Bài 7.30 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^o}\).

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng \({45^o}\).

Lời giải chi tiết

a)

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà S.ABCD đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của S trên (ABCD).

C là hình chiếu của C trên (ABCD).

\( \Rightarrow \) OC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

\( \Rightarrow \) (SC, (ABCD)) = (SC, OC) \( = \widehat {SCO}\).

Mà cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^o}\).

\( \Rightarrow \widehat {SCO} = {60^o}\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \)

\(= \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2\) \(\left( {cm} \right)\).

\( \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \) \(\left( {cm} \right)\).

Xét tam giác SOC vuông tại O có:

\(\tan \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{OC}}\)

\(\Rightarrow SO = 3\sqrt 2 .\tan {60^o} = 3\sqrt 6 \) (cm).

\({S_{ABCD}} = {6^2} = 36\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy khối chóp có thể tích:

\(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \)

\(= \frac{1}{3}.3\sqrt 6 .36 = 36\sqrt 6\) \(\left( {c{m^3}} \right)\)

b)

Trong (ABCD) kẻ \(OE \bot CD\).

\(SO \bot CD\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).

\(\Rightarrow CD \bot \left( {SOE} \right)\), \(SE \subset \left( {SOE} \right) \).

\(\Rightarrow CD \bot SE\), \(OE \bot CD\), \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\).

\(\Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SE,OE} \right) = \widehat {SEO}\).

Mà mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng \({45^o} \Rightarrow \widehat {SEO} = {45^o}\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}OE \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow OE//AD\) mà O là trung điểm AC nên OE là đường trung bình tam giác ACD.

\( \Rightarrow OE = \frac{{AD}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) (cm).

Xét tam giác SOE vuông tại O có:

\(\tan \widehat {SEO} = \frac{{SO}}{{OE}} \Rightarrow SO = 3.\tan {45^o} = 3\) (cm).

Vậy khối chóp có thể tích:

\(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.36 = 36\) \(\left( {c{m^3}} \right)\).