Giải bài 1.11 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho (cos 2x = - frac{4}{5}) với (frac{pi }{4} < x < frac{pi }{2})

Đề bài

Cho \(\cos 2x = - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\)

Tính \(\sin x,\cos x,\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right),\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào điều kiện về góc x, ta xét dấu \(\sin x\), \(\cos x\).

Áp dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

Áp dụng công thức nhân đôi: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) và công thức cộng:

\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

\(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Lời giải chi tiết

Vì \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin x > 0\), \(\cos x > 0\). Áp dụng công thức hạ bậc ta có

\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\)

\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{9}{{10}} \Rightarrow \sin x = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)

Áp dụng công thức cộng ta có

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}.\)

Lại có \(\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}}\).

\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{6}{{10}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}.\)