Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 2
Đề bài
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_3} = 12.\,\,\,\,$
-
B.
${u_3} = - 12.$
-
C.
${u_3} = 16.$
-
D.
${u_3} = - 16.$
Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :
-
A.
$6, 9, 12, 15, 18, 21$
-
B.
$21, 18, 15, 12, 9, 6 $
-
C.
\(\dfrac{{13}}{2},10,\dfrac{{27}}{2},17,\dfrac{{41}}{2},24\)
-
D.
\(\dfrac{{16}}{3},\dfrac{{23}}{3},\dfrac{{37}}{3},\dfrac{{44}}{3},\dfrac{{58}}{3},\dfrac{{65}}{3}\)
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
Ba số \({x^2},{y^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
B.
Ba số \({y^2},{z^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
D.
Ba số \({z^2},{y^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
\( \bullet \) Bước 1, kiểm tra mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p.\)
\( \bullet \) Bước 2, giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1.\)
Trong hai bước trên:
-
A.
Chỉ có bước 1 đúng.
-
B.
Chỉ có bước 2 đúng.
-
C.
Cả hai bước đều đúng
-
D.
Cả hai bước đều sai
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
\(1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1; \cdots \)
-
B.
\(1;{\rm{ }} - \dfrac{1}{2};{\rm{ }}\dfrac{1}{4};{\rm{ }} - \dfrac{1}{8};{\rm{ }}\dfrac{1}{{16}}; \cdots \)
-
C.
\(1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7;{\rm{ }}9; \cdots \)
-
D.
\(1;{\rm{ }}\dfrac{1}{2};{\rm{ }}\dfrac{1}{4};{\rm{ }}\dfrac{1}{8};{\rm{ }}\dfrac{1}{{16}}; \cdots \)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
-
A.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
B.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}\)
-
C.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
D.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 1}}\)
Cho hai số $x$ và $y$ biết các số \(x - y;x + y;3x - 3y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số \(x - 2;y + 2;2x + 3y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm $x;y$:
-
A.
\(x = 3;y = 1\)
-
B.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{16}}{{13}};y = - \dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}\)
-
D.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}\)
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_1} = 2;d = 7\)
-
B.
\({u_1} = 1,d = 6\)
-
C.
\({u_1} = 1;d = - 6\)
-
D.
\({u_1} = 2;d = 6\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_3} = - 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_n} = 3n - 11\)
-
B.
\({u_n} = 3n - 8\)
-
C.
\({u_n} = 2n - 8\)
-
D.
\({u_n} = n - 5\)
Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${S_5} = - 512$
-
B.
${u_5} = 256$
-
C.
${u_5} = - 512$
-
D.
$q = 4$
Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào đúng?
-
A.
\({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18cm$. Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${h_n}$.
-
A.
\({h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left( m \right)\)
-
B.
\({h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left( m \right)\)
-
C.
\({h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left( m \right)\)
-
D.
\({h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left( m \right)\)
Cho dãy số xác định bởi \({u_1} = 1\), \({u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó ${u_{2018}}$ bằng
-
A.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
-
B.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2018}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
-
C.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2017}}}}{{{3^{2018}}}} + \dfrac{1}{{2018}}$.
-
D.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2017}}}}{{{3^{2018}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
Biết rằng tồn tại các giá trị của \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) để ba số \(1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x\) lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.
-
A.
\(S = 5\pi \)
-
B.
\(S = 3\pi \)
-
C.
\(S = \dfrac{{7\pi }}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{23\pi }}{6}\)
Tính tổng \({S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\) (có $10$ chữ số $1$)
-
A.
\(\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = \sqrt 2 \) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \) với mọi \(n \ge 1\). Tìm \({u_{2018}}\).
-
A.
\({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \dfrac{\pi }{{{2^{2017}}}}\).
-
B.
\({u_{2018}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{2019}}}}\).
-
C.
\({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \dfrac{\pi }{{{2^{2018}}}}\).
-
D.
\({u_{2018}} = 2\).
Tính tổng \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}\) ($a \ne 1$ là số cho trước)
-
A.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\% $. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:
-
A.
$3183624$
-
B.
$2343625$
-
C.
$2343626$
-
D.
$2343627$
Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).
Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)?
-
A.
$S = \dfrac{{15\pi }}{4}.$
-
B.
\(S = 4\pi .\)
-
C.
\(S = \dfrac{{9\pi }}{2}.\)
-
D.
\(S = 5\pi .\)
Lời giải và đáp án
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_3} = 12.\,\,\,\,$
-
B.
${u_3} = - 12.$
-
C.
${u_3} = 16.$
-
D.
${u_3} = - 16.$
Đáp án : A
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}},\forall n \ge 2\)
Ta có: \({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)
Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :
-
A.
$6, 9, 12, 15, 18, 21$
-
B.
$21, 18, 15, 12, 9, 6 $
-
C.
\(\dfrac{{13}}{2},10,\dfrac{{27}}{2},17,\dfrac{{41}}{2},24\)
-
D.
\(\dfrac{{16}}{3},\dfrac{{23}}{3},\dfrac{{37}}{3},\dfrac{{44}}{3},\dfrac{{58}}{3},\dfrac{{65}}{3}\)
Đáp án : A
Coi \({u_1} = 3,{u_8} = 24\), biểu diễn ${u_8}$ theo ${u_1}$ và $d$ nhờ công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
Ba số \({x^2},{y^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
B.
Ba số \({y^2},{z^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
D.
Ba số \({z^2},{y^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Đáp án : C
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
\(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\)
Vậy ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
\( \bullet \) Bước 1, kiểm tra mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p.\)
\( \bullet \) Bước 2, giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1.\)
Trong hai bước trên:
-
A.
Chỉ có bước 1 đúng.
-
B.
Chỉ có bước 2 đúng.
-
C.
Cả hai bước đều đúng
-
D.
Cả hai bước đều sai
Đáp án : C
Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Đáp án : B
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án : D
Xét tính tăng giảm của từng dãy số.
Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) , ta xét thương \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.
Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.
Xét thương : \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.
Xét hiệu
\({y_{n + 1}} - {y_n} =\) \( \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \) \(= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy \({\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1\)
\(\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\)
Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa cấp số nhân:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)
Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
\(1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1; \cdots \)
-
B.
\(1;{\rm{ }} - \dfrac{1}{2};{\rm{ }}\dfrac{1}{4};{\rm{ }} - \dfrac{1}{8};{\rm{ }}\dfrac{1}{{16}}; \cdots \)
-
C.
\(1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7;{\rm{ }}9; \cdots \)
-
D.
\(1;{\rm{ }}\dfrac{1}{2};{\rm{ }}\dfrac{1}{4};{\rm{ }}\dfrac{1}{8};{\rm{ }}\dfrac{1}{{16}}; \cdots \)
Đáp án : C
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng định nghĩa dãy số tăng: \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {N^*}\)
Xét đáp án A: \(1;1;1;1;1;1;...\)đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án B: \(1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}; - \dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} < {u_3} \to \)loại B.
Xét đáp án C: \(1;3;5;7;9;... \to {u_n} < {u_{n + 1}},n \in {\mathbb{N}^*}\)
Xét đáp án D: \(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} > {u_3} \ldots > {u_n} > ... \to \)loại D.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
-
A.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
B.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}\)
-
C.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
D.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 1}}\)
Đáp án : C
Thay $n$ bởi $n + 1$ và tính số hạng $x_{n+1}$
Ta có: \({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
Cho hai số $x$ và $y$ biết các số \(x - y;x + y;3x - 3y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số \(x - 2;y + 2;2x + 3y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm $x;y$:
-
A.
\(x = 3;y = 1\)
-
B.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{16}}{{13}};y = - \dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}\)
-
D.
\(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}\)
Đáp án : C
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân:
- Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì \({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2\)
- Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\)
Từ giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right) + \left( {3x - 3y} \right) = 2(x + y)\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {3y - 2} \right)\left( {9y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\13{y^2} - 11y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \dfrac{2}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{6}{{13}};y = - \dfrac{2}{{13}}\)
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Đáp án : B
Suy ra trực tiếp từ các đáp án bằng cách xét hiệu \({x_{n + 1}} - {x_n}\) .
Ta thấy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.
Với dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì \({b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Với dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm.
Với dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) ta có \({d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.\)
Xét hiệu \({d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*\)
Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy giảm.
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_1} = 2;d = 7\)
-
B.
\({u_1} = 1,d = 6\)
-
C.
\({u_1} = 1;d = - 6\)
-
D.
\({u_1} = 2;d = 6\)
Đáp án : B
Tính \({S_1} = {u_1},{S_2} = {u_1} + {u_2}\). Sau đó tìm hiệu \({u_2} - {u_1}\) và suy ra công sai của CSC đó
Ta có \({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\) \({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \) \(\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Đáp án : A
Tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_3} = - 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_n} = 3n - 11\)
-
B.
\({u_n} = 3n - 8\)
-
C.
\({u_n} = 2n - 8\)
-
D.
\({u_n} = n - 5\)
Đáp án : A
Xác định \({u_1}\) và $d.$
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 3.$
\({u_3} = {u_1} + 2d\) \( \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8\)
Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\)
Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${S_5} = - 512$
-
B.
${u_5} = 256$
-
C.
${u_5} = - 512$
-
D.
$q = 4$
Đáp án : C
- Tính công bội \(q\) của cấp số nhân dựa vào công thức \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
- Tính số hạng \({u_n}\) của cấp số nhân dựa vào công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).
- Tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân dựa vào công thức \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Ta có: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$
Do đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512\).
Và \({S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410\)
Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào đúng?
-
A.
\({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
Đáp án : B
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh hoặc có thể sử dụng nhận xét:\(\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}\,\,\forall k \in N^*\)
Cách 1:
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{n}{{n + 1}}\,\,\left( * \right)\)
Thật vậy, với $n = 1$ ta có \({S_1} = \dfrac{1}{{1.2}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{1 + 1}}\)
Giả sử (*) đúng đến $n = k(k \ge 1) $, khi đó ta có:
\({S_k} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\), ta chứng minh (*) đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh
\({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)}}.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Đáp án : B
\({a_n} < M,\,\,\forall n\) thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn trên bởi $M$ và \({a_n} > m\,\,\forall n\) thì thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn dưới bởi $m$.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bới \({a_1} = 4\)
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có \(\dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}} < 1\,\,\forall n \in N^* \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn trên bởi $1$.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi \({c_1} = 12\)
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy đan dấu và \({d_{2n}} = {\left( { - 2} \right)^{2n }}= {4^n}\) lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn và \({d_{2n + 1}} = {\left( { - 2} \right)^{2n + 1}} = - {2.4^n}\) nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Do đó dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) không bị chặn.
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18cm$. Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${h_n}$.
-
A.
\({h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left( m \right)\)
-
B.
\({h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left( m \right)\)
-
C.
\({h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left( m \right)\)
-
D.
\({h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left( m \right)\)
Đáp án : A
- Dãy số $\left( {{h_n}} \right)$ với ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân là một cấp số cộng có ${u_1} = 0,5$ và công sai $d = 0,18$ .
- Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC: \({h_n} = {h_1}+\left( {n - 1} \right)d\)
Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao bậc $n$ so với mặt sân. Khi đó ta có \({h_{n + 1}} = {h_n} + 0,18\,\,\left( m \right)\), trong đó ${h_1} = 0,5 m$ là độ cao của bậc 1 so với mặt sân.
Dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({h_1} = 0,5\) và công sai $d = 0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là \({h_n} = {h_1} + \left( {n - 1} \right)d= 0,5+ \left( {n - 1} \right)0,18 \)\( = 0,18n + 0,32\) (mét).
Cho dãy số xác định bởi \({u_1} = 1\), \({u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó ${u_{2018}}$ bằng
-
A.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
-
B.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2018}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
-
C.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2017}}}}{{{3^{2018}}}} + \dfrac{1}{{2018}}$.
-
D.
${u_{2018}} = \dfrac{{{2^{2017}}}}{{{3^{2018}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
Đáp án : A
- Đặt \({v_n} = {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}\) tìm \({v_n}\) và suy ra công thức số hạng tổng quát của \({u_n}\)
- Thay \(n = 2018\) tìm \({u_{2018}}\)
Ta có: \({{\rm{u}}_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{{\rm{u}}_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{3}{{n + 2}} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \dfrac{2}{3}{u_n} + \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{n + 1}}\).
$ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} = \dfrac{2}{3}\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)$$\left( 1 \right)$
Đặt ${v_n} = {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$, từ $\left( 1 \right)$ta suy ra: ${v_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{v_n}$.
Do đó $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với ${v_1} = {u_1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$, công bội $q = \dfrac{2}{3}$.
Suy ra: ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}$$ \Leftrightarrow {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}$$ \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \dfrac{1}{{n + 1}}$.
Vậy ${u_{2018}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2017}} + \dfrac{1}{{2019}}$$ = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
Biết rằng tồn tại các giá trị của \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) để ba số \(1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x\) lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.
-
A.
\(S = 5\pi \)
-
B.
\(S = 3\pi \)
-
C.
\(S = \dfrac{{7\pi }}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{23\pi }}{6}\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
$\begin{array}{l}1 + \sin x + 1 + \sin 3x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + \sin x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \pm 1\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\ + )\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi \le 2\pi \\\Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\\ + )x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{11\pi }}{6}\\ + )x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\\ \Rightarrow S = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} + \dfrac{{11\pi }}{{6}} + \dfrac{{7\pi }}{{6}} = 5\pi \end{array}$
Tính tổng \({S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\) (có $10$ chữ số $1$)
-
A.
\(\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\)
Đáp án : A
- Biến đổi các số hạng của tổng thành dạng \(\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}\).
- Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân để tính tổng đã cho.
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = \sqrt 2 \) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \) với mọi \(n \ge 1\). Tìm \({u_{2018}}\).
-
A.
\({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \dfrac{\pi }{{{2^{2017}}}}\).
-
B.
\({u_{2018}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{2019}}}}\).
-
C.
\({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \dfrac{\pi }{{{2^{2018}}}}\).
-
D.
\({u_{2018}} = 2\).
Đáp án : B
Tính \({u_2}\) rồi nhận xét dạng của số hạng tổng quát của dãy, chú ý \(\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\)
Ta có:
\({u_1} = \sqrt 2 = 2\cos \dfrac{\pi }{4} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^2}}}\).
\({u_2} = \sqrt {2 + \sqrt 2 } = 2\cos \dfrac{\pi }{8} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^3}}}\).
Dự đoán: ${u_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}$.
Chứng minh theo quy nạp ta có:
${u_1} = 2\cos \dfrac{\pi }{4} = \sqrt 2 $, công thức $\left( 1 \right)$ đúng với $n = 1$.
Giả sử công thức $\left( 1 \right)$ đúng với $n = k$, \(k \ge 1\) ta có ${u_k} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}$.
Ta có: ${u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} = \sqrt {2\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} \right)} = \sqrt {4{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}} \right)} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}$
(vì \(0 < \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}} < \dfrac{\pi }{2}\) với mọi \(k \ge 1\)).
Công thức $\left( 1 \right)$ đúng với $n = k + 1$.
Vậy ${u_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}$, $\forall n \in N$. Suy ra \({u_{2018}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{2019}}}}\).
Tính tổng \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}\) ($a \ne 1$ là số cho trước)
-
A.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
Đáp án : A
- Nhân của hai vế của tổng với \(a\).
- Trừ vế với vế tương ứng và áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Nếu \(a = 0\) thì \(S = 1\).
Nếu \(a \ne 1\) thì ta có:
\(\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{ }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}\)
Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\% $. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:
-
A.
$3183624$
-
B.
$2343625$
-
C.
$2343626$
-
D.
$2343627$
Đáp án : A
Sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân để tính số hạng thứ ba của dãy.
Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng \(2\% \) nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước \(1 + 2\% = 1,02\) lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = {3.10^6}\) và công bội \(q = 1 + 0,02 \)
\(\Rightarrow {u_n} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^n} \Rightarrow {u_3} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^3} = 3183624\)
Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).
Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)?
-
A.
$S = \dfrac{{15\pi }}{4}.$
-
B.
\(S = 4\pi .\)
-
C.
\(S = \dfrac{{9\pi }}{2}.\)
-
D.
\(S = 5\pi .\)
Đáp án : B
- Lập dãy số \(\left( {{S_n}} \right)\) diện tích các hình tròn ngoại tiếp các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},...,{A_n}{B_n}{C_n}\)
- Nhận xét tính chất của dãy và tính tổng.
Tam giác \(ABC\) cạnh \(a\) thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng \(3\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\)có bán kính \({R_1} = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\dfrac{3}{2}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_2} = 3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\dfrac{3}{4}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_3} = 3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
...................
Như vậy tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh bằng \(3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có bán kính \({R_n} = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_n} = \pi {\left( {3.{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
Khi đó ta được dãy \({S_1}\), \({S_2}\), \(...{S_n}...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = 3\pi \) và công bội \(q = \dfrac{1}{4}\).
Do đó tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\( = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4\pi \) .
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2