-
Đề khảo sát chất lượng đầu năm
-
Đề thi giữa kì 1
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 1
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 2
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 3
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 4
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 5
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 6
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 6
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 7
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 8
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 9
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 10
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 11
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 12
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 13
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 14
- Đề thi giữa kì 1 - Đề số 15
-
Đề thi học kì 1
- Đề cương ôn tập học kì 1
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 1
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 2
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 3
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 4
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 5
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 6
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 7
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 8
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 9
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 10
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 11
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 12
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 13
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 14
- Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 15
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 7
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 7
Đề bài
Cho hàm số $f(x) = \sqrt{5x + 1}$. Giá trị f(3) bằng:
-
A.
4.
-
B.
Không xác định.
-
C.
16.
-
D.
3.
Hàm số $y = 3x^{2} + x - 4$ có tập xác định là:
-
A.
$\text{D} = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ 3 \right\}.$
-
B.
$\text{D} = \left\lbrack {1; + \infty} \right).$
-
C.
$\text{D} = {\mathbb{R}}.$
-
D.
$\text{D} = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ 1 \right\}.$
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
-
A.
$y = \left( {x^{2} - 4x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.
-
B.
$y = \dfrac{2x}{x + 2}$.
-
C.
$y = - 2x^{2} + 3x + 1$.
-
D.
$y = 3x + 5$.
Parabol $(P):y = 3x^{2} - 2x + 1$ có đỉnh I là:
-
A.
$I\left( {- \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
-
B.
$I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
-
C.
$I\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.
-
D.
$I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{2}} \right)$.
-
A.
$x \in \left( {- \infty\,;\, 0} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.
-
B.
$x \in \left( {0\,;\, 2} \right)$.
-
C.
$x \in \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.
-
D.
$x \in {\mathbb{R}}$.
Bảng xét dấu nào dưới đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x) = - x^{2} + 3x + 4$?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} - 5x + 6 \geq 0$ là
-
A.
$S = \left( {- \,\infty; - 6} \right\rbrack.$
-
B.
$S = \left\lbrack {1; + \,\infty} \right).$
-
C.
$S = \left\lbrack {- 6;1} \right\rbrack.$
-
D.
$S = \left( {- \,\infty; - 6} \right\rbrack \cup \left\lbrack {1; + \,\infty} \right).$
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 - x} = \sqrt{x + 1}$ là
-
A.
S = {2}.
-
B.
S = {3}.
-
C.
S = {1}.
-
D.
S = {-1}.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta:4x - 7y + 1 = 0$ có tọa độ là:
-
A.
$\overset{\rightarrow}{n} = ( - 7;4)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{n} = (4; - 7)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{n} = (7;4)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{n} = (4;7)$.
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( {- 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}\left( {3; - 4} \right)$ là
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 - 4t} \end{array} \right.$.
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 + 4t} \end{array} \right.$.
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 4t} \\ {y = 6 - 3t} \end{array} \right.$.
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 4t} \\ {y = 3 + 3t} \end{array} \right.$.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.
-
A.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Song song với nhau.
-
D.
Cắt nhau và vuông góc.
Trong mặt phẳng $Oxy,$ khoảng cách từ điểm $M\left( {- 2;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta:3x - 4y - 10 = 0$ là
-
A.
$5.$
-
B.
$2.$
-
C.
$3.$
-
D.
$4.$
Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^{2} + bx + c$ ở hình vẽ sau:
Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi $x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$.
d) Hệ số a > 0.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 - 3t} \\ {y = 5 + 4t} \end{array} \right.$. Khi đó:
a) Phương trình tổng quát của $\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.
b) $\Delta$ cắt d.
c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và d là $\alpha$. Ta có $50^{o} < \alpha < 70^{o}$.
d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\dfrac{1}{5}$.
Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{CE}{BD} = \frac{5}{3}$. Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $\Delta : x - 3y = 0$. Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?
Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\begin{cases} x = 3 - 33t \\ y = -4 + 25t \end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?
Lời giải và đáp án
Cho hàm số $f(x) = \sqrt{5x + 1}$. Giá trị f(3) bằng:
-
A.
4.
-
B.
Không xác định.
-
C.
16.
-
D.
3.
Đáp án : A
Thay x = 3 vào công thức hàm số.
\(f(3) = \sqrt {5.3 + 1} = 4\).
Hàm số $y = 3x^{2} + x - 4$ có tập xác định là:
-
A.
$\text{D} = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ 3 \right\}.$
-
B.
$\text{D} = \left\lbrack {1; + \infty} \right).$
-
C.
$\text{D} = {\mathbb{R}}.$
-
D.
$\text{D} = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ 1 \right\}.$
Đáp án : C
Hàm đa thức có tập xác định là \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Hàm số \(y = 3{x^2} + x - 4\) có tập xác định là \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
-
A.
$y = \left( {x^{2} - 4x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.
-
B.
$y = \dfrac{2x}{x + 2}$.
-
C.
$y = - 2x^{2} + 3x + 1$.
-
D.
$y = 3x + 5$.
Đáp án : C
Hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2+bx+c$.
$y = - 2x^{2} + 3x + 1$ là hàm số bậc hai.
Parabol $(P):y = 3x^{2} - 2x + 1$ có đỉnh I là:
-
A.
$I\left( {- \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
-
B.
$I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
-
C.
$I\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.
-
D.
$I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Đáp án : B
Tọa độ đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)\).
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {y_I} = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
-
A.
$x \in \left( {- \infty\,;\, 0} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.
-
B.
$x \in \left( {0\,;\, 2} \right)$.
-
C.
$x \in \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.
-
D.
$x \in {\mathbb{R}}$.
Đáp án : A
Quan sát đồ thị.
Nghiệm của bất phương trình $f(x) > 0$ là là các giá trị của x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Do đó nghiệm là $x \in \left( {- \infty\,;\, 0} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.
Bảng xét dấu nào dưới đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x) = - x^{2} + 3x + 4$?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai f(x) có nghiệm x = -1 và x = 4.
Hệ số của \({x^2}\) là -1 < 0 nên tam thức mang dấu âm ngoài khoảng (1; 4), mang dấu dương trong khoảng (1; 4).
Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} - 5x + 6 \geq 0$ là
-
A.
$S = \left( {- \,\infty; - 6} \right\rbrack.$
-
B.
$S = \left\lbrack {1; + \,\infty} \right).$
-
C.
$S = \left\lbrack {- 6;1} \right\rbrack.$
-
D.
$S = \left( {- \,\infty; - 6} \right\rbrack \cup \left\lbrack {1; + \,\infty} \right).$
Đáp án : C
Áp dụng quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.
\( - {x^2} - 5x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 1\).
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 - x} = \sqrt{x + 1}$ là
-
A.
S = {2}.
-
B.
S = {3}.
-
C.
S = {1}.
-
D.
S = {-1}.
Đáp án : C
Tìm ĐKXĐ của hàm số và bình phương hai vế để giải.
\(\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\3 - x = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta:4x - 7y + 1 = 0$ có tọa độ là:
-
A.
$\overset{\rightarrow}{n} = ( - 7;4)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{n} = (4; - 7)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{n} = (7;4)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{n} = (4;7)$.
Đáp án : B
Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (a;b)\).
Vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = (4; - 7)\).
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( {- 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}\left( {3; - 4} \right)$ là
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 - 4t} \end{array} \right.$.
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 + 4t} \end{array} \right.$.
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 4t} \\ {y = 6 - 3t} \end{array} \right.$.
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 4t} \\ {y = 3 + 3t} \end{array} \right.$.
Đáp án : A
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), nhận \(\overrightarrow u = (a;b)\) làm vecto chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( {- 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}\left( {3; - 4} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 - 4t} \end{array} \right.$.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.
-
A.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Song song với nhau.
-
D.
Cắt nhau và vuông góc.
Đáp án : C
Xét tỉ lệ các hệ số tương ứng của phương trình đường thẳng.
Ta có \(\frac{3}{1} = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 9}}{3}\) nên d và d’ song song với nhau.
Trong mặt phẳng $Oxy,$ khoảng cách từ điểm $M\left( {- 2;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta:3x - 4y - 10 = 0$ là
-
A.
$5.$
-
B.
$2.$
-
C.
$3.$
-
D.
$4.$
Đáp án : D
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm \(M({x_M};{y_M})\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\):
\(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {3.( - 2) - 4.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 4\).
Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^{2} + bx + c$ ở hình vẽ sau:
Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi $x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$.
d) Hệ số a > 0.
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi $x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$.
d) Hệ số a > 0.
Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.
a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Đúng. Khi $x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty)$ thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.
c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;2)$; đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$.
d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 - 3t} \\ {y = 5 + 4t} \end{array} \right.$. Khi đó:
a) Phương trình tổng quát của $\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.
b) $\Delta$ cắt d.
c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và d là $\alpha$. Ta có $50^{o} < \alpha < 70^{o}$.
d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\dfrac{1}{5}$.
a) Phương trình tổng quát của $\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.
b) $\Delta$ cắt d.
c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và d là $\alpha$. Ta có $50^{o} < \alpha < 70^{o}$.
d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\dfrac{1}{5}$.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong mặt phẳng.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = ( - 5; - 2)\) là một VTCP của \(\Delta \), từ đó ta có một VTPT của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = (2; - 5)\).
\(\Delta \): \(2(x - 5) - 5(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y - 10 = 0\).
b) Đúng. d có một VTCP là \(\overrightarrow u = ( - 3;4)\), từ đó suy ra một VTPT của d là \(\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = (2; - 5)\) và \(\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)\) không cùng phương nên \(\Delta \) và d cắt nhau.
c) Sai. \(\cos \alpha = \frac{{\left| {2.4 - 5.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 5)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{5\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha \approx {75^o} > {70^o}\).
d) Đúng. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
\(4(x - 1) + 3(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 19 = 0\).
\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.5 + 3.0 - 19} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\).
Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục tọa độ cho cổng parabol, lập phương trình parabol thể hiện cổng, từ đó tính chiều cao cổng.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Tọa độ các điểm lần lượt là: B(– 4,5; 0); C(4,5; 0).
Vì BK = 0,5 m nên OK = 4,5 – 0,5 = 4 m. Do đó M(4; 1,6).
Cổng có hình parabol nên gọi phương trình hàm số là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a ≠ 0) (1).
Điểm B thuộc parabol nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:
\(a{( - 4,5)^2} + b( - 4,5) + c = 0 \Leftrightarrow 20,25a - 4,5b + c = 0\) (2).
Điểm C thuộc parabol nên thay tọa độ điểm C vào (1) ta được:
\(a{( 4,5)^2} + b( 4,5) + c = 0 \Leftrightarrow 20,25a + 4,5b + c = 0\) (3).
Điểm M thuộc parabol nên thay tọa độ điểm M vào (1) ta được:
\(1,6 = a{.4^2} + b.4 + c \Leftrightarrow 16a + 4b + c = 0\) (4).
Từ (2), (3) và (4) ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20,25 - 4,5b + c = 0}\\{20,25 + 4,5b + c = 0}\\{16a + 4b + c = 1,6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{{32}}{{85}}}\\{b = 0}\\{c = \frac{{648}}{{85}}}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra parabol cần tìm là \(y = \frac{{ - 32}}{{85}}{x^2} + \frac{{648}}{{85}}\).
Điểm N là điểm đỉnh của parabol thuộc vào trục tung Oy nên hoành độ điểm N bằng 0.
Thay x = 0 vào hàm số ta được \(y = \frac{{648}}{{85}}\), đó cũng chính là chiều cao của cổng.
Vậy chiều cao của cổng khoảng 7,6 m.
Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{CE}{BD} = \frac{5}{3}$. Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?
Áp dụng định lí Thales, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tính.
Đặt AB = x > 0. Xét tam giác ABC vuông tại B có:
$AC = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}$.
Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CE}{BD} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{x} = \frac{5}{3}$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x^2 + 16} = 5x$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 5x \geq 0 \\ 9(x^2 + 16) = 25x^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 16x^2 = 144 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x = 3$.
Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $\Delta : x - 3y = 0$. Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?
Biểu diễn tọa độ điểm I, $\vec{IA}$, $\vec{IA}$ theo t. Vì ABCD là hình thoi nên $\vec{IA}.\vec{IB} = 0$, tìm t và kết luận tọa độ điểm C.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Vì I thuộc $\Delta$ nên giả sử I(3t; t).
Khi đó IA = (-3t; 2 - t), IB = (4 - 3t; 3 - t).
Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{IA} . \overrightarrow{IB} = 0$
$\Leftrightarrow (-3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0$
$\Leftrightarrow 10t^2 - 17t + 6 = 0$.
Suy ra $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = \frac{6}{5}$.
Với $t = \frac{1}{2}$ ta có:
$I\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right) \Rightarrow C(3; -1)$ (nhận).
Với $t = \frac{6}{5}$ ta có:
$I\left(\frac{18}{5}; \frac{6}{5}\right) \Rightarrow C\left(\frac{36}{5}; \frac{2}{5}\right)$ (loại).
Vậy có 1 điểm C có tọa độ nguyên.
Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\begin{cases} x = 3 - 33t \\ y = -4 + 25t \end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?
Biểu diễn vị trí tàu B và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.
Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ P(3; -4); vị trí tàu B ứng với thời gian t là Q(4 - 30t; 3 - 40t).
$PQ = \sqrt{(1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2} $
$= \sqrt{2500t^2 - 620t + 50}$.
Đoạn PQ ngắn nhất ứng với:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{620}{2 . 2500} = -\frac{31}{500} = 0,124$ (giờ).
$PQ_{\text{min}} = \sqrt{2500 . (0,124)^2 - 620 . (0,124) + 50}$
$= \frac{17}{5} = 3,4$ (km).
Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.
Ta có $\Delta = 0$, nghiệm kép $x_{0} = \dfrac{3}{2}$ và hệ số a = 2 > 0 nên $2x^{2} - 6x + \dfrac{9}{2} > 0$ $\forall x \in {\mathbb{R}}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\}$.
Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.
YCĐB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 3)^2} - 9\\a = - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6\).
Nếu \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm đoạn thẳng AB thì \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow n = (a;b)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\).
I là trung điểm MN $\Rightarrow I(1;1)$.
Phương trình đường trung trực của đoạn $MN$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{MN} = (6;-4)$ là vectơ pháp tuyến có dạng:
$6(x-1) - 4(y-1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$.
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 6
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 5
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 4
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {x - 2} ,\,\,khi\,\,x \ge 2\\1 - 3x,\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Tập xác định của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1}\) là:
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Danh sách bình luận