Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn bằng 0
- Dãy số (un)(un)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un||un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu limn→+∞un=0limn→+∞un=0 hay un→0un→0 khi n→+∞n→+∞ hay limun=0limun=0.
* Chú ý:
+ lim1nk=0,k∈Z.lim1nk=0,k∈Z.
+ Nếu |q|<1|q|<1 thì limqn=0limqn=0
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói dãy số (un)(un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn→+∞(un−a)=0limn→+∞(un−a)=0, kí hiệu limn→+∞un=alimn→+∞un=a hay un→aun→akhi n→+∞n→+∞.
* Chú ý: Nếu un=cun=c (c là hằng số) thì limn→+∞un=climn→+∞un=c
3. Định lí về giới hạn hữu hạn
Cho limn→+∞un=a,limn→+∞vn=blimn→+∞un=a,limn→+∞vn=b và c là hằng số thì
- limn→+∞(un±vn)=a±blimn→+∞(un±vn)=a±b
- limn→+∞(un.vn)=a.blimn→+∞(un.vn)=a.b
- limn→+∞(unvn)=ab(b≠0)limn→+∞(unvn)=ab(b≠0)
- Nếu un≥0un≥0 thì với mọi n và limn→+∞un=alimn→+∞un=a thì a≥0a≥0 và limn→+∞√un=√alimn→+∞√un=√a
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân (un)(un) có công bội q thỏa mãn |q|<1|q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
S=u11−q(|q|<1)S=u11−q(|q|<1)
II. Giới hạn vô cực
- Dãy số (un)(un) được gọi là có giới hạn +∞+∞khi n→+∞n→+∞ nếu unun có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx→+∞un=+∞limx→+∞un=+∞ hay un→+∞un→+∞ khi n→+∞n→+∞.
- Dãy số (un)(un) được gọi là có giới hạn −∞−∞khi n→+∞n→+∞ nếu limx→+∞(−un)=+∞limx→+∞(−un)=+∞, kí hiệu limx→+∞un=−∞limx→+∞un=−∞ hay un→−∞un→−∞ khi n→+∞n→+∞.
*Nhận xét:
a,limnk=+∞,k∈N,k≥1.b,limqn=+∞;q∈R,q>1.
* Chú ý:
Nếu limx→+∞un=avà limx→+∞vn=+∞(hoặclimx→+∞vn=−∞)thì limn→+∞(unvn)=0.
Nếu limx→+∞un=a>0 và limx→+∞vn=0,vn>0thì limn→+∞(unvn)=+∞.
Nếu limx→+∞un=a>0 và limx→+∞vn=0,vn<0thì limn→+∞(unvn)=−∞.
Nếu limx→+∞vn=a>0 và limx→+∞un=+∞thì limn→+∞(un.vn)=+∞.
Nếu limx→+∞vn=a<0 và limx→+∞un=+∞thì limn→+∞(un.vn)=−∞




- Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải mục 2 trang 62, 63, 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
- Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
- Bài 3.2 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
- Bài 3.3 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá