Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) (Hình 5.1). a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 41 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) (Hình 5.1).

a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\).

Phương pháp giải:

- Để tìm các vectơ vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), ta tìm các vectơ có phương vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng này.

- Để tìm các vectơ nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\), ta xét các vectơ có giá là các đoạn thẳng trong mặt phẳng đó hoặc song song với nó.

Lời giải chi tiết:

- Các vectơ vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) sẽ có phương vuông góc với mặt phẳng này. Các vectơ này sẽ có phương dọc theo trục\(AA',BB',CC',DD'\), vì các đoạn thẳng nối đỉnh giữa hai mặt phẳng song song \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) đều vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

- Các vectơ cần tìm là:

\(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {DD'} \)

Đây là các vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), vì chúng có phương dọc theo chiều cao của hình hộp chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\).

- Các vectơ nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\) có phương song song với các cạnh của hình chữ nhật\(ABCD\).

- Hai vectơ không cùng phương có thể lấy như sau:

\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

Đây là các vectơ có giá nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\), lần lượt dọc theo hai cạnh của hình chữ nhật\(ABCD\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình vuông và \(SA\) vuông góc với \((ABCD)\).

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((ABCD)\), \((SAB)\), \((SAD)\), và \((SAC)\).

b) Tìm hai cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SCD)\).

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với tất cả các vectơ thuộc mặt phẳng đó.

- Hai vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là hai vectơ không đồng phương và cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

- Mặt phẳng \((ABCD)\):

Theo đề bài, ta có \(SA\) vuông với mặt phẳng \((ABCD)\) nên \(\overrightarrow {SA} \) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

- Mặt phẳng \((SAB)\):

Ta chọn các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} \)

Theo đề bài, ta có \(DA\) vuông góc với \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {DA} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\).

- Mặt phẳng \((SAD)\):

Chọn các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AD} \)

Theo đề bài, ta có \(BA\) vuông góc với \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {BA} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAD)\).

- Mặt phẳng \((SAC)\):

Chọn các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} \)

Theo đề bài, ta có \(BD\) vuông góc với \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} \) nên \(\overrightarrow {BD} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\).

Các vectơ chỉ phương của mặt phẳng này là:

\(\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DC} \)

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1},{a_2},{a_3})\) và \(\vec b = ({b_1},{b_2},{b_3})\) (Hình 5.4). Xét vectơ \(\vec n\) được xác định như sau:

\(\vec n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)

Tính \(\vec n \cdot \vec a\) và \(\vec n \cdot \vec b\). Vectơ \(\vec n\) có phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Giả sử hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) có tọa độ lần lượt là:

\(\vec a = ({a_1},{a_2},{a_3}),\quad \vec b = ({b_1},{b_2},{b_3})\)

Công thức tích vô hướng của chúng là:

\(\vec a \cdot \vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

Lời giải chi tiết:

- Tính tích vô hướng \(\vec n \cdot \vec a\):

Ta có:

\(\vec n \cdot \vec a = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}){a_1} + ({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}){a_2} + ({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}){a_3}\)

Sau khi phân tích và đơn giản hóa, kết quả sẽ là \(0\).

- Tính tích vô hướng \(\vec n \cdot \vec b\):

Tương tự:

\(\vec n \cdot \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}){b_1} + ({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}){b_2} + ({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}){b_3}\)

Sau khi tính toán, kết quả cũng là \(0\).

Vì \(\vec n \cdot \vec a = 0\) và \(\vec n \cdot \vec b = 0\), vectơ \(\vec n\) vuông góc với cả \(\vec a\) và \(\vec b\). Do đó, \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện \(ABCD\) có các đỉnh là \(A(5;1;3)\), \(B(1;6;2)\), \(C(5;0;4)\) và \(D(4;0;6)\). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) chứa cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Phương pháp giải:

Vì mặt phẳng \((\alpha )\) chứa cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) sẽ vuông góc với cả \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là tích có hướng của hai vectơ:

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của các cạnh:

\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - 5,6 - 1,2 - 3) = ( - 4,5, - 1)\)

\(\overrightarrow {CD} = D - C = (4 - 5,0 - 0,6 - 4) = ( - 1,0,2)\)

Tính tích có hướng \(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {CD} \):

\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 4}&5&{ - 1}\\{ - 1}&0&2\end{array}} \right|\)

Tính từng bước:

\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|\)

\( = {\bf{i}}(5 \cdot 2 - ( - 1) \cdot 0) - {\bf{j}}( - 4 \cdot 2 - ( - 1) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}( - 4 \cdot 0 - 5 \cdot ( - 1))\)

\( = {\bf{i}}(10) - {\bf{j}}( - 8 - 1) + {\bf{k}}(5)\)

\( = (10,9,5)\)

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(\vec n = (10,9,5)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là: \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\) Hay: \(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*) Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành: \(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri
Giải bài tập 5.1 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Giải bài tập 5.2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (M(1; - 2;4)) và nhận (vec n = (2;3;5)) làm vectơ pháp tuyến; b) Đi qua điểm (A(0; - 1;2)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = (3;2;1)) và (vec v = ( - 3;0;1)) c) Đi qua ba điểm (A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)) d) Đi qua ba điểm (A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)).
Giải bài tập 5.3 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(2;3; - 4)\) và \(B(4; - 1;0)\).
Giải bài tập 5.4 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Chứa trục Ox và điểm \(M( - 4;1;2)\) b) Chứa trục Oy và điểm \(N(0;4; - 3)\) c) Chứa trục Oz và điểm \(P(3;0; - 7)\)
Giải bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Giải bài tập 5.6 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua điểm (M(1;3; - 2)) và song song với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + 3z + 4 = 0).
Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua hai điểm (A(1;0;1)), (B(5;2;3)) và vuông góc với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + z - 7 = 0).
Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau: a) (({alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0) và (({alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0). b) (({beta _1}):x + 2z - 5 = 0) và (({beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0). c) (({gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0) và (({gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0).
Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\) b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\) c) \((Oxy):z = 0\)
Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD). b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.
Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến