Giải bài tập 16 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo>
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng \(109,5^\circ \)
Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.
Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.
Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng \(109,5^\circ \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng một hệ trục tọa độ theo đề và dùng công thức tích vô hướng giữa 2 vecto để tìm góc liên kết
Lời giải chi tiết
Từ hình vẽ ta thấy góc liên kết là góc \((\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} )\)
Ta có: \(AE \bot BC\), \(SH \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH \bot AE\\SH \bot BC\end{array} \right.\) nên ta có hệ trục tọa độ như hình với với E trùng với gốc tọa độ O
Giả sử các cạnh của tứ diện có độ dài là a
Ta có: \(SE = AE = \sqrt {A{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A(\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0)\)
\(HE = \frac{{AE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow H(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;0)\)
\(SH = \sqrt {S{E^2} - H{E^2}} = \sqrt {{{(\frac{{a\sqrt 3 }}{2})}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{6})}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow S(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;\frac{{a\sqrt 6 }}{3})\)
Lại có: \(\frac{{FE}}{{SE}} = \frac{{HE}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow FH//SA\) và AF cắt SH tại G nên \(\frac{{GH}}{{GS}} = \frac{{GF}}{{GE}} = \frac{{FH}}{{SA}} = \frac{{HE}}{{AE}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow GH = \frac{1}{4}SH = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} \Rightarrow G(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}})\)
Do đó: \(\overrightarrow {GA} = (\frac{{a\sqrt 3 }}{3};0; - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}) \Rightarrow GA = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
\(\overrightarrow {GS} = (0;0;\frac{{a\sqrt 6 }}{4}) \Rightarrow GS = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Ta có: \(\cos (\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} ) = \frac{{ - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\frac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = - \frac{1}{3} \Rightarrow (\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} ) \approx 109,5^\circ \)
- Giải bài tập 15 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 14 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 13 trang 66 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 12 trang 66 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 11 trang 66 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo