SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Bài 2. Công thức lượng giác - SBT Toán 11 KNTT
Giải bài 1.15 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
Đề bài
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
\(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức biến tổng thành tích, công thức nhân đôi và công thức góc liên quan:
\(\sin a + \sin b = 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)\);
$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right)$;
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\);
\(\sin 2a = 2\sin a \cos a\).
Áp dụng tổng 3 góc trong tam giác là 180 độ, biến đổi linh hoạt vế trái thành vế phải.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\text{VT} = \sin A + \sin B + \sin C \)
\(= \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Trong tam giác ABC: \(A + B + C = {180^o}\) \(( = \pi )\)
\(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \)
\(\Rightarrow \frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\).
Ta có \(\frac{{A + B}}{2}\) và \(\frac{C}{2}\) là hai góc phụ nhau, nên: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\), $\sin\frac{C}{2} = \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$.
$\text{VT} = 2\cos\frac{C}{2}\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$
$= 2\cos\frac{C}{2} \left[ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin\frac{C}{2} \right]$
$= 2\cos\frac{C}{2} \left[ \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$
$= 2\cos\frac{C}{2} . \left[ 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} \right]$
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 1.14 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.12 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.11 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.10 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài 43 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 39 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 40 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 41 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 42 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Danh sách bình luận