-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 4
Đề bài
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
B.
Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
C.
Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
D.
Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(13\)
-
D.
\(42\)
Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\)
-
A.
\(\left( {2;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 1;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(\left( {5; - 4} \right)\)
Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(M'\) là ảnh của điểm \(M\) nằm ngoài \(d\) qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(MM' \bot d\) tại \(M'\)
-
B.
\(MM' \bot d\) tại \(M\)
-
C.
\(MM'//d\)
-
D.
\(MM' \equiv d\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
-
A.
$20$
-
B.
$30$
-
C.
$ - 10$
-
D.
$34$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng tâm biến điểm \(A\left( {5;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 3;4} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm :
-
A.
\(B'\left( {1;7} \right)\)
-
B.
\(B'\left( {1;6} \right)\)
-
C.
\(B'\left( {2;5} \right)\)
-
D.
\(B'\left( {1; - 5} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;2} \right).\)
-
B.
\(\left( {12; - 5} \right).\)
-
C.
\(\left( { - 7;7} \right).\)
-
D.
\(\left( {11;6} \right).\)
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
-
A.
$11$
-
B.
$36$
-
C.
$25$
-
D.
$18$
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
-
A.
\(1\).
-
B.
\(25\).
-
C.
\(5\).
-
D.
\(120\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4\pi \)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình elip
-
D.
hình tròn.
Số (5! – P4) bằng:
-
A.
5
-
B.
12
-
C.
24
-
D.
96
Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $2$. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,\,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$. Diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ là:
-
A.
$5\sqrt 2 $
-
B.
$9\sqrt 3 $
-
C.
$9\sqrt 2 $
-
D.
$5\sqrt 3 $
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\). Phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k = - 2\) biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?
-
A.
\(\left( { - 3;4} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 4; - 8} \right)\)
-
C.
\(\left( {4; - 8} \right)\)
-
D.
\(\left( {4;8} \right)\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
-
A.
\({45^0}\)
-
B.
\({90^0}\)
-
C.
\({120^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:
-
A.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.\)
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
B.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
C.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
-
D.
\({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép dời hình.
-
B.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = - 1\) là phép đối xứng tâm.
-
C.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép tịnh tiến
-
D.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép vị tự tỉ số \(k = 1\)
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
-
A.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)
-
B.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)
-
C.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\)
Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\). Biết \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) là một nghiệm của phương trình. Tính \(m\).
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
-
A.
$360$
-
B.
$343$
-
C.
$523$
-
D.
$347$
Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.
-
A.
$36$
-
B.
$60$
-
C.
$72$
-
D.
$120$
Cho \(C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2\). Khi đó tổng $x + y$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$ - 8$
-
C.
$11$
-
D.
$ - 3$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:
-
A.
\(y = {x^2} - 7x + 14\)
-
B.
\(y = {x^2} + 3x + 2\)
-
C.
\(y = {x^2} + 5x + 6\)
-
D.
\(y = {x^2} - 9x + 5\)
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?
-
A.
Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$
-
B.
Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
-
C.
Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
-
D.
Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .
Cho hai khẳng định sau:
(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.
(II) Cho phép đối xứng tâm ${D_O}$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$. Có thể dựng $d'$ là ảnh của $d$ qua ${D_O}$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.
Chọn kết luận đúng:
-
A.
(I) đúng, (II) sai
-
B.
(I) sai, (II) đúng
-
C.
Cả hai đều đúng
-
D.
Cả hai đều sai
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 4 = 0\). Hỏi trong $4$ đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành $d$ qua phép quay tâm \(I\left( {0;3} \right)\) góc quay \(\pi \) ?
-
A.
\(2x + y - 4 = 0\)
-
B.
\(2x + 2y - 3 = 0\)
-
C.
\(x - y + 2 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 1 = 0\)
Khẳng định nào sai ?
-
A.
Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
B.
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
-
C.
Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
-
D.
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \(x - 2y + 1 = 0\) và \(x - 2y + 4 = 0\), điểm \(I\left( {2;1} \right)\). Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}\) khi đó giá trị của $k$ là :
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:2x - y = 0\). Phương trình đường thẳng qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = - 2\) và phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng nào sau đây?
-
A.
\( -2x - y = 0\).
-
B.
\(2x - y = 0\).
-
C.
\(4x - y = 0\).
-
D.
\(2x + y - 2 = 0\)
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Nghiệm của phương trình \(\tan 4x.\cot 2x = 1\) là:
-
A.
\(k\pi ,k \in Z\)
-
B.
\(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)
-
C.
\(\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)
-
D.
Vô nghiệm
Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?
-
A.
Tập \(\emptyset \)
-
B.
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\)
-
C.
Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\)
-
D.
Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} \)
Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?
-
A.
$A = 0$
-
B.
$A = 1$
-
C.
$A = 3$
-
D.
$A = - 1$
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :
-
A.
$2$
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{2}{3}\)
Lời giải và đáp án
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
B.
Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
C.
Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
D.
Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
Đáp án : D
Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Lấy điểm \(A,B\) bất kì thuộc hai đường thẳng \(a,b\) thì phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(b\).
Vì các điểm \(A,B\) là lấy bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán.
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Đáp án : D
Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - m\\c = 1\end{array} \right.\)
Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) )
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(13\)
-
D.
\(42\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(C_n^k\).
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là \(C_7^6 = 7\).
Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).
Sử dụng công thức $\cos a \ne 1 \Leftrightarrow a \ne k2\pi$
Điều kiện: \(\cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}\)
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Đáp án : A
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Đáp án : A
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.
Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\)
-
A.
\(\left( {2;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 1;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(\left( {5; - 4} \right)\)
Đáp án : B
Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$.
Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$ .
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M} = - 1\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 1;5} \right)\)
Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(M'\) là ảnh của điểm \(M\) nằm ngoài \(d\) qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(MM' \bot d\) tại \(M'\)
-
B.
\(MM' \bot d\) tại \(M\)
-
C.
\(MM'//d\)
-
D.
\(MM' \equiv d\)
Đáp án : A
Sử dụng định nghĩa phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), xác định điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên \(d\). Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(d\).
Từ định nghĩa phép chiếu vuông góc ta thấy \(MM'\) vuông góc với \(d\) tại \(M'\) (vì \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên \(d\) nên \(M' \in d\)).
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : B
Ta có:
+) \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A sai.
+) \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, D sai.
+) \(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên C sai.
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
-
A.
$20$
-
B.
$30$
-
C.
$ - 10$
-
D.
$34$
Đáp án : D
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) để tìm x, sau đó thay vào tính giá trị biểu thức
\(\begin{array}{l}12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)!}}{{2!\left( {x + 2} \right)!}} = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = 162\\ \Leftrightarrow 24x + {x^2} + 7x + 12 = 324\\ \Leftrightarrow {x^2} + 31x - 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 39\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow A_{x - 1}^2 - C_x^1 = A_7^2 - C_8^1 = 34\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng tâm biến điểm \(A\left( {5;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 3;4} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm :
-
A.
\(B'\left( {1;7} \right)\)
-
B.
\(B'\left( {1;6} \right)\)
-
C.
\(B'\left( {2;5} \right)\)
-
D.
\(B'\left( {1; - 5} \right)\)
Đáp án : A
\({D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$
\({D_I}\left( A \right) = A' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\)
\({D_I}\left( B \right) = B' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow B'\left( {1;7} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;2} \right).\)
-
B.
\(\left( {12; - 5} \right).\)
-
C.
\(\left( { - 7;7} \right).\)
-
D.
\(\left( {11;6} \right).\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất của phép vị tự \({V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A',{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( B \right) = B'\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \)
Gọi \(B'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép vị tự \(V.\)
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {x + 5;y - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right).\)
Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {A'B'} = 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 2.\left( { - 1} \right)\\y - 1 = 2.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 7\end{array} \right.\).
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \).
Do đó
\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)
Vậy \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Đáp án : B
- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$
- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$
Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)
Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$
Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)
Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
-
A.
$11$
-
B.
$36$
-
C.
$25$
-
D.
$18$
Đáp án : B
Chọn $1$ vở kịch có $2$ cách
Chọn $1$ điệu múa có $3$ cách.
Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
-
A.
\(1\).
-
B.
\(25\).
-
C.
\(5\).
-
D.
\(120\).
Đáp án : D
Số cách sắp xếp \(n\) bạn vào \(n\) vị trí khác nhau là \({P_n} = n!\)
Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là \({P_5} = 5! = 120\) (cách).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
Đáp án : C
- Tìm tâm và bán kính đường tròn đã cho.
- Xác định ảnh của tâm đường tròn qua phép đối xứng.
- Viết phương trình đường tròn ảnh và kết luận.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)
Ta có \(I\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow I'\left( {1;2} \right)\) đối xứng với \(I\) qua \(Ox\) và \(R = 2 \Rightarrow R' = R = 2.\)
Do đó \(\left( {C'} \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : B
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm \(M\) thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất \(M'\) thuộc mặt phẳng ấy
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Đáp án : B
Xác định góc quay.
Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \(\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\) là phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\)
Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)\)
Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4\pi \)
Đáp án : B
Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).
Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x\) là \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\)
Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình elip
-
D.
hình tròn.
Đáp án : D
Liệt kê các trục đối xứng của từng hình.
Hình thoi có $2$ trục đối xứng (hai đường chéo).
Hình vuông có $4$ trục đối xứng (hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối).
Elip có $2$ trục đối xứng (hai trục của Elip)
Hình tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm (đường kính).
Số (5! – P4) bằng:
-
A.
5
-
B.
12
-
C.
24
-
D.
96
Đáp án : D
\(5! - {P_4} = 5! - 4! = 96\).
Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $2$. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,\,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$. Diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ là:
-
A.
$5\sqrt 2 $
-
B.
$9\sqrt 3 $
-
C.
$9\sqrt 2 $
-
D.
$5\sqrt 3 $
Đáp án : B
- Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, phép quay biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Sử dụng tính chất phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng.
Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ thì \({A_1}{B_1} = 3AB = 6\)
Tam giác đều $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng $6 \Rightarrow {S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\). Phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k = - 2\) biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?
-
A.
\(\left( { - 3;4} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 4; - 8} \right)\)
-
C.
\(\left( {4; - 8} \right)\)
-
D.
\(\left( {4;8} \right)\)
Đáp án : C
\({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)
Gọi điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k = - 2\).
\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = - 2\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left( {x';y'} \right) = - 2\left( { - 2;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4\\y' = - 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 8} \right)\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
-
A.
\({45^0}\)
-
B.
\({90^0}\)
-
C.
\({120^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Đáp án : B
Xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.
Ta có: \({\overrightarrow n _a} = \left( {2;1} \right),{\overrightarrow n _b} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _a}.{\overrightarrow n _b} = 0 \Rightarrow a \bot b\)
Do đó tồn tại phép quay góc \({90^0}\) biến đường thẳng này thành đường thẳng kia
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:
-
A.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.\)
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi phương trình thành phương trình bậc hai đối với \(\cos 2x\).
Các công thức:
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)
${\cos ^2}x =\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} $
Bước 2: Đặt \(t = \cos 2x\left( { - 1 \le t \le t} \right)\), giải phương trình ẩn \(t\) rồi giải phương trình tìm \(x\).
$\cos x= \cos a \Leftrightarrow x=\pm a+ k2\pi$
Bước 1:
\(\begin{array}{l}4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 8.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4\left( {1 + \cos 2x} \right) - 9 = 0\\\Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4 + 4\cos 2x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4 - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 5 = 0 \\\Leftrightarrow - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 1 = 0\end{array}\)
Bước 2:
Đặt \(\cos 2x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng
\( - 4{t^2} + 4t - 1 = 0 \)\( \Leftrightarrow - \left( {4{t^2} - 4t + 1} \right) = 0\)\(\Leftrightarrow - {\left( {2t - 1} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x =\cos \dfrac{\pi }{3} \\\Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
B.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
C.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
-
D.
\({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách
Đáp án : B
Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép dời hình.
-
B.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = - 1\) là phép đối xứng tâm.
-
C.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép tịnh tiến
-
D.
Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép vị tự tỉ số \(k = 1\)
Đáp án : A
Khi \(k = 1\) phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình.
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
-
A.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)
-
B.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)
-
C.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\)
Đáp án : A
Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1\) để đánh giá biểu thức \(\sqrt {2\sin x + 3} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.
Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 \)\(\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 \)\(\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3} \le \sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi lần lượt \(\sin x = - 1\) và $\sin x = 1$
Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\). Biết \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) là một nghiệm của phương trình. Tính \(m\).
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Đáp án : D
Thay \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) sau đó giải phương trình tìm \(m\).
Thay \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\sin \left( {2.\dfrac{{11\pi }}{{60}} - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 6{m^2} + m = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Đáp án : B
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.
$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$
Vì \(\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1\)
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
-
A.
$360$
-
B.
$343$
-
C.
$523$
-
D.
$347$
Đáp án : A
Sử dụng quy tắc nhân với chú ý có bốn công đoạn để lập được số thỏa mãn bài toán.
Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)
Vì \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)
\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$
Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$
$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$
$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)
Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.
-
A.
$36$
-
B.
$60$
-
C.
$72$
-
D.
$120$
Đáp án : D
Đưa về bài toán lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$.
Sử dụng công thức chỉnh hợp cho bài toán này.
Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.
Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.
Cho \(C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2\). Khi đó tổng $x + y$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$ - 8$
-
C.
$11$
-
D.
$ - 3$
Đáp án : C
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Và áp dụng công thức của tỉ lệ thức: $a:b:c = x:y:z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{y}\\\dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{z}\\\dfrac{b}{c} = \dfrac{y}{z}\end{array} \right.$
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge y \ge 0\\x \ge y + 1 \ge 0\\x \ge y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y + 1}}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y - 1}}} = \dfrac{6}{2} = 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}{{x!}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\left( 3 \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}\dfrac{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}{{x!}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y - 1\end{array}\)
Thay vào (3) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{3y\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {2y - 1} \right)2y}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 1}}{{4y - 2}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow 5y + 5 = 8y - 4\\ \Leftrightarrow 3y = 9 \Leftrightarrow y = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 8\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow x + y = 11\end{array}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:
-
A.
\(y = {x^2} - 7x + 14\)
-
B.
\(y = {x^2} + 3x + 2\)
-
C.
\(y = {x^2} + 5x + 6\)
-
D.
\(y = {x^2} - 9x + 5\)
Đáp án : A
- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến: Hợp hai phép tịnh tiến thì được phép tịnh tiến.
- Xác định véc tơ tịnh tiến \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v \).
- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình parabol \(\left( Q \right)\).
Từ giả thiết ta suy ra, $\left( Q \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v $.
Ta có: $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {3;1} \right)$.
Do đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $y - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = {x^2} - 7x + 14$.
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?
-
A.
Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$
-
B.
Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
-
C.
Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
-
D.
Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .
Đáp án : C
Kẻ các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ .
Gọi $p$ và $q$ là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ . Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ là các phép đối xứng trục ${D_p}$ và ${D_q}$.
Cho hai khẳng định sau:
(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.
(II) Cho phép đối xứng tâm ${D_O}$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$. Có thể dựng $d'$ là ảnh của $d$ qua ${D_O}$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.
Chọn kết luận đúng:
-
A.
(I) đúng, (II) sai
-
B.
(I) sai, (II) đúng
-
C.
Cả hai đều đúng
-
D.
Cả hai đều sai
Đáp án : C
Suy luận từng đáp án.
(I) đúng, tâm đối xứng của hình đó chính là giao điểm của hai trục đối xứng.
(II) Cách dựng đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.
Bước 1: Lấy một điểm $M$ bất kì thuộc $d$
Bước 2: Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$.
Bước 3: Kéo dài $OM$, cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$ tại điểm thứ hai $N$ .
Bước 4: Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $d$.
Vậy ta cần dùng compa ở bước 2 và dùng thước ở bước 3 và 4.
Do đó cả (I) và (II) đều đúng.
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép.
Đáp án : B
Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.
Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.
Gọi $O$ là tâm đối xứng sao cho qua phép đối xứng tâm $O$ biến mỗi đường thẳng $d$ và $d'$ thành chính nó.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in d\\O \in d'\end{array} \right. \Rightarrow O = d \cap d'\) và $O$ là duy nhất.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 4 = 0\). Hỏi trong $4$ đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành $d$ qua phép quay tâm \(I\left( {0;3} \right)\) góc quay \(\pi \) ?
-
A.
\(2x + y - 4 = 0\)
-
B.
\(2x + 2y - 3 = 0\)
-
C.
\(x - y + 2 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 1 = 0\)
Đáp án : C
Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)
Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\) sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai ảnh vừa tìm được, đó chính là đường thẳng cần tìm.
Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)
Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)
Lấy \(A\left( {0;4} \right);B\left( { - 4;0} \right) \in d\)
Gọi \(A',B'\) lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IA'\\\widehat {AIA'} = - {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) I là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\)
Tương tự ta có $I$ là trung điểm của \(BB' \Rightarrow B'\left( {4;6} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua $A$ và $B$ là : \(\dfrac{{x - 0}}{{4 - 0}} = \dfrac{{y - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - 2}}{4} \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)
Khẳng định nào sai ?
-
A.
Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
B.
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
-
C.
Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
-
D.
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Đáp án : B
Dựa vào định nghĩa phép dời hình: Phép dời hình là phép bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép quay và phép tịnh tiến đều là phép dời hình, do đó các đáp án A, C, D đúng.
Đáp án B sai vì phép quay có góc quay $90^0$ biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \(x - 2y + 1 = 0\) và \(x - 2y + 4 = 0\), điểm \(I\left( {2;1} \right)\). Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}\) khi đó giá trị của $k$ là :
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : D
Lấy điểm $A$ bất kì thuộc \({\Delta _1}\), tìm ảnh $A'$ của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.
Thay tọa độ điểm $A'$ vừa tìm được vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\).
Lấy \(A\left( { - 1;0} \right) \in {\Delta _1}\), gọi \(A'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có : \(\overrightarrow {IA'} = k\overrightarrow {IA} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 2;y - 1} \right) = k\left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 3k\\y - 1 = - k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3k + 2\\y = - k + 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3k + 2; - k + 1} \right)\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {{\Delta _1}} \right) = {\Delta _2},\,\,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow A' \in {\Delta _2}\end{array}\)
Thay tọa độ điểm $A'$ vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta có:
\( - 3k + 2 - 2\left( { - k + 1} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow - k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = 4\)
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:2x - y = 0\). Phương trình đường thẳng qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = - 2\) và phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng nào sau đây?
-
A.
\( -2x - y = 0\).
-
B.
\(2x - y = 0\).
-
C.
\(4x - y = 0\).
-
D.
\(2x + y - 2 = 0\)
Đáp án : A
- Sử dụng tính chất: Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó.
Tìm ảnh của đường thẳng \(d: ax+by+c=0\) qua phép vị tự:
B1: Gọi phương trình đường thẳng của ảnh \(d'\) là \(ax+by+c+m=0\)
B2: Lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\), tìm ảnh \(M'\) của nó qua phép vị tự rồi thay \(M'\) vào phương trình của \(d'\) để tìm tham số \(m\).
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua hai trục tọa độ: đối xứng qua cái gì thì giữ nguyên cái đó, còn lại lấy giá trị đối.
Ta có: \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d\) hoặc \(d' \equiv d\).
\( \Rightarrow d'\) có dạng: \(2x - y + m = 0\)
Chọn \(N\left( {1;2} \right) \in d:{V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( N \right) = N'\left( { - 2; - 4} \right) \in d' \Rightarrow - 4 + 4 + m = 0 \Rightarrow m = 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d':2x - y = 0\)
Qua phép đối xứng trục \(Oy\): \({D_{oy}}\left( {d'} \right) = d''\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M(x,y) \in d'\\ \Rightarrow {D_{Oy}}(M) = M'(x',y') \in d''\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' = - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2( - x') - y' = 0\end{array}\end{array}\)
Suy ra phương trình ảnh \(d''\) cần tìm là: \( - 2x - y = 0\)
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Đáp án : A
Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:
PA 1: Nhóm có $2$ học sinh
PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.
PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.
….
PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.
Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)
Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.
Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
Nghiệm của phương trình \(\tan 4x.\cot 2x = 1\) là:
-
A.
\(k\pi ,k \in Z\)
-
B.
\(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)
-
C.
\(\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)
-
D.
Vô nghiệm
Đáp án : D
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Sử dụng công thức \(\tan u.\cot u = 1\) để biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản $\tan x=\tan y$
- Giải phương trình $\tan x=\tan y$$ \Leftrightarrow x=y+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
- Kiểm tra điều kiện và loại nghiệm.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó, dễ thấy \(\cot 2x \ne 0\) (Nếu \(\cot 2x = 0\) thì phương trình thành 0=1 =>Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:
\(\tan 4x.\cot 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 4x = \dfrac{1}{{\cot 2x}} \\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.
Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án : A
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).
- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba đối với 1 hàm số lượng giác.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos 4x + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow 3\cos 4x\cos 2x + 2\cos 4x = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\cos 2x + 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + 4{\cos ^2}2x - 2 = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x + 3{\cos ^2}2x - 3\cos 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + {\cos ^2}2x - \cos 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^3}2x - 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x + 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 2\cos 2x + 2 + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 3\cos 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?
-
A.
Tập \(\emptyset \)
-
B.
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\)
-
C.
Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\)
-
D.
Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} \)
Đáp án : D
- Biến đổi $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $.
- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Từ giả thiết ta có:
$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $
Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} $ biến điểm $M$ thành điểm $N$.
Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $\left( {I;R} \right)$ với $\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} $.
Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?
-
A.
$A = 0$
-
B.
$A = 1$
-
C.
$A = 3$
-
D.
$A = - 1$
Đáp án : B
Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
Trước hết ta chứng minh công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!\left( {n + 1} \right)}}{{k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP\end{array}\)
Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:
$\begin{array}{l}B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k\\ \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1\end{array}$
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :
-
A.
$2$
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{2}{3}\)
Đáp án : C
Chứng minh $H,G,O$ thẳng hàng mà tìm mối tỉ số \(\dfrac{{GO}}{{GH}}\)
Gọi $H$ và $O$ lần lượt là trực tâm và tam đường tròn ngoại tiếp tâm giác $ABC$ .
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , kẻ đường kính $BK$.
Xét đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ có \(\widehat {BCK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {BCK} = {90^0} \Rightarrow BC \bot CK\)
Mà \(AH \bot BC \Rightarrow AH//CK\)
Tương tự ta chứng minh được \(AK//CH\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác $AHCK$ là hình bình hành \( \Rightarrow AH = CK\)
Có $OM$ là đường trung bình của tam giác \(BCK \Rightarrow OM//CK//AH\) và \(OM = \dfrac{1}{2}CK = \dfrac{1}{2}AH\).
Gọi \(G = AM \cap OH\) ta dễ thấy \(\Delta AGH \sim \Delta MGO\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{MG}} = \dfrac{{AH}}{{OM}} = 2 = \dfrac{{HG}}{{OG}}\) , mà $AM$ là trung tuyến của tam giác \(ABC \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác $ABC$ . Vậy $H,G,O$ thẳng hàng, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và \(\dfrac{{HG}}{{OG}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {GO} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GH} \)
\( \Rightarrow {V_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}\left( H \right) = O\).
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
