Lý thuyết hàm số bậc hai

1. Hàm số bậc hai

Định nghĩa

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức:

\[y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)\]

có tập xác định \(D =\mathbb R\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Chiều biến thiên:

Nếu \(a > 0\) thì hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\):

+) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\)

+) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Hàm số đạt có điểm cực tiểu là \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Nếu \(a < 0\) thì hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\):

+) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\)

+) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Hàm số đạt có điểm cực đại là \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Bảng biến thiên:

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số \(y = ax^2+ bx + c (a ≠ 0)\) là đường parabol có:

+) đỉnh là điểm \(I\left( { - \dfrac{b}{2a}; - \dfrac{\Delta }{4a}} \right)\)

+) trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \dfrac{b}{2a}\).

+) Bề lõm của Parabol quay lên trên nếu \(a > 0\) và xuống dưới nếu \(a < 0\).

+) Giao điểm với trục tung: \(A(0; c)\).

+) Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).

* Cách vẽ

Cách 1: (Dùng cho mọi trường hợp)

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I

Bước 2: Vẽ trục đối xứng

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của Parabol cới trục tung và trục hoành (nếu có)

Bước 4: Vẽ parabol (lưu ý dấu của hệ số a - liên quan đến bề lõm của Parabol)

Cách 2: (sử dụng khi đã có đồ thị hàm số \(y = ax^2\))

Đồ thị hàm số \(y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)\) suy ra từ đồ thị hàm số \(y = ax^2\) bằng cách:

+ Tịnh tiến song song với trục hoành \(\left| \dfrac{b}{2a} \right|\) đơn vị về bên trái nếu \(\dfrac{b}{2a}\)  > 0, về bên phải nếu \(\dfrac{b}{2a}\) < 0.

+ Tịnh tiến song song với trục tung \(\left|  -  \dfrac{\Delta }{4a} \right|\) đơn vị lên trên nếu \( -  \dfrac{\Delta }{4a}\) > 0, và xuống dưới nếu \( -  \dfrac{\Delta }{4a}\) < 0.

Loigiaihay.com