Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; - 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\) thoả mãn \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;4; - 2} \right)\).

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; - 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\) thoả mãn \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;4; - 2} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ:

Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2}} \right)\).

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;b;c} \right)\).

\(G\) là trọng tâm của tứ diện \(OABC\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {G{\rm{O}}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} } \right)\end{array}\)

Ta có \(G\left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GO} = \left( { - 3;3; - 6} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GO} = \left( {1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right);2 + 4 + 3;3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right)} \right) = \left( { - 3;9; - 5} \right)\)

Do đó \(3\overrightarrow {GA} = \left( {3; - 9;5} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = \left( {1; - 3;\frac{5}{3}} \right)\).

Mặt khác \(\overrightarrow {GA} = \left( {a - 3;b + 3;c - 6} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b + 3 = - 3\\c - 6 = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { - 1;4; - 7} \right)\) và \(D'\left( {6;8;10} \right)\). Tìm toạ độ của điểm \(B'\).
Giải bài 5 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm (Aleft( {2;2;1} right)). Tính độ dài đoạn thẳng (OA).
Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm (Aleft( {1;2;3} right)). Tính khoảng cách từ (A) đến trục (Oy).
Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm \(M\left( {3; - 1;2} \right)\). Tìm: a) Toạ độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\). b) Toạ độ điểm \(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\). c) Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ. d) Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).
Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho ba điểm (Aleft( {0;2; - 1} right),Bleft( { - 5;4;2} right),Cleft( { - 1;0;5} right)). Tìm toạ độ trọng tâm (G) của tam giác (ABC).
Giải bài 9 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm (Mleft( {a;b;c} right)). Gọi (A,B,C) theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm (M) qua các mặt phẳng (left( {Oxy} right),left( {Oyz} right),left( {Oxz} right)). Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác (ABC).
Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian (Oxyz) được minh hoạ như Hình 3. Cho biết (OABC.DEFH) là hình hộp chữ nhật và (EMF.DNH) là hình lăng trụ đứng. a) Tìm toạ độ của các điểm (B,F,H). b) Tìm toạ độ của các vectơ (overrightarrow {ME} ,overrightarrow {MF} ). c) Tính số đo (widehat {EMF}).
Giải bài 2 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình bình hành \(OABD\) có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;1;0} \right)\) với \(O\) là gốc toạ độ. Tìm toạ độ của điểm \(D\).
Giải bài 1 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm toạ độ ba vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) thoả mãn (overrightarrow a = 2overrightarrow i + 3overrightarrow j - 5overrightarrow k ,overrightarrow b = - 3overrightarrow j + 4overrightarrow k ,overrightarrow c = - overrightarrow i - 2overrightarrow j ).