Giải bài 2 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau: a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {--5;7;6} \right)$ và bán kính $R = 9$ . b) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; - 3;0} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {4;0; - 2} \right)$ . c) $\left( S \right)$ có đường kính $EF$ với $E\left( {1;5;9} \right),F\left( {11;3;1} \right)$ .

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {--5;7;6} \right)$ và bán kính $R = 9$ .

b) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; - 3;0} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {4;0; - 2} \right)$ .

c) $\left( S \right)$ có đường kính $EF$ với $E\left( {1;5;9} \right),F\left( {11;3;1} \right)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để viết phương trình mặt cầu, ta tìm tâm và bán kính mặt cầu.

‒ Phương trình của mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I\left( {--5;7;6} \right)$ và bán kính $R = 9$ là:

${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = {9^2}$ hay ${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 81$ .

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {29}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {\left( {\sqrt {29} } \right)^2}$ hay ${x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 29$ .

c) Mặt cầu đường kính $EF$ có tâm $I\left( {6;4;5} \right)$ là trung điểm của $EF$ .

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = IE = \sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2}} = \sqrt {42}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {42} } \right)^2}$ hay ${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 42$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau: a) (left( S right):{left( {x - 7} right)^2} + {left( {y - 3} right)^2} + {left( {z + 4} right)^2} = 49); b) (left( {S'} right):{x^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z - 2} right)^2} = 11); c) (left( S'' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25)
Giải bài 4 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó. a) (4{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 14y - 7z + 4 = 0); b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4y - 4z - 19 = 0); c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 6z + 40 = 0).
Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian $Oxyz$ bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là $\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100$ (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là ${\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}$ . a) Tìm toạ độ giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$ . b) Tính số đo góc giữa $d$ và trục $Oz$ . Làm tròn kết quả đến hàng
Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục toạ độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm $I\left( {20;40;60} \right)$ . a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian. b) Một người đi biển đang ở vị trí $M\left( {420;340;0} \right)$ . Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.
Giải bài 7 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một khu vực đã được thiết lập một hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400$ . Một người đang sử dụng máy tính tại điểm $M$ nằm trên điểm giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt đất $\left( P \right):z = 0$ . a) Xác định toạ độ tâm $I$ và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ . Tính kho
Giải bài 1 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho mặt cầu (left( S right)) có tâm (Ileft( {2; - 1;4} right)) và bán kính (R = 5). Các điểm (Aleft( {3;1;5} right),Bleft( { - 1;11;14} right),)(Cleft( {6;2;4} right)) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (left( S right))?