Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x - y}}{{a - b}}.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x - y}}{{3 - 4}} = \frac{2}{{ - 1}} =  - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2.3 =  - 6\\y =  - 2.4 =  - 8\end{array} \right..\)

Chọn B

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi biểu thức để chứng minh.

b) Tìm mối liên hệ về diện tích của tứ giác ACED với các tam giác con của tứ giác.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, tính AH, từ đó tính diện tích tứ giác ACED.

Lời giải chi tiết:

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

   \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\) (Theo giả thiết a + b + c = 1)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\)  (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

            \({{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{1}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\)(Theo giả thiết \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\))         (2)

Từ (1) và (2) ta có: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right)\)

b)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EB\text{D}\) ta có:

AB = EB (theo gt)

BD = BC (theo gt)

\(\angle ABC=\angle EB\text{D}\) (cặp góc đối đỉnh bằng nhau)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta EB\text{D}\left( c-g-c \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AB\text{D}=\Delta EBC\ \left( c-g-c \right)\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta AB\text{D}}}={{S}_{\Delta EB\text{D}}}+{{S}_{\Delta EBC}}\) \(\Rightarrow {{S}_{\Delta E\text{D}C}}={{S}_{\Delta AC\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{AC\text{ED}}}\)

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD (\(H\in DC\))

Xét tam giác vuông AHB ta có:

            \(\angle BAH+\angle ABH={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH+{{60}^{0}}={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH={{30}^{0}}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2=1\ cm\) (Tam giác vuông có một góc bằng 30⁰ thì cạnh đối diện góc đó bằng nửa cạnh huyền)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}+{{1}^{2}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=4-1=3\Leftrightarrow AH=\sqrt{3}\ cm\)

Vậy diện tích tứ giác ACED là: \({{S}_{AC\text{ED}}}=2.{{S}_{\Delta AC\text{D}}}=2.\frac{1}{2}.AH.DC=AH.2BC=\sqrt{3}.2.4=8\sqrt{3}\ c{{m}^{2}}\)

Chọn C

.

Phương pháp giải:

Tìm tỉ số giữa y và z, rồi sai đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm tỉ số của x và t.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(7y = 4z\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{4}{7}\) Và  \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{4}{7}\)   \( \Rightarrow \frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{y}{z} = \frac{4}{7}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{y}{z} = \frac{4}{7} = \frac{{x + y - y}}{{t + z - z}} = \frac{x}{t}\)

Vậy \(\frac{x}{t} = \frac{4}{7}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c - e}}{{b + d - f}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\) và \(x + 2y = 57\)

Ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{x}{5} = \frac{{2y}}{{14}}\,\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\,\frac{x}{5} = \frac{{2y}}{{14}}\, = \frac{{x + 2y}}{{5 + 14}} = \frac{{57}}{{19}} = 3\\\frac{x}{5} = 3\,\, \Rightarrow x = 3.5 = 15\\\frac{{2y}}{{14}} = 3\,\,\, \Rightarrow 2y = 42 \Rightarrow y = 42:2 \Rightarrow y = 21\end{array}\)

Vậy \(x = 15\) và \(y = 21\).

Chọn B

Phương pháp giải:

a) Áp dụng kiến thức : Nếu \(ad = bc\) và \(a,b,c,d \ne 0\) thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}.\)

b) Áp dụng tính chất : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và chứng minh.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Lời giải chi tiết:

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

Ta lập được các tỉ lệ thức sau :

\(\frac{{13}}{9} = \frac{{26}}{{18}};\frac{{18}}{9} = \frac{{26}}{{13}};\frac{{13}}{{26}} = \frac{9}{{18}};\frac{9}{{13}} = \frac{{18}}{{26}}\)

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}} \cdot \)

Ta có : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Cộng hai vế với \(ac\) ta được: \(ac + ad = ac + bc\) \( \Leftrightarrow a\left( {c + d} \right) = c\left( {a + b} \right)\) hay \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}.\)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}}\)

Mà \(x - 2y + 3z =  - 33\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{3 - 10 + 18}} = \frac{{ - 33}}{{11}} =  - 3\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3} =  - 3 \Rightarrow x =  - 3.3 =  - 9\\\frac{y}{5} =  - 3 \Rightarrow y =  - 3.5 =  - 15\\\frac{z}{6} =  - 3 \Rightarrow z =  - 3.6 =  - 18\end{array} \right.\)

Vậy giá trị của \(x,y,z\) cần tìm lần lượt là \( - 9, - 15, - 18.\)

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi đưa về \(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(2a = 3b \Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Rightarrow \frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{7}\))

Và \(5b = 7c \Rightarrow \frac{b}{7} = \frac{c}{5}\) \( \Rightarrow \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{2}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{{21}} = \frac{b}{{14}} = \frac{c}{{10}}\)\( = \frac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \frac{{30}}{{15}} = 2\)

Do đó \(\frac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42\); \(\frac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28\) và \(\frac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20\)

Khi đó \(a + b - c = 42 + 28 - 20 = 50.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{7}{3}\)\( \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{5x - 2y}}{{5.7 - 2.3}} = \frac{{87}}{{29}} = 3\)

Do đó \(\frac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 21\) và \(\frac{y}{3} = 3 \Rightarrow y = 9\)

Vậy \(x = 21;y = 9.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đầu tiên với \(5\), phân thức thứ hai với \(4\) và phân thức thứ ba với \(3\).

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra dãy tỉ số mới.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\frac{{3z - 4y}}{5} = \frac{{5y - 3x}}{4} = \frac{{4x - 5z}}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{5\left( {3z - 4y} \right)}}{{5.5}} = \frac{{4.\left( {5y - 3x} \right)}}{{4.4}} = \frac{{3\left( {4x - 5z} \right)}}{{3.3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{15z - 20y}}{{25}} = \frac{{20y - 12x}}{{16}} = \frac{{12x - 15z}}{9}\)

\( = \frac{{15z - 20y + 20y - 12x + 12x - 15z}}{{25 + 16 + 9}}\) \( = 0\)

Suy ra  \(15z - 20y = 0 \Rightarrow 15z = 20y\) \( \Rightarrow \frac{z}{4} = \frac{y}{3}\)

\(20y - 12x = 0\) \( \Rightarrow 20y = 12x \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{x}{5}\)

Suy ra \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Mà \({x^2} - {z^2} = 36\) nên \({\left( {5k} \right)^2} - {\left( {4k} \right)^2} = 36\)

\(\begin{array}{l}25{k^2} - 16{k^2} = 36\\9{k^2} = 36\\{k^2} = 4\\k =  \pm 2\end{array}\)

Nếu \(k = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.2 = 10\\y = 3.2 = 6\\z = 4.2 = 8\end{array} \right.\)

Nếu \(k =  - 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5.\left( { - 2} \right) =  - 10\\y = 3.\left( { - 2} \right) =  - 6\\z = 4.\left( { - 2} \right) =  - 8\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {10;6;8} \right),\left( { - 10; - 6; - 8} \right)} \right\}\).

Chọn A

Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) 2x = 3y và x – 5y = 2,1

\(\; \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và x – 5y = 2,1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\;\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x - 5y}}{{3 - 2.5}} = \frac{{2,1}}{7} = 0,3\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = 0,3 \Rightarrow x = 0,3.3 = 0,9\\\frac{y}{2} = 0,3 \Rightarrow y = 0,3.2 = 0,6\end{array}\)

Vậy x = 0,9; y = 0,6

 b)  \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{{12}}\) và \(-3x + 10y -2z = 236.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{{12}} = \frac{{ - 3x + 10y - 2z}}{{ - 3.8 + 10.( - 7) - 2.12}} = \frac{{236}}{{ - 118}} =  - 2\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{8} =  - 2 \Rightarrow x =  - 2.8 =  - 16\\\frac{y}{{ - 7}} =  - 2\Rightarrow y =  - 2.( - 7) = 14\\\frac{z}{{12}} =  - 2 \Rightarrow z =  - 2.12 =  - 24\end{array}\)

Vậy x = -16; y = 14; z = -24

c) \(\frac{x}{{ - 3}} = \frac{y}{7};\frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{5}\)  và \(-2x – 4y + 5z = 146\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}};\frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}} \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{6} = \frac{y}{{ - 14}} = \frac{z}{{35}} = \frac{{ - 2x - 4y + 5z}}{{ - 2.6 - 4.( - 14) + 5.35}} = \frac{{146}}{{219}} = \frac{2}{3}\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}.6 = 4\\\frac{y}{{ - 14}} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}.( - 14) = \frac{{ - 28}}{3}\\\frac{z}{{35}} =\frac{2}{3} \Rightarrow z = \frac{2}{3}.35 = \frac{{70}}{3}\end{array}\)

Vậy x = 4; y = -28/3; z = 70/3.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\frac{{4x - 3y}}{5} = \frac{{5y - 4z}}{3} = \frac{{3z - 5x}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{5\left( {4x - 3y} \right)}}{{5.5}} = \frac{{3\left( {5y - 4z} \right)}}{{3.3}}\) \( = \frac{{4\left( {3z - 5x} \right)}}{{4.4}}\)

\( \Rightarrow \frac{{20x - 15y}}{{25}} = \frac{{15y - 12z}}{9}\) \( = \frac{{12z - 20x}}{{16}}\)

\( = \frac{{20x - 15y + 15y - 12z + 12z - 20x}}{{25 + 9 + 16}}\) \( = 0\)

Suy ra  \(20x - 15y = 0 \Rightarrow 20x = 15y\) \( \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4}\)

\(15y - 12z = 0\) \( \Rightarrow 15y = 12z\)\( \Rightarrow \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\)

Suy ra \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) \( = \frac{{x - y + z}}{{3 - 4 + 5}}\) \( = \frac{{2020}}{4} = 505\)

Suy ra \(x = 505.3 = 1515\)

\(y = 505.4 = 2020\)

\(z = 505.5 = 2525\)

Vậy \(x = 1515,y = 2020,\) \(z = 2525.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)\( \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Mặt khác \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\)

Từ \(\frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}} \Rightarrow \frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Ta có \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \frac{9}{9} = 1\)

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow \) \(x = 5\) hoặc \(x =  - 5\)

\(\frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow \) \(y = 4\) hoặc \(y =  - 4\)

Lại có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4}\) nên \(x,y\) cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là \(x = 5;y = 4\) hoặc \(x =  - 5;y =  - 4.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\)

Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)

Vậy \(b = c = 2018.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma - nc}}{{mb - nd}}\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của (1) lần lượt với \( - 3; - 4;5\) ta được:

\(\frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \frac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \frac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \frac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \frac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)\( = \frac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}\) \( = \frac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \frac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}\)

\( = \frac{{50 - 34}}{8} = \frac{{16}}{8} = 2\)

Do đó \(\frac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\(\frac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5\)

\(\frac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17\)

Vậy \(x = 5;y = 5;z = 17.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm hai số \(x;\,y\) biết \(x.y = P\) và \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\) 

Đặt \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)

Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \Rightarrow {k^2} = \frac{P}{{ab}}\)

Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = k\)ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k =  - 1\) thì \(x =  - 2;y =  - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(x - y = 2 - 5 =  - 3.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhua ta được

\(\frac{y}{{x - z}} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{x}{y}\)\( = \frac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \frac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2\) .

Vậy \(\frac{x}{y} = 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ta lập luận để chỉ ra rằng \(a+b+c\ne 0\). Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}\) để chứng minh \(a=b=c\). 

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Nếu \(a+b+c=0\) thì \(\frac{a}{b}=\frac{-b-c}{b}=-1-\frac{c}{b}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=-1\) .

Suy ra \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=-1\) nên \({{\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}+2=1\Rightarrow \frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}=-1\) (vô lý)

Vậy \(a+b+c\ne 0\) .

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

Do đó: \(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\);\(\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\);\(\frac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\)

Do đó \(a=b=c\) 

chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tư duy logic để biến đổi biểu thức tìm giá trị biểu thức M.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{c+a}{5}=\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}=\frac{c+a-b-c+a+b}{5-4+3}=\frac{2\text{a}}{4}=\frac{a}{2}\)   (1)

Từ (1) ta có: \(\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow 3b+3c=4\text{a}+4b\Leftrightarrow b=3c-4\text{a}\) (2)

Thế (2) vào biểu thức M, ta có: M = 10a + 3c – 4a – 7c + 2017 = 6a – 4c + 2017   (3)

Từ (1) ta lại có: \(\frac{c+a}{5}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow 2c+2\text{a}=5\text{a}\Leftrightarrow 2c=3\text{a}\Leftrightarrow 4c=6\text{a}\ \ (4)\)

Thế (4) vào (3) ta có: M = 6a – 6a + 2017 = 2017

Vậy M = 2017.

Chọn A

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức phù hợp, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm ra kết quả.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\frac{{2{\rm{x}} - 4y}}{3} = \frac{{4{\rm{z}} - 3{\rm{x}}}}{2} = \frac{{3y - 2{\rm{z}}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{(2{\rm{x}} - 4y).3}}{{3.3}} = \frac{{(4{\rm{z}} - 3{\rm{x}}).2}}{{2.2}} = \frac{{(3y - 2{\rm{z)}}{\rm{.4}}}}{{4.4}}\\ \Leftrightarrow \frac{{6{\rm{x}} - 12y}}{9} = \frac{{8{\rm{z}} - 6{\rm{x}}}}{4} = \frac{{12y - 8{\rm{z}}}}{{16}} = \frac{{6{\rm{x}} - 12y + 8{\rm{z}} - 6{\rm{x}} + 12y - 8{\rm{z}}}}{{9 + 4 + 16}} = \frac{0}{{29}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{\rm{x}} - 12y = 0\\8{\rm{z}} - 6{\rm{x}} = 0\\12y - 8z = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = 4y\\4{\rm{z}} = 3{\rm{x}}\\{\rm{3y}}\;{\rm{ = }}\;{\rm{2z}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{4} = \frac{y}{2}\\\frac{z}{3} = \frac{x}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 2}} = \frac{z}{3} = \frac{{2{\rm{x}} - y + z}}{{8 - 2 + 3}} = \frac{{27}}{9} = 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3.4 = 12\\y = 2.3 = 6\\z = 3.3 = 9\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x = 12;\;y = 6;\;z = 9.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

+) Nếu \(x + y + z = 0\) thì từ \((1)\) suy ra \(x = y = z = 0\) .

+) Nếu \(x + y + z \ne 0\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ba tỉ số ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Rightarrow x + y + z = \frac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 1 + x + y - 2}} = \frac{{x + y + z}}{{2.(x + y + z)}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow x + y = \frac{1}{2} - z;\;\;\;x + z = \frac{1}{2} - y;\;\;\;y + z = \frac{1}{2} - x\end{array}\)

Khi đó \((1)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{x}{{\frac{1}{2} - x + 1}} = \frac{y}{{\frac{1}{2} - y + 1}} = \frac{z}{{\frac{1}{2} - z - 2}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{3}{2} - x}} = \frac{y}{{\frac{3}{2} - y}} = \frac{z}{{ - \frac{3}{2} - z}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \frac{3}{2} - x\\2y = \frac{3}{2} - y\\2z =  - \frac{3}{2} - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\\z =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai bộ số \((x,y,z)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \((0;0;0)\,\,;\,\,\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) .

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{{c + d}}\)  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}\)  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức, sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm x; y; z.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = \frac{{2z - 4x}}{3}\\ = \frac{{2\left( {3x - 2y} \right) + \left( {4y - 3z} \right)}}{{2.4 + 2}} = \frac{{6x - 3z}}{{10}} = \frac{{3\left( {2z - 4x} \right) + 2\left( {6x - 3z} \right)}}{{3.3 + 2.10}} = 0\\ \Rightarrow 3x - 2y = 4y - 3z = 2z - 4x = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\4y = 3z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\\\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{2 - 6 + 12}} = \frac{8}{8} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1.2 = 2\\y = \frac{{1.6}}{2} = 3\\z = \frac{{1.12}}{3} = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 2;\,y = 3;\,z = 4\). 

Chọn C

Phương pháp giải:

Từ dữ kiện đề bài cho suy ra: \(x = y = z\)

Thay \(y = x\) vào biểu thức \({x^{2018}} - {y^{2019}} = 0\), ta tìm được \(x\). Từ đó suy ra \(y\) và \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x} \Rightarrow x = y = z\), với mọi \(x,y,z \ne 0\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{x^{2018}} - {y^{2019}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} - {x^{2019}} = 0\\ \Rightarrow {x^{2018}}.\left( {1 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - x = 0\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = y = z = 1\).

Chọn B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có : \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)\( = \frac{{x + y + z}}{1} = x + y + z\)

Ta có :

\({\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2}\) \( = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{1}\) \( = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)

Vậy \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) (đpcm).

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

Và

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) (*)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{x + y + x - y}}{{5 + 1}} = \frac{{2x}}{6} = \frac{x}{3}\)

Mà \(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) nên \(\frac{{xy}}{{12}} = \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{{xy}}{x} = \frac{{12}}{3} \Rightarrow y = 4\)

Thay giá trị \(y = 4\) vào biểu thức (*) ta có :

\(\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{x - 4}}{1} \Rightarrow x + 4 = 5x - 20 \Rightarrow 24 = 4x \Rightarrow x = 6\)

Vậy hai số cần tìm lần lượt là \(6\) và \(4.\)

Phương pháp giải:

Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)

Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)

Từ đấy suy ra giá trị của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)

Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)

Suy ra: \(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)

Vậy \(P = 2.\)

Phương pháp giải:

Từ bài ra lập tỉ lệ thức sau đó áo dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .

Lời giải chi tiết:

Ta có \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}},\)\({a_3}^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Nên \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\) , từ đó \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}}\)

Mà \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)  nên \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\,\left( 1 \right)\)

Lại có, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì  \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}.\)

Chọn A.