Giải bài tập 5.17 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{{ - 1}} = frac{{z + 1}}{3}) và ({Delta _2}:frac{{x - 3}}{{ - 1}} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{1}). a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không? b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\).

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét xem nút giao thông có phải là nút giao thông khác mức không: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \). Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( {3; - 1;0} \right)\)

Vì \(\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4; - 5;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2; - 1;1} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 4} \right).2 + \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = - 2 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.18 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm \(A\left( {1;3;4} \right)\) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;1;6} \right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không? a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\). b) Mục tiêu đặt tại điểm \(N\left( { - 3;1; - 8} \right)\).
Giải bài tập 5.19 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3m về hướng S60oE (hướng tạo với hướng nam góc \({60^o}\) và tạo với hướng đông góc \({30^o}\)) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi
Giải bài tập 5.16 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.\).
Giải bài tập 5.15 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\). a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Giải bài tập 5.14 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\). a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Giải bài tập 5.13 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;4} \right)\).
Giải bài tập 5.12 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1;4} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - z - 1 = 0\).
Giải bài tập 5.11 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).
Giải mục 3 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Giải mục 2 trang 45 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Giải mục 1 trang 41,42,43 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Kết nối tri thức
1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng