Bài 5 trang 99 SGK Hình học 10


Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

LG a

\(a = b \cos C + c \cos B\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác biến đổi vế phải bằng vế trái và kết luận.

Lời giải chi tiết:

 Trong tam giác \(ABC\), theo định lí cosin ta có:

\(\left\{ \matrix{
\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr 
\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& b\cos C + c\cos B \cr&= b.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + c.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr } \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\
= \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\
= \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a
\end{array}\)

Vậy \(a = b \cos C + c \cos B\)

LG b

\(\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\)

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác \(ABC\) , theo định lí sin:

\(\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr 
& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin B = {b \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin C = {c \over {2R}} \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr 
& = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr } \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\
= \dfrac{1}{{2R}}\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}} \right)\\
= \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = \dfrac{a}{{2R}} = \sin A
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) đpcm.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
A + B + C = {180^0}\\
\Rightarrow A = {180^0} - \left( {B + C} \right)\\
\Rightarrow \sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {B + C} \right)\\
= \sin B\cos C + \sin C\cos B\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}\)

LG c

\(h_a= 2R.\sin B\sin C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta lại có: \(\displaystyle a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\)

\(\displaystyle S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a}  = \frac{{2.\frac{{abc}}{{4R}}}}{a} = {{bc} \over {2R}}(2)\)

Mà 

\(\displaystyle \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R \) \(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2R\sin B\\
c = 2R\sin C
\end{array} \right.\)

thay vào (2) ta được:

\(\displaystyle {h_a} = {{2R{\mathop{\rm \sin B}\nolimits} .2R\sin C} \over {2R}}\)\(\displaystyle \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Cách khác:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\dfrac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R\sin B\\
\Rightarrow 2R\sin B\sin C = b\sin C\\
= \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}ab\sin C}}{a} = \dfrac{{2S}}{a} = \dfrac{{a{h_a}}}{a} = {h_a}\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 12 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!