Bài 7.28 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó.

Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thế tích khối chóp $V = \frac{1}{3}h.S$

Lời giải chi tiết

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Mà G là trọng tâm nên $AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác SAG vuông tại G có

$SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} $

Diện tích tam giác đều ABC là ${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

Thể tích khối chóp đều là $V=\frac{1}{3}SG.{{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{3}.\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$

Do đó thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là

$V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}.\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 10 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 7.29 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, (widehat {ABC} = {150^0}.)
Bài 7.30 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.
Bài 7.31 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a
Bài 7.32 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc
Giải câu hỏi trang 61, 62, 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Khi mua máy điều hoà, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng 200 BTU.
Lý thuyết Thể tích - Toán 11 Kết nối tri thức
Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp.