Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).

Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm bốn vecto pháp tuyến và hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B).

Giải:

Bốn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AA’B’B) là: \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {A'D'} \), \(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {B'C'} \).

Hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B) là: \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AB'} \).

Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) làm cặp vecto chỉ phương thì \(\left( \alpha \right)\) nhận vecto

\(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)

làm vecto pháp tuyến.

Vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).

Biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\) thường được kí hiệu là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\).

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\).

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).

Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3; - 5;7)\).

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;1;0)\).

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là:

\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\).

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\) nên phương trình của (P) là \(1\left( {x-1} \right) + 2\left( {y-2} \right) + 1\left( {z-3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\).

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).

Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A (hoặc B, C) và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).

Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c \( \ne \) 0 có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} = ({A_2};{B_2};{C_2})\) tương ứng. Giả sử điểm \(M \in ({\alpha _1})\).

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) song song khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) và \(M \notin ({\alpha _2})\).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

Điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) trùng nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) và \(M \in ({\alpha _2})\).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \equiv \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\) song song với (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Giải:

a) Xét (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\) và (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\).

Ta có \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}\) nên (P)//(Q).

b) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\).

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\).

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\) có phương trình là: \(2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0\) hay \(2x - 3y + z - 11 = 0\).

Điều kiện để hai mặt phẳng cắt nhau

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \cap \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\) hoặc \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\) hoặc \(\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\)

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Xét hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\).

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).

Giải: \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \).

Ví dụ 2: Chứng minh \((\alpha )\): 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với \((\beta )\): 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Giải:

Ta có \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}\) nên \((\alpha )\)//\((\beta )\). Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc \((\beta )\).

Vậy \(d\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = d\left( {N,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 7) + 3.0 - 6.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3\).

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) (Hình 5.1). a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\).
Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là: \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\) Hay: \(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*) Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành: \(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri
Giải bài tập 5.1 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Giải bài tập 5.2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (M(1; - 2;4)) và nhận (vec n = (2;3;5)) làm vectơ pháp tuyến; b) Đi qua điểm (A(0; - 1;2)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = (3;2;1)) và (vec v = ( - 3;0;1)) c) Đi qua ba điểm (A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)) d) Đi qua ba điểm (A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)).
Giải bài tập 5.3 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(2;3; - 4)\) và \(B(4; - 1;0)\).
Giải bài tập 5.4 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Chứa trục Ox và điểm \(M( - 4;1;2)\) b) Chứa trục Oy và điểm \(N(0;4; - 3)\) c) Chứa trục Oz và điểm \(P(3;0; - 7)\)
Giải bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Giải bài tập 5.6 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua điểm (M(1;3; - 2)) và song song với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + 3z + 4 = 0).
Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua hai điểm (A(1;0;1)), (B(5;2;3)) và vuông góc với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + z - 7 = 0).
Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau: a) (({alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0) và (({alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0). b) (({beta _1}):x + 2z - 5 = 0) và (({beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0). c) (({gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0) và (({gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0).
Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\) b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\) c) \((Oxy):z = 0\)
Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD). b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.
Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.