Giải mục 2 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số \(y = f(x) =  - \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{2}x + 2\) có đồ thị cho ở hình 1.3

a) Giải phương  trình \(f'(x) = 0\)

b) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f( - 2)\) với các giá trị khi \(x \in ( - 3; - 1)\)

c) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f(2)\) với các giá trị khi  \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Phương pháp giải:

a) Tính \(f'(x)\) rồi giải phương trình \(f'(x) = 0\)

b) Dựa vào đồ thị hàm số rồi giải

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(f'(x) =  - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2}\)

Xét \(f'(x) =  - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} = 4\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\)

b) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f( - 2)\) luôn bé  hơn các giá trị \(f(x)\) khi \(x \in ( - 3; - 1)\)

c) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f(2)\)luôn lớn hơn các giá trị\(f(x)\) khi \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chỉ ra một điểm cực đại, một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số được cho ở hoạt động 3

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa về cực trị:

Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên khoảng \((a;b)\) và điểm \({x_0} \in (a;b)\)

Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) < f({x_0})\)với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt cực đại tại \({x_0}\)

Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt tiểu đại tại \({x_0}\)

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa, ta có thể chọn\(h = 1\) ta có, \({x_0} - h =  - 3\)và \({x_0} + h =  - 1\)

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

\(f(x) > f( - 2)\), với\(\forall x \in ( - 3; - 1)\backslash \{  - 2\} \)

Suy ra \({x_0} =  - 2\)  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Theo định nghĩa, ta có thể chọn \(h = \frac{1}{2}\) ta có, \({x_0} - h = \frac{3}{2}\) và\({x_0} + h = \frac{5}{2}\)

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

\(f(x) < f(2)\) với \(\forall x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\backslash \{ 2\} \)

Suy ra \({x_0} = 2\) là điểm đại của đồ thị hàm số

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hàm số ở hoạt động 3. Xác định dấu của đạo hàm ở các ô  tương ứng với thuộc các khoảng trong bảng 1.2. Nêu mỗi liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi xuống thì \(f'(x)\)mang dấu (-)và ngược lại, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi lên thì \(f'(x)\) mang dấu (+).

Nhìn vào điểm cực trị trên bảng biến thiên rồi nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm là: Nếu đạo hàm có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)và có đồ thị hàm số như hình 1.4. Hãy xác định các điểm cực trị của hàm số trên khoảng\(\left( { - 3;3} \right)\)

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số có 3 điểm cực trị là-1;1;2

Với điểm có cực trị là -1 thì giá trị cực trị là 1

Với điểm có cực trị là 1 thì giá trị cực trị là -3

Với điểm có cực trị là 2 thì giá trị cực trị là 3

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm cực trị của hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính \(f'(x)\)

Bước 2:  Lập bảng biến thiên

Bước 3: Xác định cực trị của hàm số

Lời giải chi tiết:

Hàm số trên xác định trên \(R/\{ 2\} \)

Ta có:  \(f'(x) = \frac{{3(x - 2) - (3x + 1)}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

 \(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

Vì  \(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với \(x \in R/\{ 2\} \)

Nên hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) không có cực trị.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại bài toán Khởi động ban đầu bài học, hãy lập bảng biến thiên của hàm số \(y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\)trên khoảng \((0; + \infty )\)

Khi đó, cho biết hàm nồng độ thước trong máu  :

a) Tăng trong khoảng thời gian nào

b) Đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính \(C'(x)\)

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Tính hàm nồng độ thước trong máu tăng trong khoảng thời gian nào là tính hàm số \(C(x)\) tăng trong khoảng nào hay hàm số \(C(x)\)đồng biến trong khoảng nào

Bước 4: Nồng độ thước máu đạt cực đại là bao nhiêu trong 6 phút sau khi tiêm là giá trị cực đại của hàm số \(C(x)\) trong khoảng \((0;6)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số trên xác định trên R

Ta có: \(y' = C'(x) = \frac{{30({x^2} + 2) - 30x.2x}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)

     \( = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)

Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow  - 30{x^2} + 60 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có :

a) Hàm số \(C(x)\)đồng biến trên khoảng \((0;7,5\sqrt 2 )\)hay nồng độ thước máu tăng từ sau khi tiêm đến \(7,5\sqrt 2 \)phút sau.

b) Hàm số \(C(x)\) đạt giá trị cực đại tại \(x = \sqrt 2 \)hay nồng độ thức máu đạt giá trị cực đại sau \(\sqrt 2 \) phút