-
Giải Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
-
Nội dung đang cập nhật
Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá
Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá
Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):
- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {BC} = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD} = (4,3,5)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = ( - 1, - 2,2)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {FD} \to \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OF} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {BC} = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)
- Xét các điểm \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF} = ( - 9;3; - 9)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AF} = (30;45; - 15)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {OE} \to \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {AB} = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)
- Xét các điểm \(D(1;2;1)\),
\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {DE} = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF} = ( - 8;0; - 4)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {DE} \times \overrightarrow {DF} = (0; - 60;0)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0\)
b)
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:
\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:
\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
