-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 1
Đề bài
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4\pi \)
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(d\). Phép biến hình đó được gọi là:
-
A.
phép đồng nhất
-
B.
phép tịnh tiến
-
C.
phép chiếu vuông góc
-
D.
phép đối xứng tâm
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến tam giác $ABC$ có số đo các cạnh $3,4,5$ thành tam giác $A'B'C'$ có diện tích là giá trị nào sau đây?
-
A.
$6$
-
B.
$3$
-
C.
$12$
-
D.
$24$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng
-
B.
Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng
-
C.
Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng
-
D.
Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ và $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
-
A.
Hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ là hai hàm số lẻ.
-
B.
Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
-
C.
Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số không chẵn không lẻ.
-
D.
Cả hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Xét hàm số \(y = \sin \,x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,0} \right].\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
B.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
C.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)
-
A.
\(\min y = 0;\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = 1 - \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 .\)
-
C.
\(\min y = - 4;\max y = 0.\)
-
D.
\(\min y = - 1 + \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 \) .
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
-
A.
$\dfrac{{7400\pi }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{7525\pi }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{7375\pi }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{7550\pi }}{3}$.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).
-
A.
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).
-
B.
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).
-
C.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).
-
D.
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
C.
$x = k\pi $.
-
D.
$x = - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.
Giải phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) = 1$.
-
A.
$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
B.
$x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
-
C.
$x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
D.
Vô nghiệm.
Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.
-
A.
\(x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
-
B.
\(x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
-
C.
\(x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
-
D.
\(x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {2;5} \right).\) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) biến \(A\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là:
-
A.
\(A'\left( {3;1} \right).\)
-
B.
\(A'\left( {1;6} \right).\)
-
C.
\(A'\left( {3;7} \right).\)
-
D.
\(A'\left( {4;7} \right).\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1$ và đường thẳng \(d\) có phương trình $y - x = 0.$ Phép đối xứng trục \(d\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn $\left( {C'} \right)$ có phương trình là:
-
A.
${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1.$
-
B.
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
C.
${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.$
-
D.
${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai đường tròn $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\) có phương trình lần lượt là ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 7 = 0$ và ${x^2} + {y^2} - 12x - 8y + 51 = 0$. Xét phép đối xứng tâm \(I\) biến $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I.\)
-
A.
$I\left( {2;3} \right).$
-
B.
$I\left( {1;0} \right).$
-
C.
$I\left( {8;6} \right).$
-
D.
$I\left( {4;3} \right).$
Cho hai đường thẳng bất kỳ \(d\) và \(d'\). Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\)?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Có bao nhiêu giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0?
-
A.
\(9\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(6\)
Phương trình \(\cot 20x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\)?
-
A.
980
-
B.
51
-
C.
981
-
D.
1000
Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
-
D.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Cho hình thang \(ABCD\) có 2 cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) thỏa mãn \(AB = 3CD.\) Phép vị tự biến điểm \(A\) thành điểm \(C\) và biến điểm \(B\) thành điểm \(D\) có tỉ số \(k\) là:
-
A.
\(k = 3.\)
-
B.
\(k = - \dfrac{1}{3}.\)
-
C.
\(k = \dfrac{1}{3}.\)
-
D.
\(k = - 3.\)
Lời giải và đáp án
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Đáp án : D
Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - m\\c = 1\end{array} \right.\)
Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) )
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4\pi \)
Đáp án : B
Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).
Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x\) là \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
Một số em có thể nhớ nhầm công thức chu kì của hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) là \(T = \left| a \right|\pi \) dẫn đến chọn nhầm đáp án A là sai.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : D
Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \)
Ta có: \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Một số em có thể giải sai như sau \(\tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) và chọn đáp án B là sai.
Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(d\). Phép biến hình đó được gọi là:
-
A.
phép đồng nhất
-
B.
phép tịnh tiến
-
C.
phép chiếu vuông góc
-
D.
phép đối xứng tâm
Đáp án : C
Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), xác định điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên \(d\). Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(d\).
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án B vì nhớ nhầm định nghĩa các phép dời hình (phép tịnh tiến, phép chiếu vuông góc).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\)
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án D vì nhớ nhầm biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến tam giác $ABC$ có số đo các cạnh $3,4,5$ thành tam giác $A'B'C'$ có diện tích là giá trị nào sau đây?
-
A.
$6$
-
B.
$3$
-
C.
$12$
-
D.
$24$
Đáp án : D
- Phép vị tự tỉ số $k$ biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số $k$
- Tỉ số diện tích \(S' = {k^2}.S\) với \(S'\) là diện tích của tam giác ảnh, \(S\) là diện tích tam giác dưới phép vị tự.
\({V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {\Delta ABC} \right) = \Delta A'B'C' \Rightarrow \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC\) theo tỉ số \(k \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = 4 \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = 4{S_{\Delta ABC}}\)
Ta có \({3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = 4.6 = 24\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng
-
B.
Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng
-
C.
Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng
-
D.
Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng
Đáp án : D
Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$ thì $M'N'=k.MN$
Với hai hình chữ nhật bất kỳ ta chọn từng cặp cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ giữa chúng chưa chắc đã bằng nhau.
Vì vậy không phải lúc nào cũng tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ và $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
-
A.
Hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ là hai hàm số lẻ.
-
B.
Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
-
C.
Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số không chẵn không lẻ.
-
D.
Cả hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Đáp án : D
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) là hàm số chẵn nếu \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) là hàm số lẻ nếu \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.
Ta có $x = - 3 \in D$ nhưng $ - x = 3 \notin D$ nên $D$ không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số $f\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.
Xét hàm số $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $ có tập xác định là ${D_2} = \left[ {1; + \infty } \right)$. Dễ thấy ${D_2}$ không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số $g\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.
Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài toán một cách chính xác.
Xét hàm số \(y = \sin \,x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,0} \right].\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
B.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
C.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
-
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
Đáp án : C
Bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\sin x$ trên $[-\pi ; \pi]$ ta có hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)và \(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right)\) nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.
Ấn MODE 7
Máy hiện \(f\left( X \right) = \) thì ta nhập \(\sin {\rm{X}}\). START? Nhập \( - \pi ;\,\)END? Nhập \(0.\) STEP? Nhập \(\dfrac{\pi }{{10}}.\)
Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)và đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)
-
A.
\(\min y = 0;\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = 1 - \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 .\)
-
C.
\(\min y = - 4;\max y = 0.\)
-
D.
\(\min y = - 1 + \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 \) .
Đáp án : A
Đưa \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) về hàm số thuần nhất đối với \(\sin 2x,\cos 2x\) và sử dụng kiến thức \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\,\sin u + b\,\cos u \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\) \( = 2{\cos ^2}x - 1 - \sqrt 3 \sin 2x + 2\)\( = \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2\left( * \right)\)
Mà \( - \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \)
Nên \( - 2 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le 2\)
\( \Rightarrow 0 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2 \le 4\) hay \(0 \le y \le 4,\forall x \in \,R\)
Vậy \(\min y = 0;\max y = 4\)
- Ta có thể mở rộng bài toán như sau:
\(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\) .
Ta có \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\)
- Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo $\sin $ và $\cos $ như sau:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\)
$a\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c - y = 0$ điều kiện có nghiệm \({a^2} + {b^2} \ge {\left( {c - y} \right)^2}\) . Từ đây ta tìm được \(\min ,\max\) của \(y\)
Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
-
A.
$\dfrac{{7400\pi }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{7525\pi }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{7375\pi }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{7550\pi }}{3}$.
Đáp án : C
- Biến đổi phương trình về phương trình thuần nhất đối với \(\sin x,\cos x\)
- Giải phương trình tìm nghiệm thuộc \(\left( {0;100\pi } \right)\) và kết luận.
Ta có \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow 1 + \sin x + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Theo đề bài cho ta có \(0 < x < 100\pi \)\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < 100\pi \)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{599}}{{12}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4,....;48;49} \right\}\)
Vậy \(S = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi + \dfrac{\pi }{6} + 2 \times 2\pi + ...... + \dfrac{\pi }{6} + 49 \times 2\pi \)\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \left( {1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 49} \right)\)
\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \dfrac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{7375\pi }}{3}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).
-
A.
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).
-
B.
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).
-
C.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).
-
D.
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).
Đáp án : C
Tìm tâm và bán kính đường tròn mới qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;0} \right)\)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;\;0} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Gọi \(O'\) là ảnh của \(O\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_O} + {x_{O'}}}}{2} = {x_I}}\\{\dfrac{{{y_O} + {y_{O'}}}}{2} = {y_I}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2{x_I} - {x_O}}\\{{y_{O'}} = 2{y_I} - {y_O}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2.1 - 0}\\{{y_{O'}} = 2.0 - 0}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow O'\left( {2;\;0} \right)$.
Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).
\(\left( {C'} \right)\) có tâm $O'\left( {2;\;0} \right)$, bán kính \(R' = R = 1\).
Phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : C
Hàm số \(y = \tan u\left( x \right)\) xác định nếu \(\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).
Điều kiện: \(\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\)
Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
C.
$x = k\pi $.
-
D.
$x = - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.
Đáp án : D
Bước 1: Đưa $\dfrac{1}{2}$ về dạng $\sin \alpha $
Sử dụng máy tính để tìm $\alpha $:
SHIFT => MODE => 4 : chuyển về chế độ Radian
SHIFT => SIN => (1/2) =>"="
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 1:
$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}$
Bước 2:
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \), cho \(k = l - 1\) ta được \(x = \dfrac{\pi }{6} + \left( {l - 1} \right)2\pi = - \dfrac{{11\pi }}{6} + l2\pi \).
Giải phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) = 1$.
-
A.
$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
B.
$x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
-
C.
$x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
-
D.
Vô nghiệm.
Đáp án : D
- Tìm ĐKXĐ.
- Biến đổi phương trình về dạng \(\tan x = \tan y \Leftrightarrow x = y + k\pi \).
- Giải phương trình và kiểm tra điều kiện.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} - x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{\pi }{3} + 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \dfrac{\pi }{6} - k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$
${\rm{pt}} \Leftrightarrow \tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right) = \cot \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{3} - x = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} - 2x + k\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $ (Loại).
Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.
-
A.
\(x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
-
B.
\(x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
-
C.
\(x = \pi + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
-
D.
\(x = \pi + k2\pi ,x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Đáp án : D
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng tích
Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$.
Bước 2: Giải phương trình tích và kiểm tra điều kiện.
Sử dụng công thức:
$\tan x = - 1 \Leftrightarrow x= - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $
$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi $
Bước 1:
ĐK: \(\cos x \ne 0\).
\(1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}} + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\dfrac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right).\dfrac{{1 + \cos x}}{{\cos x}} = 0\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \cos x\\\cos x = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {2;5} \right).\) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) biến \(A\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là:
-
A.
\(A'\left( {3;1} \right).\)
-
B.
\(A'\left( {1;6} \right).\)
-
C.
\(A'\left( {3;7} \right).\)
-
D.
\(A'\left( {4;7} \right).\)
Đáp án : C
Bước 1: Gọi \(A'\left( {x;y} \right) \) và biểu diễn $\overrightarrow {AA'}$ theo $x,y$
Bước 2:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).
Bước 1:
Gọi \(A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 5} \right).\)
Bước 2:
Ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7\end{array} \right.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1$ và đường thẳng \(d\) có phương trình $y - x = 0.$ Phép đối xứng trục \(d\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn $\left( {C'} \right)$ có phương trình là:
-
A.
${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1.$
-
B.
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
C.
${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.$
-
D.
${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
Đáp án : B
- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = y}\\{y' = x}\end{array}} \right.$.
- Thay vào phương trình đường tròn đã cho suy ra phương trình đường tròn ảnh.
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $d:y - x = 0$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = y}\\{y' = x}\end{array}} \right.$.
Thay vào $\left( C \right)$, ta được ${\left( {y' + 1} \right)^2} + {\left( {x' - 4} \right)^2} = 1$ hay ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai đường tròn $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\) có phương trình lần lượt là ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 7 = 0$ và ${x^2} + {y^2} - 12x - 8y + 51 = 0$. Xét phép đối xứng tâm \(I\) biến $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I.\)
-
A.
$I\left( {2;3} \right).$
-
B.
$I\left( {1;0} \right).$
-
C.
$I\left( {8;6} \right).$
-
D.
$I\left( {4;3} \right).$
Đáp án : D
Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn nối tâm hai đường tròn.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( {2;2} \right)\). Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(K'\left( {6;4} \right)\).
Tọa độ tâm đối xứng \(I\) là trung điểm của \(KK'\) nên suy ra \(I\left( {4;3} \right)\).
Cho hai đường thẳng bất kỳ \(d\) và \(d'\). Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\)?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Đáp án : D
Xác định phép quay thỏa mãn bài toán và kết luận.
Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.
Có bao nhiêu giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0?
-
A.
\(9\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(6\)
Đáp án : D
Vẽ đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\), xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\), đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0.
Phương trình \(\cot 20x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\)?
-
A.
980
-
B.
51
-
C.
981
-
D.
1000
Đáp án : D
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
- Cho nghiệm tìm được thuộc \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\), tìm số các giá trị nguyên $k$ thỏa mãn.
- Số các số nguyên từ $a$ đến $b$ là $b-a+1$ số ($a$ và $b$ cũng là các số nguyên).
Ta có: \(\cot 20x = 1 \Leftrightarrow 20x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}x \in \left[ { - 50\pi ;0} \right]\\ \Leftrightarrow - 50\pi \le \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow - 50 \le \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{k}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{4001}}{4} \le k \le - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow -1000,25 \le k \le - 0,25\end{array}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow -1000 \le k \le -1\)
\( \Rightarrow k \in \left\{ { - 1000; - 999;....; - 2; - 1} \right\}\)
Tập trên có $-1-(-1000)+1=1000$ phần tử suy ra có $1000$ giá trị nguyên của $k$ thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có $1000$ nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
-
D.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)
Đáp án : B
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Sử dụng công thức: \( -\cos x = \cos (\pi-x)\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \left( {\cos 2x + \cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x+\cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 3x = \cos (\pi-2x)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \pi-2x + k2\pi \\3x = 2x-\pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =\dfrac{{\pi }}{5}+\dfrac{{k2\pi }}{5}\\x =-\pi+ k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \).
Do đó
\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)
Vậy \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)
Cho hình thang \(ABCD\) có 2 cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) thỏa mãn \(AB = 3CD.\) Phép vị tự biến điểm \(A\) thành điểm \(C\) và biến điểm \(B\) thành điểm \(D\) có tỉ số \(k\) là:
-
A.
\(k = 3.\)
-
B.
\(k = - \dfrac{1}{3}.\)
-
C.
\(k = \dfrac{1}{3}.\)
-
D.
\(k = - 3.\)
Đáp án : B
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)
\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( A \right) = C,\,\,\,{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( B \right) = D\\ \Rightarrow \overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {AB}. \end{array}\)
Mà \(AB=3CD\) và \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) ngược hướng nên \(k=-\dfrac{1}{3}\)
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
