-
Giải Toán 12 tập 1 - Cánh diều
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 10 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S. ABCD có các đỉnh lần lượt là (Sleft( {0;0;frac{{asqrt 3 }}{2}} right),Aleft( {frac{a}{2};0;0} right),Bleft( { - frac{a}{2};0;0} right),Cleft( { - frac{a}{2};a;0} right),Dleft( {frac{a}{2};a;0} right)) với (a > 0) (Hình 36).
Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S. ABCD có các đỉnh lần lượt là \(S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\) với \(a > 0\) (Hình 36).
a) Xác định tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \). Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\)
b) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0;\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {a;0;0} \right)\).
Do đó, \(\cos \left( {SA,CD} \right) = \frac{{\left| {\frac{a}{2}.a + 0.0 - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\) nên \(\left( {SA,CD} \right) = {60^o}\).
b) Mặt phẳng (SAC) nhận \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0;\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - a;a;0} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a;\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\)
Do đó, \(\sin \left( {\left( {SAC} \right),SD} \right) = \frac{{\left| {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a + \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}\).
Suy ra, \(\left( {\left( {SAC} \right),SD} \right) \approx {28^o}\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 9 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 7 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
- Giải bài tập 6 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
