Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá


1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Vecto n0n0 được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α)(α) nếu giá của nn vuông góc với (α)(α).

Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng (α)(α). Nếu hai vecto a,ba,b không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (α)(α) thì a,ba,b được gọi là cặp vecto chỉ phương của (α)(α).

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm bốn vecto pháp tuyến và hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B).

Giải:

Bốn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AA’B’B) là: ADAD, AD, BC, BC.

Hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B) là: AB, AAAB, AB.

Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) nhận hai vecto a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) làm cặp vecto chỉ phương thì (α) nhận vecto

n=(a2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1)

làm vecto pháp tuyến.


Vecto n=(a2b3a3b2;a3b1a1b3;a1b2a2b1) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto a=(a1;a2;a3)b=(b1;b2;b3), kí hiệu là [a,b].

Biểu thức a1b2a2b1 thường được kí hiệu là |a1a2b1b2|.

Nếu a,b cùng phương [a,b]=0.

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận a=(1;2;3), b=(4;1;5) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto a, b

[a,b]=(2.53.1;3.41.5;1.12.4)=(7;7;7).

Do đó, mặt phẳng (P) nhận n=17[a,b]=(1;1;1) làm một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận n=(A;B;C) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó N(x0;y0;z0)(α)Ax0+By0+Cz0+D=0.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): 3x5y+7z=0 và (Q): x+y2=0.

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là n=(3;5;7).

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là n=(1;1;0).

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 0.

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vecto pháp tuyến n=(A;B;C) có phương trình là:

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0Ax+By+Cz+D=0, với D=(Ax0+By0+Cz0).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến n=(1;2;1).

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến n=(1;2;1) nên phương trình của (P) là 1(x1)+2(y2)+1(z3)=0x+2y8=0.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương u, v có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến n=[u,v].

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến n.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là a=(1;2;1), b=(2;1;3).

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là a=(1;2;1), b=(2;1;3), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là n=[a,b]=(2.31.1;1.21.3;1.12.2)=(5;1;3).

Phương trình của (P) là 5(x4)1(y0)3(z1)=05xy3z17=0.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương AB,AC.

- Tìm vecto pháp tuyến n=[AB,AC].

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A (hoặc B, C) và biết vecto pháp tuyến n.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là AB=(0;1;1), AC=(3;0;1), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

n=[AB,AC]=(1.(1)1.0;1.30.(1);0.01.3)=(1;3;3).

Phương trình của (P) là 1(x1)+3(y1)3(z1)=0x3y+3z=0.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c 0 có dạng xa+yb+zc=1 gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α1):A1x+B1y+C1z+D1=0, (α2):A2x+B2y+C2z+D2=0 với hai vecto pháp tuyến n1=(A1;B1;C1), n2=(A2;B2;C2) tương ứng. Giả sử điểm M(α1).

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng (α1)(α2) song song khi và chỉ khi n1 cùng phương với n2M(α2).

Trong trường hợp A2.B2.C2.D20 thì:

(α1)//(α2)A1A2=B1B2=C1C2D1D2

Điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau

Hai mặt phẳng (α1)(α2) trùng nhau khi và chỉ khi n1 cùng phương với n2M(α2).

Trong trường hợp A2.B2.C2.D20 thì:

(α1)(α2)A1A2=B1B2=C1C2=D1D2

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x3y+z+5=0.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): 4x+6y2z+7=0 song song với (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Giải:

a) Xét (P): 2x3y+z+5=0 và (Q): 4x+6y2z+7=0.

Ta có 24=36=1257 nên (P)//(Q).

b) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(2;3;1).

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến n=(2;3;1).

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến n=(2;3;1) có phương trình là: 2(x1)3(y+2)+1(z3)=0 hay 2x3y+z11=0.

Điều kiện để hai mặt phẳng cắt nhau

Hai mặt phẳng (α1)(α2) cắt nhau khi và chỉ khi n1 không cùng phương với n2.

Trong trường hợp A2.B2.C20 thì:

(α1)(α2)A1A2B1B2 hoặc A1A2C1C2 hoặc B1B2C1C2

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Xét hai mặt phẳng (α1)(α2).

(α1)(α2)n1n2A1A2+B1B2+C1C2=0

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): x4y+3z+2=0, (Q): 4x+y+88=0, (R): x+y+z+9=0. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là n1=(1;4;3), n2=(4;1;0), n3=(1;1;1).

Ta có n1.n2=1.4+(4).1+3.0=0. Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có n1.n3=1.1+(4).1+3.1=0. Vậy (P) ⊥ (R).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:

d(M,(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): x+y+z+12=0.

Giải: d(M,(P))=|1.1+1.2+1.3+12|12+12+12=183=63.

Ví dụ 2: Chứng minh (α): 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với (β): 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Giải:

Ta có 22=33=66714 nên (α)//(β). Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc (β).

Vậy d((α),(β))=d(N,(α))=|2.(7)+3.06.37|22+32+(6)2=217=3.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD (Hình 5.1). a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (ABCD).

  • Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C). Gọi M(x;y;z) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào ?. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc (α) là: nM0M=? Hay: A(x?)+B(y?)+C(z?)=0 (*) Đặt D=(Ax0+By0+Cz0) thì phương trình (*) trở thành: ?x+?y+?z+D=0

  • Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α1):2x3y+z+3=0, (α2):4x6y+2z+5=0và điểm M(2;0;1). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?

  • Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C) và điểm M0(x0;y0;z0). Gọi M1(x1;y1;z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên (α) (Hình 5.13). a) Tính |M1M0n| theo A,B,C,D,x0,y0,z0. b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri

  • Giải bài tập 5.1 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Viết phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.