Bài 3 trang 99 SGK Hình học 10


Cho tam giác đều ABC cạnh a

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\).

LG a

Cho \(M\) là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Tính \(MA^2+ MB^2+ MC^2\) theo \(a\)

Lời giải chi tiết:

 

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} \cr 
& {\overrightarrow {MA} ^2} = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2}\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OM} ^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} \cr 
& \Rightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} (1) \cr} \)

Tương tự ta có:

\(\eqalign{
& M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OM} (2) \cr 
& M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OM} (3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

 \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)\( = 6{R^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )\)

\(O\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow  0\)

Suy ra \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} \)

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R \) \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sin {{60}^0}}} = 2R \) \(\Leftrightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \)\(  = 6.{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}= 2a^2\)

LG b

Cho đường thẳng \(d\) tùy ý, tìm điểm \(N\) trên đường thẳng \(d\) sao cho \(NA^2+ NB^2 + NC^2\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\\
= {\overrightarrow {NA} ^2} + {\overrightarrow {NB} ^2} + {\overrightarrow {NC} ^2}\\
= {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} \\+ {\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\\
= {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OA} + {\overrightarrow {OA} ^2}\\
+ {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OB} + {\overrightarrow {OB} ^2}\\
+ {\overrightarrow {NO} ^2} + 2\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {OC} + {\overrightarrow {OC} ^2}\\
= 3N{O^2} + 2\overrightarrow {NO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\
+ \left( {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} \right)\\
= 3N{O^2} + 3{R^2}
\end{array}\)

(vì \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \) và \(OA = OB = OC = R\))

Vì \(R\) không đổi nên để \(N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) nhỏ nhất thì \(NO\) nhỏ nhất hay N là hình chiếu của O trên d.

Vậy N là hình chiếu của O trên d thì \(N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) nhỏ nhất.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!