Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho dãy số (\({u_n}\)) được xác định bởi \({u_n} = \frac{1}{n}\)

a, Tính giá trị của \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\)và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:

b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.

c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.

Phương pháp giải:

a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức \({u_n} = \frac{1}{n}\) để được các giá trị tương ứng \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\).

b, Khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 là giá trị của \({u_n}\).

Khi n tăng thì giá trị \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng gần nhau hơn.

Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

c, 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({u_1} = \frac{1}{1} = 1\), \({u_2} = \frac{1}{2}\), \({u_3} = \frac{1}{3}\), \({u_4} = \frac{1}{4}\), \({u_{10}} = \frac{1}{{10}}\).

Biểu diễn trên trục số:

b, Khi n tăng thì \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ khi n tăng.

c, Ta có : 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.  Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Tương tự:

 0,001= \(\frac{1}{{1000}}\)=\({u_{1000}}\)

Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001.

0,00001=\(\frac{1}{{100000}} = {u_{100000}}\).

Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,00001.

Luyện tập 1

Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)

a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) để được năm số hạng đầu tiên của dãy.

\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)

b, Khi n càng tăng thì giá trị \({u_n}\) càng nhỏ. Do đó, khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có :

\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}\).

b, Khi n càng tăng thì khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

Hoạt động 2

Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\). Xét dãy số (\({v_n}\)) với \({v_n} = {u_n} - 3\). Viết công thức tính số hạng tổng quát \({v_n}\)và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\).

Phương pháp giải:

Thay \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\) vào công thức \({v_n} = {u_n} - 3\) để được số hạng tổng quát của \({v_n}\).

Sử dụng phần lưu ý mục 1 là \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\) để tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({v_n} = {u_n} - 3\)= \(\frac{{3n + 1}}{n} - 3 = \frac{{3n + 1 - 3n}}{n} = \frac{1}{n}\).

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\).

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4\).

Phương pháp giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right]\)

=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} + 4} \right)\)

=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{1 - 4{n^2} + 4{n^2}}}{{{n^2}}})\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4\).

Hoạt động 3

a, Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\)

b, So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) và \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).

Phương pháp giải:

a, Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).

b, Tính \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\) và sử dụng kết quả câu a để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6)\)

            = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{6{n^3} + 1 - 6{n^3}}}{{{n^3}}}} \right)\)

           = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\).

b, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 = 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)

Do đó: \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\)= 6

Vậy: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) = \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).

Luyện tập 3

Tìm \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) và \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)

Phương pháp giải:

Tính \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\)  chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\)

Tính \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)  chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}} = \frac{{6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}}}{{2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}}}\)

Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên:

\(\lim (6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0\) và \(\lim (2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}) = 2 + 9.0 = 2\)

Vậy \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) \( = 0\).

Ta có: \(\frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) = \(\frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{4}{6})}^n}}} = \frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{2}{3})}^n}}}\)

Vì \(\lim {(\frac{5}{6})^n} = 0\); \(\lim {(\frac{2}{3})^n} = 0\); \(\lim 2 = 2\); \(\lim 1 = 1\) nên :

\(\lim \left[ {{{(\frac{5}{6})}^n} + 2} \right] = 2\)và \(\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = 1\)

Vậy \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)= 2.

Hoạt động 4

1.Chứng minh rằng dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) và \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\) là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

2.Cho cấp số nhân (\({u_n}\)) có công bội q. ( \(\left| q \right| < 1\))

a, Viết công thức tính tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên  của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q.

b, Nếu quy ước S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\), hãy tính S theo \({u_1}\) và q.

Phương pháp giải:

1.Tìm công bội q của dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) để chứng minh là cấp số nhân

2. a, Viết công thức tính \({S_n}\) của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

    b, Dựa vào lim\({q^n} = 0\), tính lim \({S_n}\).

Lời giải chi tiết:

1.Chứng minh dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân

Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\frac{1}{2})^{n + 1}}\) ; \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)

\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}}}{{{{(\frac{1}{2})}^n}}} = \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân với công bội q=\(\frac{1}{2}\).

Chứng minh dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân

Ta có: \({v_{n + 1}} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^{n + 1}}\); \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\)

\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^{n + 1}}}}{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^n}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

Vậy dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{{ - 2}}{3}\).

2. a, Tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên  của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q là: \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

b, S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\)= \(\lim \frac{{{u_1}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

Ta có lim \({q^n} = 0\)( với \(\left| q \right| < 1\)) \( \Rightarrow \lim (1 - {q^n}) = 1\), lim \({u_1} = {u_1}\), lim (1-q)=1-q

lim\({S_n} = \)\(\frac{{1.{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Luyện tập 4

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\)

Phương pháp giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\) .Áp dụng công thức S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\).

S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)=\(\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\).