Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 24, 25 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Câu 1

Biết rằng ${2^a} = 9$. Tính giá trị của biểu thức ${\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}}$.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{9}$

D. 3

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mũ cơ bản để giải: ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

+ Nếu $b \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${2^a} = 9 \Rightarrow a = {\log _2}9$.

Do đó, ${\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}}$ $= {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^a}$ $= {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{{{\log }_2}9}}$ $= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - \frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 2 }}9}}$ $= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - {{\log }_{\sqrt 2 }}{9^{\frac{1}{2}}}}}$ $= \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}}}$ $= \frac{1}{3}$

Chọn B

Quảng cáo

Câu 2

Giá trị của biểu thức $2{\log _5}10 + {\log _5}0,25$ bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có:

${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$, ${\log _a}{a^b} = b$

Lời giải chi tiết:

$2{\log _5}10 + {\log _5}0,25$ $= {\log _5}{10^2} + {\log _5}0,25$ $= {\log _5}\left( {100.0,25} \right)$ $= {\log _5}{5^2}$ $= 2$

Chọn C.

Câu 3

Cho x và y là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${2^{\log x + \log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}$

B. ${2^{\log \left( {x + y} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}$

C. ${2^{\log \left( {xy} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}$

D. ${2^{\log x.\log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có: ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

Lời giải chi tiết:

${2^{\log x}}{.2^{\log y}} = {2^{\log x + \log y}} = {2^{\log \left( {xy} \right)}}$

Chọn C

Câu 4

Biết rằng $x = {\log _3}6 + {\log _9}4$. Giá trị của biểu thức ${3^x}$ bằng

A. 6

B. 12

C. 24

D. 48

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có:

${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

Lời giải chi tiết:

$x$ $= {\log _3}6 + {\log _9}4$ $= {\log _3}6 + \frac{1}{2}{\log _3}4$ $= {\log _3}6 + {\log _3}{4^{\frac{1}{2}}}$ $= {\log _3}\left( {6.2} \right)$ $= {\log _3}12$

Do đó, ${3^x}$ $= {3^{{{\log }_3}12}}$ $= 12$

Chọn B

Câu 5

Giá trị của biểu thức $\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right)$ bằng

A. 4

B. $\frac{1}{4}$

C. 6

D. $\frac{1}{6}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Cho các số dương a, b, N, $a \ne 1,b \ne 1$ ta có: ${\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}$.

Lời giải chi tiết:

$\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right)$ $= {\log _2}25.\frac{{{{\log }_2}8}}{{{{\log }_2}5}}$ $= 2{\log _2}5.\frac{{3{{\log }_2}2}}{{{{\log }_2}5}}$ $= 6$

Chọn C

Câu 6

Đặt $\log 3 = a,\log 5 = b$. Khi đó, ${\log _{15}}50$ bằng

A. $\frac{{1 + 2b}}{{a + b}}$

B. $\frac{{a - b}}{{a + b}}$

C. $\frac{{1 - b}}{{a + b}}$

D. $\frac{{1 + b}}{{a + b}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có:${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

Lời giải chi tiết:

${\log _{15}}50$ $= \frac{{\log 50}}{{\log 15}}$ $= \frac{{\log \left( {5.10} \right)}}{{\log \left( {3.5} \right)}}$ $= \frac{{\log 5 + \log 10}}{{\log 3 + \log 5}}$ $= \frac{{b + 1}}{{a + b}}$

Chọn D

Câu 7

Cho ba số $a = {4^{0,9}},b = {8^{0,5}},c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $c > a > b$

B. $c > b > a$

C. $a > b > c$

D. $a > c > b$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ $y = {a^x}$ để so sánh:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $a$ $= {\left( {{2^2}} \right)^{0,9}}$ $= {2^{1,8}},b$ $= {\left( {{2^3}} \right)^{0,5}}$ $= {2^{1,5}},c$ $= {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}}$ $= {2^{1,6}}$

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y$ $= {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà $1,8 > 1,6 > 1,5$ nên ${2^{1,8}} > {2^{1,6}} > {2^{1,5}}$ nên $a > c > b$.

Chọn D

Câu 8

Cho ba số $a =  - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2},b = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}$ và $c = \frac{1}{2}{\log _3}5$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a < b < c$

B. $b < a < c$

C. $c < a < b$

D. $a < c < b$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số $y = {\log _a}x$ để so sánh:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$. 

Lời giải chi tiết:

$a$ $=  - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}$ $= {\log _3}\frac{1}{2},b$ $= {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}$ $=  - {\log _3}{2^{ - 1}}$ $= {\log _3}2,c$ $= \frac{1}{2}{\log _3}5$ $= {\log _3}\sqrt 5$

Vì $3 > 1$ nên hàm số $y$ $= {\log _3}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Mà $\frac{1}{2} < 2 < \sqrt 5$ nên ${\log _3}\frac{1}{2} < {\log _3}2 < {\log _3}\sqrt 5$. Do đó, $a < b < c$

Chọn A

Câu 9

Cho $0 < a < 1,x = {\log _a}\sqrt 2  + {\log _a}\sqrt 3 ,$ $y = \frac{1}{2}{\log _a}5,z = {\log _a}\sqrt {14}  - {\log _a}\sqrt 2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $x < y < z$

B. $y < x < z$

C. $z < x < y$

D. $z < y < x$

Phương pháp giải:

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số $y = {\log _a}x$ để so sánh:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- So sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

$x = {\log _a}\sqrt 2  + {\log _a}\sqrt 3  = {\log _a}\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right) = {\log _a}\sqrt 6$, $y = \frac{1}{2}{\log _a}5 = {\log _a}\sqrt 5$

$z = {\log _a}\sqrt {14}  - {\log _a}\sqrt 2  = {\log _a}\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt 2 }} = {\log _a}\sqrt 7$

Vì $0 < a < 1$ nên hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Mà $\sqrt 5  < \sqrt 6  < \sqrt 7$ nên ${\log _a}\sqrt 7  < {\log _a}\sqrt 6  < {\log _a}\sqrt 5$. Do đó, $z < x < y$

Chọn C

Câu 10

Cho ba số $a = {\log _{\frac{1}{2}}}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a < b < c$

B. $a < c < b$

C. $c < a < b$

D. $b < a < c$

Phương pháp giải:

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số $y = {\log _a}x$ để so sánh:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ $y = {a^x}$ để so sánh:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết:

$a = {\log _{\frac{1}{2}}}3 =  - {\log _2}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}} = {2^{ - 0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}$

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà $- 0,3 < \frac{1}{3}$ nên ${2^{ - 0,3}} < {2^{\frac{1}{3}}}$

Hàm số $y = {a^x}$ luôn nằm phía trên trục hoành nên ${2^{\frac{1}{3}}} > 0,{2^{ - 0,3}} > 0$

Lại có: $- {\log _2}3 < 0$

Do đó, $- {\log _2}3 < {2^{ - 0,3}} < {2^{\frac{1}{3}}}$ hay $a < b < c$.

Chọn A

Câu 11

Giải phương trình ${3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}$

A. $- \frac{1}{4}$

B. $- \frac{3}{8}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{{12\sqrt 3 }}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:

${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

+ Nếu $b \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha$, tổng quát hơn: ${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

${3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2.4x}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow 8x =  - 3 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3}}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{{ - 3}}{8}$

Chọn B

Câu 12

Tập nghiệm của bất phương trình $0,{3^{3x - 1}} > 0,09$ là

A. $\left( {1; + \infty } \right)$

B. $\left( { - \infty ;1} \right)$

C. $\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$

D. $\left( {0;1} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình chứa mũ để giải bất phương trình:

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:

Chú ý:

+ Nếu $a > 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)$

+ Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) < v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

$0,{3^{3x - 1}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{3x - 1}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow 3x - 1 < 2 \Leftrightarrow 3x < 3 \Leftrightarrow x < 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ;1} \right)$

Chọn B

Câu 13

Biết rằng ${\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64$. Giá trị của x là

A. $\frac{9}{2}$

B. 9

C. 27

D. 81

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là $x = {a^b}$.

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}$, ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0$.

${\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64$ $\Leftrightarrow \frac{{{{\log }_8}4}}{{{{\log }_8}3}}.\frac{{{{\log }_8}8}}{{{{\log }_8}4}}.{\log _8}x = {\log _8}64$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_8}3}}{\log _8}x = {\log _8}{8^2}$

$\Leftrightarrow {\log _8}x = 2.{\log _8}3$ $\Leftrightarrow {\log _8}x = {\log _8}9$ $\Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 9$

Chọn B

Câu 14

Giải phương trình ${\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right)$

A. 9

B. 15

C. 4

D. 5

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là $x = {a^b}$.

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}$, ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 4$

${\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right)$ $\Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}{5^2} + {\log _5}\left( {x - 4} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}25\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow 4x + 5 = 25x - 100 \Leftrightarrow 21x = 105 \Leftrightarrow x = 5$ (tm)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$

Chọn D

Câu 15

Giả sử $\alpha$ và $\beta$ là hai nghiệm của phương trình ${\log _2}x.{\log _2}3x =  - \frac{1}{3}$. Khi đó tích $\alpha \beta$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. 3

C. $\sqrt 3$

D. ${\log _2}3$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là $x = {a^b}$.

Chú ý: Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}$, ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0$

${\log _2}x.{\log _2}3x =  - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}3} \right) =  - \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 3{\log _2}x.{\log _2}3 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\\{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\\x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\end{array} \right.$

Do đó, tích hai nghiệm là:

$\alpha .\beta  = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}}{.2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}} = {2^{\frac{{ - 6{{\log }_2}3}}{6}}} = {2^{{{\log }_2}\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$

Chọn A