Giải bài 5 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0,\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\). a) Chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0,\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\).

a) Chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}{\rm{z}} + {D_1} = 0\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}{\rm{z}} + {D_2} = 0\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\).

Khi đó \(\left( {{\alpha _1}} \right)\parallel \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{{\rm{D}}_2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;2;4} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_2}} \) và \(12 \ne \frac{1}{2}.\left( { - 6} \right)\) nên \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Lấy điểm \(A\left( {0;0; - 6} \right) \in \left( P \right)\). Khi đó ta có:

\(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 2.0 + 4.\left( { - 6} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} }} = 5\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có (DA = 2,DC = 3,DD = 2). Tính khoảng cách từ đỉnh (B') đến mặt phẳng (left( {BA'C'} right)).
Giải bài 7 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian (Oxyz) như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính. a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà (left( {DEMM} right)). b) Tính khoảng cách từ điểm (B) đến mái nhà (left( {DEMM} right)).
Giải bài 4 trang 45 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách từ điểm (Aleft( {1;2;3} right)) đến các mặt phẳng sau: a) (left( P right):3x + 4z + 10 = 0); b) (left( Q right):2x - 10 = 0); c) (left( R right):2x + 2y + z - 3 = 0).
Giải bài 3 trang 45 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau: \(\left( P \right):x + y - z + 3 = 0,\left( Q \right):2x + 2y - 2z + 99 = 0,\left( R \right):3x + 3y + 6z + 7 = 0\).
Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 2} \right)\); b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(N\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow v = \left( {3;0;4} \right)\). c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;2;2} \right),B\left( {5;3;2} \right),C\lef
Giải bài 1 trang 45 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng (left( Q right)) nhận (overrightarrow a = left( {4;0;1} right);overrightarrow b = left( {2;1;1} right)) làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (left( Q right)).