ = {x^4} + 2{x^2} + 2{x^3} + 4x + 5{x^2} + 10 + 2x - 1\\ = {x^4} + 2{x^3} + 7{x^2} + 6x + 9\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta giải tìm \(a.\) 

Lời giải chi tiết:

Để \(3{x^3} + 10{x^2} - 2x + a\) chia hết cho \(3x - 2\) thì \(a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 4\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta giải ra \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Để \({x^3} + 5{x^2} + 5x + a\) chia hết cho \({x^2} + 3x - 1\) thì \(a + 2 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có số dư bằng 0. Từ đó, ta giải phương trình để tìm \(a\)

Lời giải chi tiết:

Để \(2{x^3} + 6{x^2} - 3x + a\) chia hết cho \(x - 2\) thì \(a + 34 = 0 \Leftrightarrow a =  - 34\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Lời giải chi tiết:

Hay \({x^3} - {x^2} - x - 2 = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng.

- Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

\(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1 = \left( {2{n^2} - n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) + 1\)

Để \(2{n^3} - 3{n^2} + 3n – 1\) chia hết cho n - 1 thì 1  chia hết cho n - 1.

\( \Rightarrow \left( {n - 1} \right) \in \left\{ {1, - 1} \right\}\)

vậy  \(n = \left\{ {0,2} \right\}\) để  \(P \in Z\)

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta có 1 phương trình.

Phép chia có dư, đồng nhất hệ số với \( - 2x + 1\) ta được 2 phương trình.

Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn ta được \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Để \(a{x^3} + b{x^2} + c\) chia hết cho \(x - 1\) thì \(a + b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để \(a{x^3} + b{x^2} + c\) chia cho \({x^2} + 2\) dư \( - 2x + 1\) thì \( - 2ax + 2b + c =  - 2x + 1\,\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a =  - 2\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2b + c = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\1 + b + c = 0\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\2b - 1 - b = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\) hay đa thức bị chia là \({x^3} + 2{x^2} - 3.\)

Chọn D.