Bài 4 trang 50 SGK Đại số 10

Đề bài

Xác định \(a, b, c\), biết parabol \(y = ax^2+ bx + c\) đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\).

Lời giải chi tiết

Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên ta có: 

\(a.8^2+b.8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta  có: 

\( - \frac{b}{{2a}} = 6 \) (2) và \( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 12 \) (3)

Mà: \((2) \Leftrightarrow  - b = 6.2a \Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0  \Rightarrow b =  - 12a  \) (2*)

và \((3) \Leftrightarrow\ \Delta  = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a  \) (3*) 

Thay (2*) vào (3*) \( 144{a^2} -4ac = 48a  \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12\,\,\left( 4 \right)\)

Thay (2*) và (4) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
64a + 8.\left( { - 12a} \right) + 36a - 12 = 0\\
 \Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 12 = 0
 \Leftrightarrow a = 3
\end{array}\)

Dễ dàng suy ra \(b = -36\) ; \(c= 96\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\).

Cách khác:

Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:

\(a.8^2+b.8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta  có:

\( - \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 12a\)

\( \Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)

Mà parabol có đỉnh \(I(6;-12)\) nghĩa là đi qua điểm \(I(6;-12)\)

Do đó \(a{.6^2} + b.6 + c =  - 12\) \( \Leftrightarrow 36a + 6b + c =  - 12\left( 3 \right)\)

Từ (1) (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c =  - 12\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 36\\c = 96\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\).

Loigiaihay.com