Giải toán 10, giải bài tập toán lớp 10 đầy đủ đại số và hình học
Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Bài 9 trang 59 SGK Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD có
Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = a, BC = b ,BD = m\), và \(AC = n\). Chứng minh rằng :
$${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$$
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Công thức đường trung tuyến: \( m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}.\)
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.
Áp dụng định lí về đường trung tuyến:
\(A{O^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}}}{4}\)
Mà O là trung điểm AC nên \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{n}{2}\)
Thay \(OA = \frac{n}{2}, \, AB = a,\) \(AD = BC = b\) và \(BD = m\) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)
\end{array}\)
Cách 2:
Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:
\(\begin{array}{l}
B{O^2} = \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{m}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {m^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)
\end{array}\)
Cách 3:
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:
\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos \widehat {ABC}\\
\Rightarrow {n^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {ABC}
\end{array}\)
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:
\(\begin{array}{l}
B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos \widehat {BAD}\\
\Rightarrow {m^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {BAD}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {m^2} + {n^2}\\
= \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\cos \widehat {ABC}\\
+ \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\cos \widehat {BAD}\\
= 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\left( {\cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD}} \right)
\end{array}\)
Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAD} = {{180}^0} \) \( \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = - \cos \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC}} \right) \) \(= - \cos \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD} = 0\)
Vậy \({m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 10 trang 60 SGK Hình học 10
- Bài 11 trang 60 SGK Hình học 10
- Bài 8 trang 59 SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 59 SGK Hình học 10
- Bài 6 trang 59 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
