Bài 3.2 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Tìm các giới hạn:

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a, \(\lim ({n^3} - {n^4} + 2n)\)

b, \(\lim (\sqrt {{n^2} + 4} + n)\)

c, \(\lim \frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích các biểu thức tính giới hạn thành tích trong đó có chứa n với số mũ lớn nhất và áp dụng các tình chất của giới hạn vô cực.

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \({n^3} - {n^4} + 2n = {n^4}.(\frac{1}{n} - 1 + \frac{2}{{{n^3}}})\)

Vì \(\lim ({n^4}) = + \infty \) và \(\lim (\frac{1}{n} - 1 + \frac{2}{{{n^3}}}) = - 1\) nên \(\lim ({n^3} - {n^4} + 2n) = - \infty \).

b, Ta có: \((\sqrt {{n^2} + 4} + n) = (n\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}} + n) = n(\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}} + 1)\)

Vì \(\lim n = + \infty \) và \(\lim (\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}} + 1) = 2\) nên \(\lim (\sqrt {{n^2} + 4} + n) = + \infty \).

c, Ta có: \(\frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}} = \frac{{1 + \frac{2}{{{5^n}}}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}\)

Vì \(\lim (1 + \frac{2}{{{5^n}}}) = 1\) và \(\lim \left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n}} \right] = 0\) nên \(\lim \frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}} = + \infty \).