30 bài tập vận dụng về Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Phần 2)

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Các số x, y thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và \(x - y = 2\) là:

  • A \(x = 6\,;\,y = 8\)          
  • B \(x =  - 6\,;\,y =  - 8\)
  • C \(x = 3\,;\,y = 4\)
  • D \(x =  - 3\,;\,y =  - 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x - y}}{{a - b}}.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x - y}}{{3 - 4}} = \frac{2}{{ - 1}} =  - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2.3 =  - 6\\y =  - 2.4 =  - 8\end{array} \right..\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 a) Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1 và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) (các tỉ số đều có nghĩa). Chứng minh x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2.

 b) (Dành riêng cho lớp 7A)

Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 4 cm và \(\widehat{ABC}\) = 600. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BA. Tính diện tích tứ giác ACED.

  • A b) \(8\sqrt{5}\ c{{m}^{2}}\)
  • B b) \(5\sqrt{3}\ c{{m}^{2}}\)
  • C b) \(8\sqrt{3}\ c{{m}^{2}}\)
  • D b) \(8\sqrt{2}\ c{{m}^{2}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi biểu thức để chứng minh.

b) Tìm mối liên hệ về diện tích của tứ giác ACED với các tam giác con của tứ giác.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, tính AH, từ đó tính diện tích tứ giác ACED.

Lời giải chi tiết:

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

   \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\) (Theo giả thiết a + b + c = 1)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\)  (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

            \({{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{1}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\)(Theo giả thiết \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\))         (2)

Từ (1) và (2) ta có: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right)\)

b)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EB\text{D}\) ta có:

AB = EB (theo gt)

BD = BC (theo gt)

\(\angle ABC=\angle EB\text{D}\) (cặp góc đối đỉnh bằng nhau)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta EB\text{D}\left( c-g-c \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AB\text{D}=\Delta EBC\ \left( c-g-c \right)\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta AB\text{D}}}={{S}_{\Delta EB\text{D}}}+{{S}_{\Delta EBC}}\) \(\Rightarrow {{S}_{\Delta E\text{D}C}}={{S}_{\Delta AC\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{AC\text{ED}}}\)

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD (\(H\in DC\))

Xét tam giác vuông AHB ta có:

            \(\angle BAH+\angle ABH={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH+{{60}^{0}}={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH={{30}^{0}}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2=1\ cm\) (Tam giác vuông có một góc bằng 300 thì cạnh đối diện góc đó bằng nửa cạnh huyền)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}+{{1}^{2}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=4-1=3\Leftrightarrow AH=\sqrt{3}\ cm\)

Vậy diện tích tứ giác ACED là: \({{S}_{AC\text{ED}}}=2.{{S}_{\Delta AC\text{D}}}=2.\frac{1}{2}.AH.DC=AH.2BC=\sqrt{3}.2.4=8\sqrt{3}\ c{{m}^{2}}\)

Chọn C

.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Tìm \(x,\,y,\,z\) biết:

Câu 1: \(\,\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\) và \(x - y = 2\)

  • A \(x  = 8; y =- 6\)
  • B \(x  = -8; y = 6\)
  • C \(x  = 8; y = 6\)
  • D \(x  = 4; y = 6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cho một dãy các tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}} = ...\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lời giải chi tiết:

\(\,\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\) và \(x - y = 2\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

 \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{{x - y}}{{4 - 3}} = x - y = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2.4 = 8\\y = 2.3 = 6\end{array} \right.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \(\,\frac{x}{2} = \frac{y}{3};\,\frac{y}{4} = \frac{z}{7}\) và \(2x - y + z = 50\)

  • A  \(x = 16;\,\,\,y = 24;\,\,\,\,z = 42\)
  • B  \(x = 7;\,\,\,y = 34;\,\,\,\,z = 42\)
  • C  \(x = -16;\,\,\,y = 24;\,\,\,\,z = -42\)
  • D  \(x = 16;\,\,\,y = 24;\,\,\,\,z =- 42\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cho một dãy các tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}} = ...\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lời giải chi tiết:

\(\,\frac{x}{2} = \frac{y}{3};\,\frac{y}{4} = \frac{z}{7}\) và \(2x - y + z = 50\)

Ta có: \(\begin{array}{l}\,\frac{x}{2} = \frac{y}{3};\,\,\,\,\,\frac{y}{4} = \frac{z}{7}\\ \Rightarrow \frac{x}{8} = \frac{y}{{12}};\,\,\,\,\frac{y}{{12}} = \frac{z}{{21}} \Rightarrow \frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{21}}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{21}} = \frac{{2.x - y + z}}{{2.8 - 12 + 21}} = \frac{{50}}{{25}} = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8.2 = 16\\y = 12.2 = 24\\z = 21.2 = 42\end{array} \right.\)

Vậy: \(x = 16;\,\,\,y = 24;\,\,\,\,z = 42\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu 3: \(\,\frac{{2x - 3}}{5} = \frac{{3y + 2}}{7} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \(4x - 6y + 7z = 68\)

  • A  \(x = 9;\,\,y = \frac{{-19}}{3};\,\,z = 10\)
  • B  \(x = 9;\,\,y = \frac{{19}}{3};\,\,z =- 10\)
  • C  \(x =- 9;\,\,y = \frac{{19}}{3};\,\,z = 10\)
  • D  \(x = 9;\,\,y = \frac{{19}}{3};\,\,z = 10\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cho một dãy các tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) Ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}} = ...\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}3)\,\frac{{2x - 3}}{5} = \frac{{3y + 2}}{7} = \frac{{z - 1}}{3} = \frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{2.5}} = \frac{{2\left( {3y + 2} \right)}}{{2.7}} = \frac{{7\left( {z - 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{4x - 6}}{{10}} = \frac{{6y + 4}}{{14}} = \frac{{7z - 7}}{{21}} = \frac{{\left( {4x - 6} \right) - \left( {6y + 4} \right) + \left( {7z - 7} \right)}}{{10 - 14 + 21}} = \frac{{\left( {4x - 6y + 7z} \right) - 17}}{{17}} = \frac{{68 - 17}}{{17}} = 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 3.5\\3y + 2 = 3.7\\z - 1 = 3.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = \frac{{19}}{3}\\z = 10\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 9;\,\,y = \frac{{19}}{3};\,\,z = 10\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Biết rằng \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{4}{7}\) và \(7y = 4z.\) Tìm tỉ số \(\frac{x}{t}\)

  • A \(\frac{x}{t} = \frac{5}{7}\)
  • B \(\frac{x}{t} = \frac{3}{7}\)
  • C \(\frac{x}{t} = \frac{4}{7}\)
  • D \(\frac{x}{t} = \frac{-4}{7}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm tỉ số giữa y và z, rồi sai đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm tỉ số của x và t.

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(7y = 4z\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{4}{7}\) Và  \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{4}{7}\)   \( \Rightarrow \frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{y}{z} = \frac{4}{7}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{y}{z} = \frac{4}{7} = \frac{{x + y - y}}{{t + z - z}} = \frac{x}{t}\)

Vậy \(\frac{x}{t} = \frac{4}{7}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Giải các bài toán sau:

Câu 1:

Tìm \(x\) biết: \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x = 2\).                                               

  • A \(x=\frac{-2}{5}\)
  • B \(x=\frac{2}{5}\)
  • C \(x=\frac{-1}{5}\)
  • D \(x=\frac{1}{5}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4}:x = 2 - \frac{3}{4}\\\frac{1}{4}:x = \frac{5}{4}\\x = \frac{1}{4}:\frac{5}{4}\\x = \frac{1}{5}\end{array}\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tìm \(x,y\) biết: \(3x = 2y\)và \(x - 2y = 8\)

  • A \(x =  - 4,y =  - 6\).
  • B \(x =  - 3,y =  - 7\).
  • C \(x =  - 2,y =  - 5\).
  • D \(x =  - 4,y =  - 1\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{{ma \pm nb}}{{mx \pm ny}}\)

Lời giải chi tiết:

\(3x = 2y \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{x - 2y}}{{2 - 2.3}} = \frac{8}{{ - 4}} =  - 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x}{2} =  - 2 \Rightarrow x = \left( { - 2} \right).2 =  - 4\\\frac{y}{3} =  - 2 \Rightarrow y = \left( { - 2} \right).3 =  - 6\end{array}\)

Vậy \(x =  - 4,y =  - 6\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tìm \(x\) và \(y\) biết: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\) và \(x + 2y = 57\) .

  • A \(x = -15\) và \(y = 21\).
  • B \(x = 15\) và \(y = 21\).
  • C \(x = -15\) và \(y = -21\).
  • D \(x = 15\) và \(y = -21\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c - e}}{{b + d - f}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\) và \(x + 2y = 57\)

Ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{x}{5} = \frac{{2y}}{{14}}\,\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\,\frac{x}{5} = \frac{{2y}}{{14}}\, = \frac{{x + 2y}}{{5 + 14}} = \frac{{57}}{{19}} = 3\\\frac{x}{5} = 3\,\, \Rightarrow x = 3.5 = 15\\\frac{{2y}}{{14}} = 3\,\,\, \Rightarrow 2y = 42 \Rightarrow y = 42:2 \Rightarrow y = 21\end{array}\)

Vậy \(x = 15\) và \(y = 21\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}} \cdot \)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Phương pháp giải:

a) Áp dụng kiến thức : Nếu \(ad = bc\) và \(a,b,c,d \ne 0\) thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}.\)

b) Áp dụng tính chất : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và chứng minh.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Lời giải chi tiết:

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

Ta lập được các tỉ lệ thức sau :

\(\frac{{13}}{9} = \frac{{26}}{{18}};\frac{{18}}{9} = \frac{{26}}{{13}};\frac{{13}}{{26}} = \frac{9}{{18}};\frac{9}{{13}} = \frac{{18}}{{26}}\)

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}} \cdot \)

Ta có : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Cộng hai vế với \(ac\) ta được: \(ac + ad = ac + bc\) \( \Leftrightarrow a\left( {c + d} \right) = c\left( {a + b} \right)\) hay \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}.\)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}}\)

Mà \(x - 2y + 3z =  - 33\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{3 - 10 + 18}} = \frac{{ - 33}}{{11}} =  - 3\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3} =  - 3 \Rightarrow x =  - 3.3 =  - 9\\\frac{y}{5} =  - 3 \Rightarrow y =  - 3.5 =  - 15\\\frac{z}{6} =  - 3 \Rightarrow z =  - 3.6 =  - 18\end{array} \right.\)

Vậy giá trị của \(x,y,z\) cần tìm lần lượt là \( - 9, - 15, - 18.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho \(2a = 3b,5b = 7c\) và \(3a + 5c - 7b = 30\). Khi đó \(a + b - c\) bằng

  • A \(50\)                    
  • B \(70\)                       
  • C \(40\)                    
  • D \(30\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi đưa về \(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(2a = 3b \Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Rightarrow \frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{7}\))

Và \(5b = 7c \Rightarrow \frac{b}{7} = \frac{c}{5}\) \( \Rightarrow \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{2}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)\( = \frac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \frac{{30}}{{15}} = 2\)

Do đó \(\frac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42\); \(\frac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28\) và \(\frac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20\)

Khi đó \(a + b - c = 42 + 28 - 20 = 50.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tìm \(x;y\) biết \(\frac{x}{y} = \frac{7}{3}\) và \(5x - 2y = 87\).

  • A \(x = 9;y = 21\)              
  • B \(x = 21;y = 9\)            
  • C \(x = 21;y =  - 9\)       
  • D \(x =  - 21;y =  - 9\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{7}{3}\)\( \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{5x - 2y}}{{5.7 - 2.3}} = \frac{{87}}{{29}} = 3\)

Do đó \(\frac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 21\) và \(\frac{y}{3} = 3 \Rightarrow y = 9\)

Vậy \(x = 21;y = 9.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho \(\frac{{3z - 4y}}{5} = \frac{{5y - 3x}}{4} = \frac{{4x - 5z}}{3}\) và \({x^2} - {z^2} = 36\). Hãy tìm \(x,y,z\).

  • A \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;8} \right),\left( { - 10; - 6; - 8} \right)} \right\}\).
  • B \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {12;6;8} \right),\left( { - 12; - 6; - 8} \right)} \right\}\).
  • C \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;9;8} \right),\left( { - 10; - 9; - 8} \right)} \right\}\).
  • D \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;5} \right),\left( { - 10; - 6; - 5} \right)} \right\}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đầu tiên với \(5\), phân thức thứ hai với \(4\) và phân thức thứ ba với \(3\).

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra dãy tỉ số mới.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\frac{{3z - 4y}}{5} = \frac{{5y - 3x}}{4} = \frac{{4x - 5z}}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{5\left( {3z - 4y} \right)}}{{5.5}} = \frac{{4.\left( {5y - 3x} \right)}}{{4.4}} = \frac{{3\left( {4x - 5z} \right)}}{{3.3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{15z - 20y}}{{25}} = \frac{{20y - 12x}}{{16}} = \frac{{12x - 15z}}{9}\)

\( = \frac{{15z - 20y + 20y - 12x + 12x - 15z}}{{25 + 16 + 9}}\) \( = 0\)

Suy ra  \(15z - 20y = 0 \Rightarrow 15z = 20y\) \( \Rightarrow \frac{z}{4} = \frac{y}{3}\)

\(20y - 12x = 0\) \( \Rightarrow 20y = 12x \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x}{5}\)

Suy ra \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Mà \({x^2} - {z^2} = 36\) nên \({\left( {5k} \right)^2} - {\left( {4k} \right)^2} = 36\)

\(\begin{array}{l}25{k^2} - 16{k^2} = 36\\9{k^2} = 36\\{k^2} = 4\\k =  \pm 2\end{array}\)

Nếu \(k = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.2 = 10\\y = 3.2 = 6\\z = 4.2 = 8\end{array} \right.\)

Nếu \(k =  - 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.\left( { - 2} \right) =  - 10\\y = 3.\left( { - 2} \right) =  - 6\\z = 4.\left( { - 2} \right) =  - 8\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;8} \right),\left( { - 10; - 6; - 8} \right)} \right\}\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tìm các số x, y biết

a)  2x = 3y và x – 5y = 2,1                  

b)  \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{{12}}\) và \(-3x + 10y -2z = 236.\)

c)  \(\frac{x}{{ - 3}} = \frac{y}{7};\frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{5}\) và \(-2x – 4y + 5z = 146.\)

  • A a) x = 0,9; y = 0,6

    b) x = -16; y = 14; z = -24

    c) x = 4; y = -28/3; z = 70/3

  • B a) x = 0; y = 0,6

    b) x = -16; y = 14; z = -2

    c) x = 4; y = -28/3; z = 70/3

  • C a) x = 0,9; y = 0,6

    b) x = -16; y = 14; z = -24

    c) x = 4; y = -28/5; z = 70/5

  • D a) x = 0,9; y = 0,5

    b) x = -16; y = 14; z = -25

    c) x = 4; y = -28/3; z = 70/3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) 2x = 3y và x – 5y = 2,1

\(\; \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và x – 5y = 2,1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\;\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x - 5y}}{{3 - 2.5}} = \frac{{2,1}}{7} = 0,3\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = 0,3 \Rightarrow x = 0,3.3 = 0,9\\\frac{y}{2} = 0,3 \Rightarrow y = 0,3.2 = 0,6\end{array}\)

Vậy x = 0,9; y = 0,6

 b)  \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{{12}}\) và \(-3x + 10y -2z = 236.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{{12}} = \frac{{ - 3x + 10y - 2z}}{{ - 3.8 + 10.( - 7) - 2.12}} = \frac{{236}}{{ - 118}} =  - 2\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{8} =  - 2 \Rightarrow x =  - 2.8 =  - 16\\\frac{y}{{ - 7}} =  - 2\Rightarrow y =  - 2.( - 7) = 14\\\frac{z}{{12}} =  - 2 \Rightarrow z =  - 2.12 =  - 24\end{array}\)

Vậy x = -16; y = 14; z = -24

c) \(\frac{x}{{ - 3}} = \frac{y}{7};\frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{5}\)  và \(-2x – 4y + 5z = 146\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}};\frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}} \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}} = \frac{{ - 2x - 4y + 5z}}{{ - 2.6 - 4.( - 14) + 5.35}} = \frac{{146}}{{219}} = \frac{2}{3}\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}.6 = 4\\\frac{y}{{ - 14}} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}.( - 14) = \frac{{ - 28}}{3}\\\frac{z}{{35}} =\frac{2}{3} \Rightarrow z = \frac{2}{3}.35 = \frac{{70}}{3}\end{array}\)

Vậy x = 4; y = -28/3; z = 70/3.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho \(\frac{{4x - 3y}}{5} = \frac{{5y - 4z}}{3} = \frac{{3z - 5x}}{4}\) và \(x - y + z = 2020.\) Tìm \(x,y,z.\)

  • A \(x = 1515,y = 2020,\) \(z = 2524.\)
  • B \(x = 1515,y = 2022,\) \(z = 2525.\)
  • C \(x = 1615,y = 2020,\) \(z = 2525.\)
  • D \(x = 1515,y = 2020,\) \(z = 2525.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\frac{{4x - 3y}}{5} = \frac{{5y - 4z}}{3} = \frac{{3z - 5x}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{5\left( {4x - 3y} \right)}}{{5.5}} = \frac{{3\left( {5y - 4z} \right)}}{{3.3}}\) \( = \frac{{4\left( {3z - 5x} \right)}}{{4.4}}\)

\( \Rightarrow \frac{{20x - 15y}}{{25}} = \frac{{15y - 12z}}{9}\) \( = \frac{{12z - 20x}}{{16}}\)

\( = \frac{{20x - 15y + 15y - 12z + 12z - 20x}}{{25 + 9 + 16}}\) \( = 0\)

Suy ra  \(20x - 15y = 0 \Rightarrow 20x = 15y\) \( \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4}\)

\(15y - 12z = 0\) \( \Rightarrow 15y = 12z\)\( \Rightarrow \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\)

Suy ra \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) \( = \frac{{x - y + z}}{{3 - 4 + 5}}\) \( = \frac{{2020}}{4} = 505\)

Suy ra \(x = 505.3 = 1515\)

\(y = 505.4 = 2020\)

\(z = 505.5 = 2525\)

Vậy \(x = 1515,y = 2020,\) \(z = 2525.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Sàn nhà của bác An là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh tỉ lệ với 3; 4 và chu vi là \(28\) mét.

Câu 1:

Tìm chiều dài hai cạnh của sàn nhà bác An.

  • A chiều rộng \(5m\) và chiều dài \(8m\).
  • B chiều rộng \(6m\) và chiều dài \(9m\).
  • C chiều rộng \(6m\) và chiều dài \(8m\).
  • D chiều rộng \(7m\) và chiều dài \(8m\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng là \(x,y\).

Lập luận thiết lập mối quan hệ của \(x,y\) dựa vào điều kiện bài cho.

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\).

Lời giải chi tiết:

Tìm chiều dài hai cạnh của sàn nhà bác An.

Gọi chiều dài, chiều rộng sàn nhà lần lượt là \(x,y\) \(\left( {x > y > 0} \right)\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là: \(28:2 = 14\left( m \right)\).

Do đó \(x + y = 14\).

Vì hai cạnh tỉ lệ với \(3;4\) nên \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\) (do \(x > y\))

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{{4 + 3}} = \frac{{14}}{7} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = 4.2 = 8\left( m \right)\\y = 3.2 = 6\left( m \right)\end{array}\)

Vậy chiều rộng sàn nhà là \(6m\) và chiều dài sàn nhà là \(8m\).

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Bác An dự định mua gạch men để lát lại sàn nhà. Của hàng báo giá mỗi mét vuông gạch là 300.000 đồng. Em hãy tính xem số tiền phải trả để mua gạch men là bao nhiêu?

  • A \(12400000\) đồng 
  • B \(14400000\) đồng 
  • C \(13400000\) đồng 
  • D \(15400000\) đồng 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính diện tích mặt sàn, từ đó suy ra số tiền cần trả.

Lời giải chi tiết:

Bác An dự định mua gạch men để lát lại sàn nhà. Của hàng báo giá mỗi mét vuông gạch là 300.000 đồng. Em hãy tính xem số tiền phải trả để mua gạch men là bao nhiêu?

Diện tích sàn nhà là: \(6.8 = 48\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền phải trả là: \(48.300000 = 14400000\) (đồng)

Vậy bác An phải trả \(14400000\) đồng mua gạch men.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Chọn câu đúng. Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)thì:

  • A \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c + 3d}}\)             
  • B \(\frac{{5a - 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)           
  • C \(\frac{{5a - 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\) 
  • D \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)\( \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Mặt khác \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\)

Từ \(\frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}} \Rightarrow \frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Có bao nhiêu bộ số \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\) và \({x^2} - {y^2} = 9\).

  • A \(2\)                     
  • B \(3\)                         
  • C \(4\)                            
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Ta có \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \frac{9}{9} = 1\)

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow \) \(x = 5\) hoặc \(x =  - 5\)

\(\frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow \) \(y = 4\) hoặc \(y =  - 4\)

Lại có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\) nên \(x,y\) cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là \(x = 5;y = 4\) hoặc \(x =  - 5;y =  - 4.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a};\,a + b + c \ne 0\) và \(a = 2018\). Tính \(b,c\).

  • A \(b = c = 2018\)        
  • B \(b = c = 1009\)             
  • C \(b = c = 4036\)     
  • D \(b = 2019;\,c = 2018\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\)

Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)

Vậy \(b = c = 2018.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm các số \(x;y;z\) biết \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 5}}{6}\) (1) và \(5z - 3x - 4y = 50\).

  • A \(x = 5;y = 5;z = 12\)
  • B \(x = 5;y = 10;z = 17\)    
  • C \(x = 5;y = 5;z = 17\)       
  • D \(x = 17;y = 5;z = 5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của (1) lần lượt với \( - 3; - 4;5\) ta được:

\(\frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \frac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \frac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \frac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \frac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)\( = \frac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}\) \( = \frac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \frac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}\)

\( = \frac{{50 - 34}}{8} = \frac{{16}}{8} = 2\)

Do đó \(\frac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\(\frac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5\)

\(\frac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17\)

Vậy \(x = 5;y = 5;z = 17.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5}\) và \(xy = 10\). Tính \(x - y\) biết \(x > 0;y > 0.\)

  • A \( - 3\)                     
  • B \(3\)                           
  • C \(8\)                
  • D \( - 8\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm hai số \(x;\,y\) biết \(x.y = P\) và \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\) 

Đặt \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)

Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \Rightarrow {k^2} = \frac{P}{{ab}}\)

Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = k\)ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k =  - 1\) thì \(x =  - 2;y =  - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(x - y = 2 - 5 =  - 3.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho \(x;y;z\) là ba số dương phân biệt. Tìm tỉ số \(\frac{x}{y}\) biết \(\frac{y}{{x - z}} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{x}{y}\) .

  • A \(\frac{x}{y} = 2\)       
  • B \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\)                  
  • C \(\frac{x}{y} = 4\)     
  • D \(\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhua ta được

\(\frac{y}{{x - z}} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{x}{y}\)\( = \frac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \frac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2\) .

Vậy \(\frac{x}{y} = 2.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\). Mối quan hệ giữa  a, b, c

  • A \(a=b=c\) 
  • B \(a > b = c\)
  • C \(a < b = c\)
  • D \(a<b<c\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ta lập luận để chỉ ra rằng \(a+b+c\ne 0\). Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}\) để chứng minh \(a=b=c\). 

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Nếu \(a+b+c=0\) thì \(\frac{a}{b}=\frac{-b-c}{b}=-1-\frac{c}{b}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=-1\) .

Suy ra \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=-1\) nên \({{\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}+2=1\Rightarrow \frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}=-1\) (vô lý)

Vậy \(a+b+c\ne 0\) .

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

Do đó: \(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\);\(\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\);\(\frac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\)

Do đó \(a=b=c\) 

chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho các số \(a,\ b,\ c>0\)  và \(\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}.\) Tính giá trị biểu thức \(M=10\text{a}+b-7c+2017.\)

  • A M = 2017.
  • B M = 2018
  • C M = 2019
  • D M = 2020

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tư duy logic để biến đổi biểu thức tìm giá trị biểu thức M.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{c+a}{5}=\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}=\frac{c+a-b-c+a+b}{5-4+3}=\frac{2\text{a}}{4}=\frac{a}{2}\)   (1)

Từ (1) ta có: \(\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow 3b+3c=4\text{a}+4b\Leftrightarrow b=3c-4\text{a}\) (2)

Thế (2) vào biểu thức M, ta có: M = 10a + 3c – 4a – 7c + 2017 = 6a – 4c + 2017   (3)

Từ (1) ta lại có: \(\frac{c+a}{5}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow 2c+2\text{a}=5\text{a}\Leftrightarrow 2c=3\text{a}\Leftrightarrow 4c=6\text{a}\ \ (4)\)

Thế (4) vào (3) ta có: M = 6a – 6a + 2017 = 2017

Vậy M = 2017.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho \(\frac{{2{\rm{x}} - 4y}}{3} = \frac{{4{\rm{z}} - 3{\rm{x}}}}{2} = \frac{{3y - 2{\rm{z}}}}{4}\). Tìm x, y, z biết \(2{\rm{x}} - y + z = 27\).

  • A \(x = 12;\,\,y = 9;\,\,z = 6\)
  • B \(x = 4;\,\,y = 3;\,\,z = 2\)
  • C \(x = 4;\,\,y = 2;\,\,z = 3\)
  • D \(x = 12;\,\,y = 6;\,\,z = 9\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức phù hợp, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm ra kết quả.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\frac{{2{\rm{x}} - 4y}}{3} = \frac{{4{\rm{z}} - 3{\rm{x}}}}{2} = \frac{{3y - 2{\rm{z}}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{(2{\rm{x}} - 4y).3}}{{3.3}} = \frac{{(4{\rm{z}} - 3{\rm{x}}).2}}{{2.2}} = \frac{{(3y - 2{\rm{z)}}{\rm{.4}}}}{{4.4}}\\ \Leftrightarrow \frac{{6{\rm{x}} - 12y}}{9} = \frac{{8{\rm{z}} - 6{\rm{x}}}}{4} = \frac{{12y - 8{\rm{z}}}}{{16}} = \frac{{6{\rm{x}} - 12y + 8{\rm{z}} - 6{\rm{x}} + 12y - 8{\rm{z}}}}{{9 + 4 + 16}} = \frac{0}{{29}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{\rm{x}} - 12y = 0\\8{\rm{z}} - 6{\rm{x}} = 0\\12y - 8z = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = 4y\\4{\rm{z}} = 3{\rm{x}}\\{\rm{3y}}\;{\rm{ = }}\;{\rm{2z}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{4} = \frac{y}{2}\\\frac{z}{3} = \frac{x}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 2}} = \frac{z}{3} = \frac{{2{\rm{x}} - y + z}}{{8 - 2 + 3}} = \frac{{27}}{9} = 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3.4 = 12\\y = 2.3 = 6\\z = 3.3 = 9\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x = 12;\;y = 6;\;z = 9.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Tìm \(x,y,z\) biết rằng: \(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\)

  • A \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,0;\,0} \right);\,\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2};\,\frac{{ - 1}}{2}} \right)} \right\}\)
  • B \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,1;\,1} \right);\,\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2};\,\frac{1}{2}} \right)} \right\}\)
  • C \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,0;\,0} \right);\,\left( {\frac{{ - 1}}{2};\,\frac{{ - 1}}{2};\,\frac{{ - 1}}{2}} \right)} \right\}\)
  • D \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,1;\,1} \right);\,\left( {\frac{{ - 1}}{2};\,\frac{{ - 1}}{2};\,\frac{{ - 1}}{2}} \right)} \right\}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

+) Nếu \(x + y + z = 0\) thì từ \((1)\) suy ra \(x = y = z = 0\) .

+) Nếu \(x + y + z \ne 0\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ba tỉ số ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Rightarrow x + y + z = \frac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 1 + x + y - 2}} = \frac{{x + y + z}}{{2.(x + y + z)}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow x + y = \frac{1}{2} - z;\;\;\;x + z = \frac{1}{2} - y;\;\;\;y + z = \frac{1}{2} - x\end{array}\)

Khi đó \((1)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{x}{{\frac{1}{2} - x + 1}} = \frac{y}{{\frac{1}{2} - y + 1}} = \frac{z}{{\frac{1}{2} - z - 2}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{3}{2} - x}} = \frac{y}{{\frac{3}{2} - y}} = \frac{z}{{ - \frac{3}{2} - z}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \frac{3}{2} - x\\2y = \frac{3}{2} - y\\2z =  - \frac{3}{2} - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\\z =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai bộ số \((x,y,z)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \((0;0;0)\,\,;\,\,\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)    \((b,d \ne 0;a \ne  - c;b \ne  - d)\)

Chứng minh: \({\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{{c + d}}\)  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}\)  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho \(\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = \frac{{2z - 4x}}{3}\)\(x - 2y + 3z = 8\) . Tìm \(x;y;z\)

  • A  \(x = 3;\,y = 3;\,z = 4\).
  • B  \(x = -2;\,y = 3;\,z = 4\).
  • C  \(x = 2;\,y = 3;\,z = 4\).
  • D  \(x = 2;\,y = 3;\,z = -4\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức, sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm x; y; z.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = \frac{{2z - 4x}}{3}\\ = \frac{{2\left( {3x - 2y} \right) + \left( {4y - 3z} \right)}}{{2.4 + 2}} = \frac{{6x - 3z}}{{10}} = \frac{{3\left( {2z - 4x} \right) + 2\left( {6x - 3z} \right)}}{{3.3 + 2.10}} = 0\\ \Rightarrow 3x - 2y = 4y - 3z = 2z - 4x = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\4y = 3z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\\\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}}\end{array}\)

 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{2 - 6 + 12}} = \frac{8}{8} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1.2 = 2\\y = \frac{{1.6}}{2} = 3\\z = \frac{{1.12}}{3} = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 2;\,y = 3;\,z = 4\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tìm ba số thực \(x,y,z \ne 0\) . Biết: \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}\) và \({x^{2018}} - {y^{2019}} = 0\) .

  • A  \(x = y = z = 0\).
  • B  \(x = y = z = 1\).
  • C  \(x = 1; y = z = 0\).
  • D  \(x = y = 1; z = 0\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Từ dữ kiện đề bài cho suy ra: \(x = y = z\)

Thay \(y = x\) vào biểu thức \({x^{2018}} - {y^{2019}} = 0\), ta tìm được \(x\). Từ đó suy ra \(y\) và \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x} \Rightarrow x = y = z\), với mọi \(x,y,z \ne 0\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{x^{2018}} - {y^{2019}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} - {x^{2019}} = 0\\ \Rightarrow {x^{2018}}.\left( {1 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - x = 0\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = y = z = 1\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho \(a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) (với \(a \ne 0;\,\,b \ne 0;\,\,c \ne 0\)).

Chứng minh rằng : \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có : \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)\( = \frac{{x + y + z}}{1} = x + y + z\)

Ta có :

\({\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2}\) \( = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{1}\) \( = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)

Vậy \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) (đpcm).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Tìm hai số khác \(0\) biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(5,1,12.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) (*)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{x + y + x - y}}{{5 + 1}} = \frac{{2x}}{6} = \frac{x}{3}\)

Mà \(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) nên \(\frac{{xy}}{{12}} = \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{{xy}}{x} = \frac{{12}}{3} \Rightarrow y = 4\)

Thay giá trị \(y = 4\) vào biểu thức (*) ta có :

\(\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{x - 4}}{1} \Rightarrow x + 4 = 5x - 20 \Rightarrow 24 = 4x \Rightarrow x = 6\)

Vậy hai số cần tìm lần lượt là \(6\) và \(4.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho các số thực \(a,\,b,\,c,\,x,\,y,\,z\) thỏa mẵn các điều kiện: \(ax + by = c;\,\,by + cz = a;\,\,cz + ax = b;\,x,y,z \ne  - 1;\,\,a + b + c \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}\).

  • A \(P = 2.\)
  • B \(P = 1.\)
  • C \(P = 0.\)
  • D \(P = 3.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)

Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)

Từ đấy suy ra giá trị của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)

Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)

Suy ra: \(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)

Vậy \(P = 2.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho 4 số khác 0 là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\)  thoả mãn \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3},{a_3}^2 = {a_2}.{a_4}.\) Chọn câu đúng.

  • A \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)       
  • B \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_4}}}{{{a_1}}}\)       
  • C \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_4}}}\)      
  • D \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

     

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Từ bài ra lập tỉ lệ thức sau đó áo dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .

Lời giải chi tiết:

Ta có \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}},\)\({a_3}^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Nên \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\) , từ đó \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}}\)

Mà \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)  nên \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\,\left( 1 \right)\)

Lại có, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì  \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.