Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá


I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Dãy số có giới hạn bằng 0

- Dãy số (un)(un)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un||un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu limn+un=0limn+un=0 hay un0un0 khi  n+n+ hay limun=0limun=0.

* Chú ý:

+ lim1nk=0,kZ.lim1nk=0,kZ.

+ Nếu |q|<1|q|<1 thì limqn=0limqn=0

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói dãy số (un)(un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn+(una)=0limn+(una)=0, kí hiệu limn+un=alimn+un=a hay unaunakhi  n+n+.

* Chú ý:  Nếu un=cun=c (c là hằng số) thì limn+un=climn+un=c

3. Định lí về giới hạn hữu hạn

Cho limn+un=a,limn+vn=blimn+un=a,limn+vn=b và c là hằng số thì

  • limn+(un±vn)=a±blimn+(un±vn)=a±b
  • limn+(un.vn)=a.blimn+(un.vn)=a.b
  • limn+(unvn)=ab(b0)limn+(unvn)=ab(b0)
  • Nếu un0un0 thì với mọi n và limn+un=alimn+un=a thì a0a0limn+un=alimn+un=a

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân (un)(un) có công bội q thỏa mãn |q|<1|q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

S=u11q(|q|<1)S=u11q(|q|<1)

II. Giới hạn vô cực

- Dãy số (un)(un) được gọi là có giới hạn ++khi n+n+ nếu unun có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx+un=+limx+un=+ hay un+un+ khi n+n+.

- Dãy số (un)(un) được gọi là có giới hạn khi n+n+ nếu limx+(un)=+limx+(un)=+, kí hiệu limx+un=limx+un= hay unun khi n+n+.

*Nhận xét:

a,limnk=+,kN,k1.b,limqn=+;qR,q>1.

* Chú ý:

Nếu limx+un=alimx+vn=+(hoặclimx+vn=)thì limn+(unvn)=0.

Nếu limx+un=a>0limx+vn=0,vn>0thì limn+(unvn)=+.

Nếu limx+un=a>0limx+vn=0,vn<0thì limn+(unvn)=.

Nếu limx+vn=a>0limx+un=+thì limn+(un.vn)=+.

Nếu limx+vn=a<0limx+un=+thì limn+(un.vn)=

 

 

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.