Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,{\rm{ }}DB,{\rm{ }}AD,{\rm{ }}AC$ tại $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

A.

Hình thang
B.

Hình bình hành
C.

Hình chữ nhật
D.

Hình vuông

Câu 2 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $AE;AF$ lần lượt là các đường cao của tam giác $SAB$ và tam giác $SAD$. Gọi $M$ là giao điểm của $SC$ với $ (AEF) $. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A.

$SC \bot \left( {AFB} \right).$
B.

$SC \bot \left( {ABCD} \right)$
C.

$SC \bot \left( {AED} \right).$
D.

$SC \bot AM$

Câu 3 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $SC$. Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B.

$BC \bot SB.$
C.

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D.

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Câu 4 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.

A.

$30^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$60^\circ $.
D.

$75^\circ $.

Câu 5 :

Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $.
B.

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {CD} $(Với $S$ là điểm tùy ý).
C.

Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $ thì $ABCD$ là hình bình hành
D.

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Câu 6 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và $AB \bot BC.$ Số các mặt của tứ diện $S.ABC$ là tam giác vuông là:

A.

$1.$
B.

$3.$
C.

$2.$
D.

$4.$

Câu 7 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.

A.

$30^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$60^\circ $.
D.

$75^\circ $.

Câu 8 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chọn khẳng định sai?

A.

Góc giữa $AC$ và $B'D'$ bằng $90^\circ $.
B.

Góc giữa $B'D'$ và $AA'$ bằng $60^\circ $.
C.

Góc giữa $AD$ và $B'C$ bằng $45^\circ $.
D.

Góc giữa $BD$ và $A'C'$ bằng $90^\circ $.

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Câu 10 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu $H$ của $S$ trên $(ABC)$ là

A.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
B.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
C.

Trọng tâm tam giác $ABC.$
D.

Giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD.$

Câu 11 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?

A.

$\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$.
B.

$BD \bot \left( {IJK} \right)$.
C.

Góc giữa $SC$ và $BD$ có số đo $60^\circ $.
D.

$BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 12 :

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$. Gọi $\beta $ là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :

A.

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B.

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C.

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$\beta = {60^0}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A.

Hình thang
B.

Hình bình hành
C.

Hình chữ nhật
D.

Hình vuông

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác đinh thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN,MQ$ bằng cách sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MQ\end{array} \right. $ $\Rightarrow MQ{\rm{//}}AB$

Tương tự ta có: $MN{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}AB,\,\,QP{\rm{//}}C{\rm{D}}$.

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

lại có $MN \bot MQ\left( {do\,AB \bot CD\,} \right)$.

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Câu 2 :

A.

$SC \bot \left( {AFB} \right).$
B.

$SC \bot \left( {ABCD} \right)$
C.

$SC \bot \left( {AED} \right).$
D.

$SC \bot AM$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh $SC \bot \left( {AEF} \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.$

Vậy: $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)$

Tương tự : $AF \bot SC\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).$

Mà $AM \subset \left( {AEF} \right)$ nên $AM \bot SC$.

Câu 3 :

A.

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B.

$BC \bot SB.$
C.

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D.

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng và định nghĩa mặt phẳng trung trực để xét tính đúng, sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Có $IO$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $IO//SA$ nên $IO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A đúng.

Có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$ nên B đúng

Và $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD$ nên phương án D đúng.

Đáp án C sai vì nếu $\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$ $ \Rightarrow BD \bot AC$(vô lý).

Câu 4 :

A.

$30^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$60^\circ $.
D.

$75^\circ $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$ bởi định nghĩa: là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABC} \right)$.

- Tính góc tìm được ở trên, sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ suy ra

$AH = BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}$.

Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,HA} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha $

$ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ $.

Câu 5 :

Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $.
B.

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {CD} $(Với $S$ là điểm tùy ý).
C.

Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $ thì $ABCD$ là hình bình hành
D.

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A. Sai vì $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow B \equiv C$ (Vô lí)

B. Sai vì: Gọi $O$ và $O'$ theo thứ tự là trung điểm của $AC$ và $BD$. Ta có

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} $ và $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow O \equiv O'$ điều này không đúng nếu $ABCD$ không phải là hình bình hành.

C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

D. sai vì: Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0
\end{array}$

Hay $O$ là trung điểm $MN$. Điều này chưa chắc đúng nên D sai.

Câu 6 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và $AB \bot BC.$ Số các mặt của tứ diện $S.ABC$ là tam giác vuông là:

A.

$1.$
B.

$3.$
C.

$2.$
D.

$4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh tam giác $SBC$ vuông bằng cách chứng minh $SB \bot BC$, sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết :

Có $AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $B.$

Ta có $SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB,\Delta SAC$ là các tam giác vuông tại $A.$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ là tam giác vuông tại $B.$

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.

Câu 7 :

A.

$30^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$60^\circ $.
D.

$75^\circ $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$: là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABCD} \right)$.

- Tính góc ở trên bởi tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$

$ \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA} = \alpha $

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 ,SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha = 30^\circ $.

Câu 8 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chọn khẳng định sai?

A.

Góc giữa $AC$ và $B'D'$ bằng $90^\circ $.
B.

Góc giữa $B'D'$ và $AA'$ bằng $60^\circ $.
C.

Góc giữa $AD$ và $B'C$ bằng $45^\circ $.
D.

Góc giữa $BD$ và $A'C'$ bằng $90^\circ $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc giữa các đường thẳng và kết luận (sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ).

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$ $ = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} = 0$

(vì $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}$ và $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}$)

Do đó: $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {AA',B'D'} \right)} = {90^0}$

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm $G$ vào các véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} $ với chú ý :

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ và ${\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Câu 10 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu $H$ của $S$ trên $(ABC)$ là

A.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
B.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
C.

Trọng tâm tam giác $ABC.$
D.

Giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $S$ lên các cạnh $AB,BC,AC$

$ \Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow \Delta SMH = \Delta SNH = \Delta SPH.$

$ \Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow $ $H$ là tâm dường tròn nội tiếp của $\Delta ABC.$

Câu 11 :

A.

$\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$.
B.

$BD \bot \left( {IJK} \right)$.
C.

Góc giữa $SC$ và $BD$ có số đo $60^\circ $.
D.

$BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng song song mặt phẳng để xét tính đúng, sai của các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do $IJ\;{\rm{//}}\;AC$ và $IK{\rm{//}}SA$ nên $\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$. Vậy A đúng.

Do $BD \bot AC$ và $BD \bot SA$ nên $BD \bot \left( {SAC} \right)$ nên D đúng.

Do $BD \bot \left( {SAC} \right)$ và $\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$ nên $BD \bot \left( {IJK} \right)$ nên B đúng.

Vậy C sai.

Câu 12 :

A.

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B.

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C.

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$\beta = {60^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SB$ và $\left( {ABCD} \right)$, tính $SO$.

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ và tính tỉ số lượng giác của góc đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng đáy.

Do đó $\alpha = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}$ và $\beta = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}$.

Hình thoi $ABCD$ có $AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC$ đều $ \Rightarrow AD = 2a$

Tam giác $AOD$ vuông tại $O$ nên $OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OB = a\sqrt 3 $.

Lại có $\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\tan \beta = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Bài giải mới nhất

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Báo lỗi góp ý