Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Kết nối tri thức


1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\). Hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\)

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in R\)).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})\)

  • Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.\) \((t \in R)\)
  • Trong trường hợp \({x_1} \ne {x_2},{y_1} \ne {y_2},{z_1} \ne {z_2}\) thì đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}\)

2. Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Khi đó:

\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\), \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) và tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Khi đó:

  • \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \notin {\Delta _2}\)
  • \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
  • \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \bot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\]
  • \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí