Đề thi học kì 2 Toán 10 - Đề số 10

Giả sử gốc toạ độ tại điểm F. Đường đi của viên bi là (P) có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) . Theo hình vẽ ta có: (P) có đỉnh là C(1; 7) và đi qua điểm A(0; 2).

Lập được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = 7}\\{a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 0}\\{a + b + 2 = 7}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 5}\\{b = 10}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó (P): \(y =  - 5{x^2} + 10x + 2\).

Điểm \(E\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm E là nghiệm của phương trình \( - 5{x^2} + 10x + 2 = 0\), kết hợp với điều kiện \({x_E} > 0\) ta nhận \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}\).

Vậy khoảng cách từ vị trí \(E\) đến vị trí \(F\) là \(\frac{{5 + \sqrt {35} }}{5} \approx 2,18\) mét.

Ta có \(n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\).

Gọi \(A\) là biến cố chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực. Khi đó:

Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \(C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\).

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \(C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\).

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 2 nhà Hóa học là: \(C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\).

Gọi \(B\) là biến cố chọn ra 4 nhà khoa học đủ cả ba lĩnh vực mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.

Khi đó:

- Số cách chọn chỉ có nam:

\(C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\).

- Số cách chọn chỉ có nữ:

\(C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\)

\( \Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304\).

Suy ra số cách chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực, trong đó có cả nam lẫn nữ là: \(3024 - 304 = 2720\) hay \(n(A) = 2720\).

Vậy \(P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}}\).