Giải bài tập 5.17 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức


Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{{ - 1}} = frac{{z + 1}}{3}) và ({Delta _2}:frac{{x - 3}}{{ - 1}} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{1}). a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không? b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Đề bài

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: Δ1:x12=y1=z+13Δ1:x12=y1=z+13Δ2:x31=y+11=z1Δ2:x31=y+11=z1.

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1,Δ2Δ1,Δ2 tương ứng có vectơ chỉ phương u1=(a1;b1;c1),u2=(a2;b2;c2)u1=(a1;b1;c1),u2=(a2;b2;c2). Khi đó, Δ1Δ2u1.u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0Δ1Δ2u1.u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét xem nút giao thông có phải là nút giao thông khác mức không: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1,Δ2Δ1,Δ2 lần lượt đi qua các điểm A1(x1;y1;z1),A2(x2;y2;z2)A1(x1;y1;z1),A2(x2;y2;z2) và tương ứng có vectơ chỉ phương u1=(a1;b1;c1),u2=(a2;b2;c2)u1=(a1;b1;c1),u2=(a2;b2;c2). Khi đó:

Δ1//Δ2Δ1//Δ2 u1u1 cùng phương với u2u2A1Δ2A1Δ2

Δ1Δ2Δ1Δ2 u1u1 cùng phương với u2u2A1Δ2A1Δ2

Δ1Δ1Δ2Δ2 chéo nhau A1A2.[u1,u2]0−−A1A2.[u1,u2]0

Δ1Δ1Δ2Δ2 cắt nhau {[u1,u2]0A1A2.[u1,u2]=0

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng Δ1 có vectơ chỉ phương u1(2;1;3).

Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương u2(1;1;1).

Ta có: u1.u2=2.(1)1.1+3.1=0 nên u1u2. Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng Δ1 đi qua điểm A(1;0;1), đường thẳng Δ2 đi qua điểm B(3;1;0)

2111 nên u1 không cùng phương với u2

Ta có: [u1,u2]=(|1311|,|3211|,|2111|)=(4;5;1)0, AB(2;1;1)

AB.[u1,u2]=(4).2+(5).(1)+1.1=20 nên Δ1Δ2 chéo nhau.

Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.