Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1. Tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, $f’(x) \ge 0$ với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, $f’(x) \le 0$ với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp $D$ và $x_0 \in D$.

- Nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ và $(a; b) \subset D$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ thì $x_0$ được gọi là một điểm cực đại, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $y = f(x)$, kí hiệu $y_{CĐ}$.

- Nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ và $(a; b) \subset D$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$, thì $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $y = f(x)$, kí hiệu $y_{CT}$.

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$. Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$.

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$.

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải câu hỏi mở đầu trang 6 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t$. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Giải mục 1 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tính đơn điệu của hàm số
Giải mục 2 trang 10, 11, 12 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cực trị của hàm số
Giải bài tập 1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
Giải bài tập 2 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau: a) (y = 4{x^3} + 3{x^2}--36x + 6) b) (y = frac{{{x^2} - 2x - 7}}{{x - 4}})
Giải bài tập 3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm cực trị của các hàm số sau: a) (y = 2{x^3} + 3{x^2}--36x + 1) b) (y = frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}) c) (y = sqrt { - {x^2} + 4} )
Giải bài tập 4 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x - 3}}) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Giải bài tập 5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức (fleft( x right) = 0,01{x^3}--0,04{x^2} + 0,25x + 0,44) (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 ((0 le x le 7)). a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x). b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
Giải bài tập 6 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục (Ox). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm (t) được xác định bởi hàm số (x(t) = {t^3} - 6{t^2} + 9t) với (t ge 0). Khi đó (x'(t)) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm (t), kí hiệu (v(t)); (v'(t)) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm (t), kí hiệu (a(t)). a) Tìm các hàm (v(t))và (a(t)) b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
Giải bài tập 7 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Đạo hàm f '(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).