Giải bài 4.24 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh (Ox): a) (y = 2sqrt x ,{rm{ y}} = 0,{rm{ }}x = 1,{rm{ }}x = 4); b) (y = 4x,{rm{ }}y = {x^3},{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = 2).

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh \(Ox\):

a) \(y = 2\sqrt x ,{\rm{ y}} = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = 4\);

b) \(y = 4x,{\rm{ }}y = {x^3},{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối tròn xoay .

Ý b: Tính lần lượt thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4x,{\rm{ }}y = 0,\)\({\rm{ }}x = 0,\) \(x = 2\) quanh trục Ox và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox. Lấy hiệu hai thể tích vừa tính ta tìm được thể tích theo yêu cầu, tuy nhiên ta cần xác định xem lấy thể tích nào trừ thể tích còn lại phụ thuộc vào các đồ thị.

Lời giải chi tiết

a) Thể tích cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^4 {4xdx} = 2\pi \left. {{x^2}} \right|_1^4 = 32\pi - 2\pi = 30\pi \).

b) Ta có hình vẽ biểu hình phẳng cần tính diện tích như bên dưới.

Ta thấy đồ thị của hàm số \(y = 4x\) nằm phía trên đồ thị \(y = {x^3}\). Do đó thể tích cần tìm sẽ bằng thể tích khối tròn

xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox (gọi là \({V_1}\) ) trừ đi thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox (gọi là \({V_2}\)).

Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} \).

Do đó thể tích cần tìm là

\(V = {V_1} - {V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {16{x^2} - {x^6}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {\frac{{16}}{3}{x^3} - \frac{{{x^7}}}{7}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{512\pi }}{{21}}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường (y = sqrt x ,y = frac{{{x^2}}}{8},x = 0,x = 4). a) Tính diện tích hình phẳng; b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.
Giải bài 4.26 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính thể tích vật thể B, biết đáy của B là hình tròn bán kính 2 và các mặt cắt vuông góc với mặt đáy là những hình vuông (H.4.6).
Giải bài 4.27 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Hàm cầu và hàm cung của một sản phẩm được mô hình hóa bởi: Hàm cầu: (p = - 0,2x + 8) và hàm cung: (p = 0,1x + 2), trong đó (x) là số đơn vị sản phẩm, (p) là giá của mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng). Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất đối với sản phẩm này.
Giải bài 4.28 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Chi phí nhiên liệu dự kiến C (tính bằng triệu đô la mỗi năm) khi sử dụng một loại xe tải của một công ty vận tải từ năm 2020 đến năm 2030 là ({C_1} = 5,6 + 2,2t,{rm{ }}0 le t le 10), trong đó (t = 0) tương ứng với năm 2020. Nếu công ty sử dụng một loại xe tải khác có động cơ hiệu quả hơn thì chi phí nhiên liệu dự kiến sẽ giảm và tuân theo mô hình ({C_2} = 4,7 + 2,04t,{rm{ }}0 le t le 10). Công ty có thể tiết kiệm được bao nhiêu khi sử dụng xe tải với động cơ hiệu quả hơn?
Giải bài 4.29 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Doanh thu từ một quy trình sản xuất (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình (R = 100 + 0,08t) trong 10 năm. Trong cùng khoảng thời gian đó, chi phí (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình (C = 60 + 0,2{t^2}), trong đó t là thời gian (tính bằng năm). Ước tính lợi nhuận trong khoảng thời gian 10 năm.
Giải bài 4.30 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát t tuần số người nhiễm bệnh là ({N_1}left( t right) = 0,1{t^2} + 0,5t + 150,0 le t le 50). Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình ({N_2}left( t right) = - 0,2{t^2} + 6t + 200,25 le t le 50). a) Tìm thời điểm t để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh là ({N_2}left( t right)
Giải bài 4.23 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (y = {e^x},{rm{ }}y = sqrt x ,{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = 1); b) (y = cos x,{rm{ }}y = frac{1}{2},{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = frac{pi }{3}).
Giải bài 4.22 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (y = {left( {x - 1} right)^3},{rm{ }}y = x - 1,{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = 1); b) (y = {x^3} + 2{x^2} - 3x,{rm{ }}y = {x^2} + 3x,{rm{ }}x = - 3,{rm{ }}x = 0).
Giải bài 4.21 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của các hình phẳng được tô màu dưới đây: