Bài 4 trang 50 SGK Đại số 10

Đề bài

Xác định $a, b, c$, biết parabol $y = ax^2+ bx + c$ đi qua điểm $A(8; 0)$ và có đỉnh $I(6; - 12)$.

Lời giải chi tiết

Parabol đi qua điểm $A(8; 0)$ nên ta có: 

$a.8^2+b.8+c=0$ $\Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0$ (1)

Parabol có đỉnh $I(6; - 12)$ nên ta  có: 

$- \frac{b}{{2a}} = 6$ (2) và $- \frac{\Delta }{{4a}} =  - 12$ (3)

Mà: $(2) \Leftrightarrow  - b = 6.2a \Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0  \Rightarrow b =  - 12a$ (2*)

và $(3) \Leftrightarrow\ \Delta  = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a$ (3*) 

Thay (2*) vào (3*) $144{a^2} -4ac = 48a  \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12\,\,\left( 4 \right)$

Thay (2*) và (4) vào (1) ta được:

$\begin{array}{l} 64a + 8.\left( { - 12a} \right) + 36a - 12 = 0\\  \Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 12 = 0  \Leftrightarrow a = 3 \end{array}$

Dễ dàng suy ra $b = -36$ ; $c= 96$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = 3x^2- 36x + 96$.

Cách khác:

Parabol đi qua điểm $A(8; 0)$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:

$a.8^2+b.8+c=0$ $\Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0$ (1)

Parabol có đỉnh $I(6; - 12)$ nên ta  có:

$- \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 12a$

$\Leftrightarrow 12a + b = 0$ (2)

Mà parabol có đỉnh $I(6;-12)$ nghĩa là đi qua điểm $I(6;-12)$

Do đó $a{.6^2} + b.6 + c =  - 12$ $\Leftrightarrow 36a + 6b + c =  - 12\left( 3 \right)$

Từ (1) (2) và (3) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c =  - 12\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 36\\c = 96\end{array} \right.$

Vậy phương trình parabol cần tìm là $y = 3{x^2} - 36x + 96$.

Loigiaihay.com