Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 5: Đạo hàm - Đề số 2
Đề bài
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x \ne 0}\\{\dfrac{1}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x = 0}\end{array}} \right..$ Tính $f'\left( 0 \right).$
-
A.
$f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{4}.$
-
B.
\(f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{16}}.\)
-
C.
\(f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{32}}.\)
-
D.
Không tồn tại
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác $M$ là $N$. Tọa độ điểm $N$ là:
-
A.
\(N\left( { - 2; - 3} \right)\)
-
B.
\(N\left( {1;3} \right)\)
-
C.
\(N\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(M\left( {2;9} \right)\)
Cho hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''.\)
-
A.
\(M = 0.\)
-
B.
\(M = 20.\)
-
C.
\(M = 40.\)
-
D.
\(M = 100.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là
-
A.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
-
B.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
-
C.
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0} - x} \right)\)
-
D.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {y_0}\)
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\) tại điểm \(x = - 1\) là:
-
A.
\( - 32\).
-
B.
\(30\).
-
C.
\( - 64\).
-
D.
\(12\).
Cho hàm số $y = {\sin ^3}x$. Rút gọn biểu thức $M = y'' + 9y.$
-
A.
$M = \sin x.$
-
B.
$M = 6\sin x.$
-
C.
$M = 6\cos x.$
-
D.
$M = - \,6\sin x.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Hàm số không liên tục tại \(x = 0\)$.$
-
B.
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\)$.$
-
C.
Hàm số liên tục tại \(x = 2\)$.$
-
D.
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\)$.$
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0?\)
-
A.
\(3x + y - 3 = 0\)
-
B.
\(3x - y - 3 = 0\)
-
C.
\( - 3x + y - 3 = 0\)
-
D.
\(3x + y + 3 = 0\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Xét hai mệnh đề sau:
(I) Hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và \(f'\left( 0 \right) = 1\)
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\).
Mệnh đề nào đúng?
-
A.
Chỉ (I)
-
B.
Chỉ (II)
-
C.
Cả 2 đều đúng
-
D.
Cả 2 đều sai.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc \(k = ?\)
-
A.
\(k = - 1\)
-
B.
\(k = - 3\)
-
C.
\(k = 3\)
-
D.
\(k = 5\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
-
A.
\(x = - 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = 2\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) = f''\left( x \right)\).
-
A.
\(x = 3\); \(x = 2.\)
-
B.
$x = 4.$
-
C.
$x = 5$; $x = 6.$
-
D.
$x = - 3.$
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}\). Đạo hàm y’ của hàm số là:
-
A.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} - 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 5x + 11}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 5x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2$ . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng \(2\) là:
-
A.
\(y = 7x + 2\).
-
B.
\(y = 7x - 2\).
-
C.
\(y = - 7x + 2\) .
-
D.
\(y = - 7x - 2\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\)
-
A.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
-
B.
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
-
C.
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
-
D.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} = - 1\).
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
Không tồn tại.
Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
-
A.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
B.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
C.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}\)
-
D.
\(y' = 2\tan x - 2\cot x\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
C.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin 5x\cos 2x.$
-
A.
$y'' = 49\sin 7x + 9\sin 3x.$
-
B.
$y'' = - 49\sin 7x - 9\sin 3x.$
-
C.
$y'' = \dfrac{{49}}{2}\sin 7x + \dfrac{9}{2}\sin 3x.$
-
D.
$y'' = - \dfrac{{49}}{2}\sin 7x - \dfrac{9}{2}\sin 3x.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) ?
-
A.
$10000!$
-
B.
$1000!$
-
C.
$1100!$
-
D.
$1110!$
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t$, trong đó $t>0$, $t$ tính bằng giây và $s\left( t \right)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là:
-
A.
$-9\ {{{m}/{s}\;}^{2}}.$
-
B.
$12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
-
C.
$9\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
-
D.
$-12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Cho hàm số \(y = \dfrac{{a{x^2} - bx}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Để \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại gốc tọa độ có hệ số góc \(k = - 3\) thì mỗi liên hệ giữa $a$ và $b$ là :
-
A.
\(4a - b = 1\)
-
B.
\(a - 4b = 1\)
-
C.
\(4a - b = 0\)
-
D.
\(a - 4b = 0\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Tìm $m$ để hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)
-
A.
\(m \le \sqrt 2 \)
-
B.
\(m \le 2\)
-
C.
\(m \le 0\)
-
D.
\(m < 0\)
Lời giải và đáp án
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x \ne 0}\\{\dfrac{1}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x = 0}\end{array}} \right..$ Tính $f'\left( 0 \right).$
-
A.
$f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{4}.$
-
B.
\(f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{16}}.\)
-
C.
\(f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{32}}.\)
-
D.
Không tồn tại
Đáp án : B
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{{16}}.$
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác $M$ là $N$. Tọa độ điểm $N$ là:
-
A.
\(N\left( { - 2; - 3} \right)\)
-
B.
\(N\left( {1;3} \right)\)
-
C.
\(N\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(M\left( {2;9} \right)\)
Đáp án : A
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
Tìm giao điểm của tiếp tuyến vừa tìm được với đồ thị hàm số ban đầu.
\(y' = 3{x^2} - 1 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 2\)
\( \Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) là: \(y = 2\left( {x - 1} \right) + 3 = 2x + 1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\({x^3} - x + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow N\left( { - 2; - 3} \right)\\x = 1\end{array} \right.\)
Cho hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''.\)
-
A.
\(M = 0.\)
-
B.
\(M = 20.\)
-
C.
\(M = 40.\)
-
D.
\(M = 100.\)
Đáp án : C
Khai triển hàm số về dạng hàm đa thức rồi tính các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp 4, thay vào biểu thức \(M\) và kết luận.
Hàm số viết lại: \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\), \(y'' = 12{x^2} - 4\), \(y''' = 24x\), \({y^{\left( 4 \right)}} = 24\).
Khi đó \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y'' = 24 + 2x.24x - 4\left( {12{x^2} - 4} \right) = 40.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là
-
A.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
-
B.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
-
C.
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0} - x} \right)\)
-
D.
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {y_0}\)
Đáp án : B
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\) tại điểm \(x = - 1\) là:
-
A.
\( - 32\).
-
B.
\(30\).
-
C.
\( - 64\).
-
D.
\(12\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)
Ta có : \(y' = 4{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime } = 8x{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\).
Khi đó $y'\left( { - 1} \right) = 8.\left( { - 1} \right){\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right]^3} = - 64$
Cho hàm số $y = {\sin ^3}x$. Rút gọn biểu thức $M = y'' + 9y.$
-
A.
$M = \sin x.$
-
B.
$M = 6\sin x.$
-
C.
$M = 6\cos x.$
-
D.
$M = - \,6\sin x.$
Đáp án : B
Tính \(y',y''\) rồi thay vào tính \(M\).
Ta có $y = {\sin ^3}x\,\, \Rightarrow y' = 3{\sin ^2}x.\cos x$ và $y'' = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x.$
Khi đó $M = y'' + 9y = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x + 9{\sin ^3}x = 6\sin x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 6\sin x.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Hàm số không liên tục tại \(x = 0\)$.$
-
B.
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\)$.$
-
C.
Hàm số liên tục tại \(x = 2\)$.$
-
D.
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\)$.$
Đáp án : D
Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách xét tính liên tục và đạo hàm của hàm số tại các điểm \(x = 0,x = 2\).
Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) khi \(x \ge 0\) là hàm đa thức nên nó liên tục tại \(x = 2\).
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\)
Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại \(x = 2\).
Xét các giới hạn $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right..$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0?\)
-
A.
\(3x + y - 3 = 0\)
-
B.
\(3x - y - 3 = 0\)
-
C.
\( - 3x + y - 3 = 0\)
-
D.
\(3x + y + 3 = 0\)
Đáp án : A
- Tìm điểm có hoành độ \({x_0}\) thuộc đồ thị hàm số.
- Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,f''\left( x \right) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array}\)
\(y'\left( 1 \right) = - 3 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {1;0} \right)\) là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Xét hai mệnh đề sau:
(I) Hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và \(f'\left( 0 \right) = 1\)
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\).
Mệnh đề nào đúng?
-
A.
Chỉ (I)
-
B.
Chỉ (II)
-
C.
Cả 2 đều đúng
-
D.
Cả 2 đều sai.
Đáp án : B
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{x\sqrt x }} = + \infty \Rightarrow $ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc \(k = ?\)
-
A.
\(k = - 1\)
-
B.
\(k = - 3\)
-
C.
\(k = 3\)
-
D.
\(k = 5\)
Đáp án : B
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \({x_0}\) có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)
\(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( 2 \right) = - 3\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
-
A.
\(x = - 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = 2\)
Đáp án : D
Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm vừa tìm được.
Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.
\(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \) giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(M\left( {0;2} \right)\)
\(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 1\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {0;2} \right)\) là \(y = - 1\left( {x - 0} \right) + 2 = - x + 2\,\,\left( d \right)\)
Vậy giao điểm của $\left( d \right)$ với trục hoành là điểm có hoành độ $x = 2$.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) = f''\left( x \right)\).
-
A.
\(x = 3\); \(x = 2.\)
-
B.
$x = 4.$
-
C.
$x = 5$; $x = 6.$
-
D.
$x = - 3.$
Đáp án : D
Tính \(f',f''\) rồi giải phương trình \(f'\left( x \right) = f''\left( x \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} \right).3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)
Phương trình $f'\left( x \right) = f''\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x + 1}} = 1\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3.$
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}\). Đạo hàm y’ của hàm số là:
-
A.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} - 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 5x + 11}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 5x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính đạo hàm của một thương \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2{x^2} + 3x - 1} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^2} + 3x - 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\left( {4x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^2} + 3x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{4{x^3} - 20{x^2} + 8x + 3{x^2} - 15x + 6 - 4{x^3} - 6{x^2} + 2x + 10{x^2} + 15x - 5}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2$ . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng \(2\) là:
-
A.
\(y = 7x + 2\).
-
B.
\(y = 7x - 2\).
-
C.
\(y = - 7x + 2\) .
-
D.
\(y = - 7x - 2\).
Đáp án : A
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.
- Tìm tọa độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến.
Xét phương trình $\dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2 = 2$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Do đó tiếp điểm \(A\left( {0;2} \right)\).
Ta có : \(y' = {x^2} - 6x + 7\)
Hệ số góc tiếp tuyến \(y'\left( 0 \right) = 7\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {0;2} \right)\) là : \(y = 7\left( {x - 0} \right) + 2 = 7x + 2\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\)
-
A.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
-
B.
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
-
C.
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
-
D.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức: $\left( {k.{x^n}} \right)' = k.n.{x^{n - 1}}$
\(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 3.2x + 2 = 4{x^3} - 6x + 2\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} = - 1\).
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
Không tồn tại.
Đáp án : D
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{x + 1}}{x} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\), vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \({x_0} = - 1\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
-
A.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
B.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
-
C.
\(y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}\)
-
D.
\(y' = 2\tan x - 2\cot x\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)
$\begin{array}{l}y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)\\y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)'\\y' = \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\y' = \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}$
Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\)
-
C.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}\).
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'$
Ta có : \(y' = 2\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }\)
\(\begin{array}{l}
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt x + 2}}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( { - 1 + \frac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2\left( {1 + \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}
\end{array}\)
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin 5x\cos 2x.$
-
A.
$y'' = 49\sin 7x + 9\sin 3x.$
-
B.
$y'' = - 49\sin 7x - 9\sin 3x.$
-
C.
$y'' = \dfrac{{49}}{2}\sin 7x + \dfrac{9}{2}\sin 3x.$
-
D.
$y'' = - \dfrac{{49}}{2}\sin 7x - \dfrac{9}{2}\sin 3x.$
Đáp án : D
Biến đổi tích về tổng và tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
Ta có $y = \sin 5x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 7x + \sin 3x} \right)$.
$ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {7\cos 7x + 3\cos 3x} \right)$ $ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left( { - 49\sin 7x - 9\sin 3x} \right).$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) ?
-
A.
$10000!$
-
B.
$1000!$
-
C.
$1100!$
-
D.
$1110!$
Đáp án : B
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
$\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) - 0}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)...\left( { - 1000} \right) = {\left( { - 1} \right)^{1000}}.1000! = 1000!\end{array}$
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t$, trong đó $t>0$, $t$ tính bằng giây và $s\left( t \right)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là:
-
A.
$-9\ {{{m}/{s}\;}^{2}}.$
-
B.
$12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
-
C.
$9\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
-
D.
$-12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
Đáp án : B
Sử dụng mối quan hệ giữa các đại lượng quãng đường, vận tốc và gia tốc theo thời gian: $a\left( t \right)=v'\left( t \right),v\left( t \right)=s'\left( t \right)$
Ta có $v\left( t \right)={s}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t-9\Rightarrow a\left( t \right)={v}'\left( t \right)=6t-6.$
Thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: $v\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=-1\left( loại \right) \\ & t=3 \\ \end{align} \right..$
Với $t=3\Rightarrow a\left( 3 \right)=6.3-6=12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Đáp án : B
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến phụ thuộc vào $x_0$
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\left( d \right)\)
Bước 2: Sử dụng tính chất \(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8\)
Bước 1:
\(y' = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:
\(y = \left( {x_0^2 - 4{x_0} + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{1}{3}x_0^3 - 2x_0^2 + 3{x_0} + 1\left( d \right)\)
Bước 2:
\(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 5}\\{{x_0} = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x - 5} \right) + \dfrac{{23}}{3} = 8x - \dfrac{{97}}{3}}\\{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{13}}{3} = 8x + \dfrac{{11}}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $2$.
Cho hàm số \(y = \dfrac{{a{x^2} - bx}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Để \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại gốc tọa độ có hệ số góc \(k = - 3\) thì mỗi liên hệ giữa $a$ và $b$ là :
-
A.
\(4a - b = 1\)
-
B.
\(a - 4b = 1\)
-
C.
\(4a - b = 0\)
-
D.
\(a - 4b = 0\)
Đáp án : C
\(A \in \left( C \right) \Rightarrow \) Thay tạo độ điểm A vào hàm số \(\left( C \right)\)
Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại gốc tọa độ có hệ số góc \(k = - 3 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 3\)
\(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{5}{2}} \right) \Rightarrow \dfrac{5}{2} = \dfrac{{a + b}}{{ - 3}} \Leftrightarrow a + b = - \dfrac{{15}}{2}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2ax - b} \right)\left( {x - 2} \right) - a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2a{x^2} - 4ax - bx + 2b - a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{a{x^2} - 4ax + 2b}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \dfrac{{2b}}{4} = \dfrac{b}{2} = - 3 \Leftrightarrow b = - 6\\ \Rightarrow a = - \dfrac{{15}}{2} - b = \dfrac{{ - 3}}{2} \Rightarrow 4a - b = 0\end{array}\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Đáp án : C
Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $d$.
Tìm GTLN của khoảng cách $d$.
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \\= \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} \\= \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} \\= 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$
Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)
Mà
$\begin{array}{l}
{t^2} + 9 \ge 2\sqrt {{t^2}.9} = 6t \Rightarrow \frac{t}{{{t^2} + 9}} \le \frac{t}{{6t}} = \frac{1}{6}\\
\Rightarrow 6.\sqrt {\frac{t}{{{t^2} + 9}}} \le 6.\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt 6 \\
\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 6
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi t=3
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = \sqrt 3 \\
{x_0} - 1 = - \sqrt 3
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \sqrt 3 + 1\\
{x_0} = - \sqrt 3 + 1
\end{array} \right.$
Tìm $m$ để hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)
-
A.
\(m \le \sqrt 2 \)
-
B.
\(m \le 2\)
-
C.
\(m \le 0\)
-
D.
\(m < 0\)
Đáp án : C
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Giải bpt \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1\\y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R\end{array}\)
TH1: $m = 0,$ khi đó \(BPT \Leftrightarrow - 1 \le 0\) , đúng \(\forall x \in R\)
TH2: $\begin{array}{l}m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2{m^2} + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}$ $\Leftrightarrow m < 0$
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \(m \le 0\) là những giá trị cần tìm.
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2