

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là −∞−∞;b là +∞+∞). - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0. - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0. |
Ví dụ: Hàm số y=x2−4x+2y=x2−4x+2 có y’ = 2x – 4.
- y’ > 0 với x∈(2;+∞)x∈(2;+∞) nên HS đồng biến trên khoảng (2;+∞)(2;+∞).
- y’ < 0 với x∈(−∞;2)x∈(−∞;2) nên HS đồng biến trên khoảng (−∞;2)(−∞;2).
Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). |
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là −∞−∞, b có thể là +∞+∞) và điểm x0∈(a;b)x0∈(a;b). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0x0) ∀x∈(x0−h;x0+h)⊂(a;b)∀x∈(x0−h;x0+h)⊂(a;b) và x≠x0x≠x0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x0x0. - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0x0) ∀x∈(x0−h;x0+h)⊂(a;b)∀x∈(x0−h;x0+h)⊂(a;b) và x≠x0x≠x0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0x0. |
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và yCTyCT= y(-1) = 2.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCTyCT= y(1) = 2.
Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0)(a;x0) và (x0;b)(x0;b). Khi đó: - Nếu f’(x) < 0 ∀x∈(a;x0)∀x∈(a;x0) và f’(x) > 0 ∀x∈(x0;b)∀x∈(x0;b) thì x0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). - Nếu f’(x) > 0 ∀x∈(a;x0)∀x∈(a;x0) và f’(x) < 0 ∀x∈(x0;b)∀x∈(x0;b) thì x0x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). |
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y=x3−6x2+9x+30y=x3−6x2+9x+30.
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y′=3x2−12x+9; y’ = 0 ⇔x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT= y(3) = 30.
Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)
|




- Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều
- Giải mục 1 trang 2,3,4 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải mục 2 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 1.1 trang 8 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 1.2 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá