Giải bài 1.15 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Đề bài

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

\(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức biến tổng thành tích và công thức góc liên quan.

\(\sin a + \sin b = 2\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)\)

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\)

Áp dụng tổng 3 góc trong tam giác là 180 độ, biến đổi linh hoạt vế trái thành vế phải.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin A + \sin B + \sin C\\ = \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\end{array}\)

Trong tam giác ABC: \(A + B + C = {180^0}( = \pi )\)

\(A + B + C = \pi \,\, \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\)

Vậy, 2 góc đó là hai góc phụ nhau, nên: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\); \(\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \frac{C}{2}\).