Bài 7.25 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức>
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC),(BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai mặt phẳng song song nếu 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết
a) AC // A’C’, D’C // A’B \( \Rightarrow \) (D'AC) // (BC'A')
Ta có \(AC \bot BD,AC \bot BB' \Rightarrow AC \bot \left( {BDB'} \right);B'D \subset \left( {BDB'} \right) \Rightarrow AC \bot B'D\)
Mà AC // A’C’ \( \Rightarrow \) \(B'D \bot A'C'\)
Ta có \(AB' \bot A'B,AD \bot A'B \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'D} \right);B'D \subset \left( {AB'D} \right) \Rightarrow A'B \bot B'D\)
Mà A’B // D’C \( \Rightarrow \) \(B'D \bot D'C\)
Ta có \(B'D \bot AC,B'D \bot D'C \Rightarrow B'D \bot \left( {D'AC} \right)\)
\(B'D \bot A'C',B'D \bot A'B \Rightarrow B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\)
b) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\},A'C' \cap B'D' = \left\{ {O'} \right\}\)
Trong (BB’D’D) nối \(D'O \cap B'D = \left\{ E \right\},BO' \cap B'D = \left\{ F \right\}\)
Vì (D'AC) // (BC'A') nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF do \(B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}B'D \bot BO'\left( {B'D \bot \left( {BA'C'} \right)} \right)\\B'D \bot OD'\left( {B'D \bot \left( {D'AC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BO'//OD'\)
Áp dụng định lí Talet có \(\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DO}}{{BO}} = 1 \Rightarrow DE = EF\) và \(\frac{{B'F}}{{EF}} = \frac{{B'O'}}{{O'D'}} = 1 \Rightarrow B'F = EF\)
\( \Rightarrow EF = \frac{{B'D}}{3}\)
Xét tam giác ABD vuông tại A có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác BB’D vuông tại B có \(B'D = \sqrt {B{{B'}^2} + B{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow EF = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {\left( {D'AC} \right),{\rm{ }}\left( {BC'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
- Bài 7.26 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 7.27 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 7.24 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 7.23 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 7.22 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức