30 bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong một tổ học sinh có \(5\) em gái và \(10\) em trai. Thùy là \(1\) trong \(5\) em gái và Thiện là \(1\) trong \(10\) em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra \(1\) nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?

  • A \(286\)                    
  • B \(3003\)                
  • C \(2717\)                       
  • D \(1287\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Do ở đây việc tìm trực tiếp sẽ có nhiều trường hợp nên ta sẽ giải quyết bài toán bằng cách gián tiếp, ta sẽ đi tìm bài toán đối. Ta tìm số cách chọn ra \(5\) bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.

Lời giải chi tiết:

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra \(5\) bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm \(3\) em trong \(13\) em (\(13\) em này không tính em Thùy và Thiện) có \(C_{13}^3 = 286\) cách.

Bước 2: Chọn \(2\) em Thùy và Thiện có 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì ta có \(286\) cách chọn \(5\) em mà trong đó có cả \(2\) em Thùy và Thiện.

Chọn \(5\) em bất kì trong số \(15\) em thì ta có: \(C_{15}^5 = 3003\) cách.

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả \(3003-286 = 2717\) cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho tập \(A = \left\{ {2;5} \right\}\). Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có \(10\) chữ số sao cho không có chữ số \(2\) nào đứng cạnh nhau?

  • A \(144\) số          
  • B \(143\) số              
  • C \(1024\) số             
  • D \(512\) số

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp chữ số \(5\) trước để tạo ra các vách ngăn sau đó xếp các chữ số \(2\) vào các vách ngăn đó

Lời giải chi tiết:

TH1: Có \(10\) chữ số \(5\): Chỉ có duy nhất \(1\) số.

TH2: Có \(9\) chữ số \(5\) và \(1\)  chữ số \(2\).

Xếp \(9\) chữ số \(5\)  thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có \(8\) chữ số \(5\) và \(2\)  chữ số \(2\).

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào \(9\) vách ngăn đó, có

\(C_9^2 = 36\)  cách.

Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có \(7\) chữ số \(5\)  và \(3\) chữ số \(2\) .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có

\(C_8^3 = 56\)  cách.

Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có \(6\) chữ số \(5\) và \(4\) chữ số \(2\) .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có

\(C_7^4 = 35\)  cách.

Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có \(5\) chữ số \(5\)  và \(5\) chữ số \(2\).

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có

\(C_6^5 = 6\)  cách.

Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả:

\(1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144\) số.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(3\) chữ số khác nhau chọn từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số \(3\).

  • A \(72\)
  • B \(36\)
  • C \(32\)
  • D \(48\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Gọi số tạo thành có dạng \(x = \overline {abc} \), với \(a\), \(b\), \(c\) đôi một khác nhau và lấy từ \(A\).

- Chọn vị trí cho chữ số 3.

- Chọn 2 chữ số còn lại. Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tạo thành có dạng \(x = \overline {abc} \), với \(a\), \(b\), \(c\) đôi một khác nhau và lấy từ \(A\).

Chọn một vị trí \(a,\,\,b\) hoặc \(c\) cho số \(3\) có \(3\) cách chọn.

Chọn hai chữ số khác \(3\) từ \(A\) và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của \(x\) có \(A_4^2\) cách chọn

Theo quy tắc nhân có \(3.A_4^2 = 36\) cách chọn

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu.

Vậy có \(36\) số cần tìm.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.

  • A \(165\)
  • B \(1296\)
  • C \(343\)
  • D \(84\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Liệt kê các trường hợp có tổng 4 số bằng 7, chia các trường hợp sau:

   + Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0.

   + Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

   + Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

   + Trong 4 chữ số a, b, c, d có 0 chữ số bằng 0.

- Sử dụng hoán vị sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right)\).

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 \( \Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7\).

Do đó có 1 số thỏa mãn.

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có \(C_3^2 = 3\) cách.

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có \(7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6\) nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có \(C_3^1 = 3\) cách.

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có: \(7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\).

   + Với bộ số (1;2;4) có \(3! = 6\) cách chọn 3 chữ số còn lại.

   + Với 3 bộ số còn lại có \(\dfrac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có \(3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\) số.

TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d  không có chữ số nằm bằng 0.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 1 + 1 + 4\\7 = 1 + 1 + 2 + 3\\7 = 1 + 2 + 2 + 2\end{array} \right.\).

   + Với bộ số (1;1;1;4), có \(\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;1;2;3), có \(\dfrac{{4!}}{{2!}} = 12\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;2;2;2), có \(\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả:  1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tìm \(n \in \mathbb{N},\) biết \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n.\)

  • A \(n = 5.\)
  • B \(n = 6.\)
  • C \(n = 7\)hoặc \(n = 8.\)
  • D \(n = 9.\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)\(\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \in N\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} = 14n\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{{2!}} = 14n\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) + \dfrac{{n - 1}}{2} = 14\) (Chia 2 vế cho n vì \(n \ne 0\))

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 5n - 25 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 2,5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Giải bất phương trình \(C_n^5 < C_n^3\).

  • A \(4 < n < 6\)
  • B \(4 < n < 7\)
  • C \(5 \le n < 8\)
  • D \( - 1 < n < 8\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(C_n^5 < C_n^3\)\(\left( {n \ge 5;\,\,n \in N} \right)\)

\( \Leftrightarrow C_n^5 - C_n^3 < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} - \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{{120}} - \dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{6} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n - 20\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{{120}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n.\left[ {\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right) - 20} \right] < 0\)

Mà \(n \ge 5\)\( \Rightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n > 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right) - 20 < 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 7n + 12 - 20 < 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 7n - 8 < 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < n < 8\\n \ge 5\end{array} \right. \Rightarrow 5 \le n < 8\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tổng các nghiệm của bất phương trình \(C_n^{n - 2} - 2C_n^1 \le 18\) là:

  • A 35
  • B 41
  • C 44
  • D 45

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(n \ge 1\)

\(C_n^{n - 2} - 2C_n^1 \le 18\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} - 2\dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} \le 18\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 2n \le 18\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n -1 } \right) - 4n \le 36\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n - 4n - 36 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 36 \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - 4 \le n \le 9\)

Kết hợp \(n \ge 1\)\( \Rightarrow n \in \left[ {1;9} \right]\)

Vậy tổng các nghiệm là: \(\dfrac{{(1 + 9).9}}{2} = 45\)\( \Rightarrow S = 45\) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho \(C_n^{n - 3} = 1140\). Tính \(A = \dfrac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}\).

  • A 256
  • B 342
  • C 231      
  • D 129

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(n \ge 6\)

\(C_n^{n - 3} = 1140\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!.3!}} = 1140\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 1140\)

\( \Rightarrow n = 20\)

\( + )\,\,\,A = \dfrac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}} = \dfrac{{A_{20}^6 + A_{20}^5}}{{A_{20}^4}} = 256\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Có bao nhiêu cách chia 20 chiếc bút chì giống nhau cho ba bạn Trung, Việt, Phi sao cho mỗi bạn được ít nhất một chiếc bút chì.

  • A \(153.\)
  • B \(210.\)
  • C \(190.\)
  • D \(171.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bài toán chia kẹo Euler.

Lời giải chi tiết:

Xếp 20 chiếc bút chì giống nhau trên thành 1 hàng ngang, khi đó, giữa các chiếc bút có 19 khe. Ta chọn vị trí và đặt 2 vách ngăn vào 2 vị trí khe (2 khe khác nhau). Hai vách ngăn sẽ chia 20 chiếc bút thành 3 phần, ứng với  số bút mà 3 bạn Trung, Việt, Phi tương ứng nhận được.

Số cách chọn đó là: \(C_{19}^2 = 171\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Nghiệm của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\) là:

  • A \(x = 5.\)
  • B \(x = 11.\)
  • C \(x = 11\)và \(x = 5.\)
  • D \(x = 10\)và \(x = 2.\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\)  \(\left( {x \ge 10;\,\,x \in {N^*}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9\dfrac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}\)

 

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 9} \right) + x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 8} \right) = 9x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 8} \right)\left( {x - 9} \right) + \left( {x - 8} \right) = 9\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 8x + 72 + x - 8 - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 5\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) .

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Biết rằng \(A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 4n + 6.\) Giá trị của \(n\) là

  • A \(n = 12.\)
  • B \(n = 10.\)
  • C \(n = 13.\)
  • D \(n = 11.\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(A_n^2 + C_{n + 1}^{n - 1} = 4n + 6\)  \(\left( {n \ge 2;\,\,n \in N} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} = 4n + 6\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4n + 6\)

\( \Leftrightarrow 2n\left( {n - 1} \right) - n\left( {n + 1} \right) - 8n - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 2n - {n^2} - n - 8n - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 11n - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho tập A gồm n phần tử, \(n \ge 4\) . Biết số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm \(n\)?

  • A \(n = 16\)
  • B \(n = 17\)
  • C \(n = 18\)
  • D \(n = 19\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nên

Ta có phương trình:\(C_n^4 = 20C_n^2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = 20\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} = \dfrac{{20n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} - \dfrac{{20n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 0\\ \Rightarrow n.\left( {n - 1} \right).\left[ {\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} - 10} \right] = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 1\\\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} = 10\end{array} \right.\) (Vì \(n \ge 4\)\( \Rightarrow n = 0,\,\,n = 1\) loại)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 3n + 6 - 240 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 234 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 13\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tìm \(n \in \mathbb{N}\), biết \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right).\)

  • A \(n = 15.\)
  • B \(n = 18.\)
  • C \(n = 16.\)
  • D \(n = 12.\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\)\(\left( {n \in N} \right)\)

Có tính chất: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{n + 4}^{n + 1} = C_{n + 4}^3\\C_{n + 3}^n = C_{n + 3}^3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left( {n + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{3!.\left( {n + 1} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{3!.n!}} = 7\left( {n + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{3!}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{3!}} = 7\left( {n + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 3 = 0 \Leftrightarrow n =  - 3\,\,(Loai)\\\dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{3!}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}} = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left( {n + 2} \right)\left( {n + 4} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = 42\)

\( \Leftrightarrow 3n + 6 = 42\)

\( \Leftrightarrow n = 12\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Giá trị của \(n \in \mathbb{N}\) bằng bao nhiêu, biết \(\dfrac{5}{{C_5^n}} - \dfrac{2}{{C_6^n}} = \dfrac{{14}}{{C_7^n}}.\)

  • A \(n = 2\)hoặc \(n = 4.\)
  • B \(n = 5.\)
  • C \(n = 4.\)
  • D \(n = 3.\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(n \le 5;\,\,n \in N\)

\(\dfrac{5}{{C_5^n}} - \dfrac{2}{{C_6^n}} = \dfrac{{14}}{{C_7^n}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{5.n!.\left( {5 - n} \right)!}}{{5!}} - \dfrac{{2.n!.\left( {6 - n} \right)!}}{{6!}} = \dfrac{{14.n!.\left( {7 - n} \right)!}}{{7!}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{5}{{5!}} - \dfrac{{2\left( {6 - n} \right)}}{{6!}} = \dfrac{{14\left( {6 - n} \right)\left( {7 - n} \right)}}{{7!}}\)

\( \Leftrightarrow 5 - \dfrac{{6 - n}}{3} = \dfrac{{\left( {6 - n} \right)\left( {7 - n} \right)}}{3}\) (Nhân 2 vế với 5!)

\( \Leftrightarrow 15 - \left( {6 - n} \right) = \left( {6 - n} \right).\left( {7 - n} \right)\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 14n + 33 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = 11\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào 1 bàn dài sao cho ông X và ông Y ngồi cạch nhau?

  • A 9!. 
  • B 2.9!. 
  • C 8!.
  • D 2.8!.

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

 

+ Coi X,Y là 1 vị trí \( \Rightarrow \) Có 9 cách xếp vị trí cho X,Y

\( \Rightarrow \) Vậy tổng cộng có: \(9 \times 2! \times 8! = 2! \times 9!\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Tính số cách xếp để cho học sinh nam và nữ xen kẽ nhau

  • A \(6!\)
  • B \(12!\)
  • C \(2.{\left( {5!} \right)^2}\)
  • D \({\left( {5!} \right)^2}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

TH1:

B

G

B

G

B

G

B

G

B

G

 

 

 

               Chọn chỗ cho 5 bạn nam: 5! ( xếp 5 bạn vào 5 vị trí B)

 

               Chọn chỗ cho 5 bạn nữ: 5!    ( xếp 5 bạn vào 5 vị trí G)

 

               \( \Rightarrow \) \(5!\, \times 5!\)

TH2:

 

G

B

G

B

G

B

G

B

G

B

 

                       Tương tự: \(5!\, \times 5!\)

 

               \( \Rightarrow \) Có \(2 \times {(5!)^2}\) cách xếp.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. 9 bạn được xếp vào 9 ghế và thành hàng ngang

Câu 1:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau

  • A \(8!\)
  • B \(7!\)
  • C \(A_9^8\)
  • D \(16.7!\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

An và Bình ngồi cạnh nhau:

 

+ Coi An, Bình là 1 vị trí\( \Rightarrow \) Có 8 vị trí ngồi cho An và Bình \( \Rightarrow \) \(8 \times 2!\, \times 7! = 16 \times 7!\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau

  • A 322560
  • B 40320
  • C 282240
  • D 357840

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

An và Bình không ngồi cạnh nhau = Tổng số cách xếp \( - \) An và Bình ngồi cạnh

                                                            =          9!              \( - \)           \(16 \times 7!\)

                                                            = 282240

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong mặt phẳng cho 5 đường thẳng song song \({a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{a_4},\,\,{a_5}\) và 7 đường thẳng song song với nhau \({b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3},\,\,{b_4},\,\,{b_5},\,\,{b_6},\,\,{b_7}\) đồng thời cắt 5 đường thẳng trên. Tính số hình bình hành tạo nên bởi 12 đường thẳng đã cho

  • A \(C_5^2 + C_7^2\)
  • B \(C_5^2.C_7^2\)
  • C \(C_{12}^4\)
  • D \(A_5^2.A_7^2\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

 

4 cách

Ta thấy HBH được tạo ra khi chọn 2 đường thẳng a và 2 đường thẳng b

 

Chọn 2 đường a: \(C_5^2\)

 

Chọn 2 đường b: \(C_7^2\)

 

 \( \Rightarrow \) \(C_5^2\) \( \times \) \(C_7^2\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Một bộ chuyện tranh gồm 30 tập. Có bao nhiêu cách xếp 30 tập thành một hàng sao cho tập 1 và tập 2 không đứng kề nhau?

  • A 2.29! 
  • B 28.29!. 
  • C 30!. 
  • D 29!.

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Xếp 30 tập thành 1 hàng \( \Rightarrow 30!\) cách xếp

            + Tập 1 và 2 đứng kề nhau: 2! Cách xếp

            + Coi tập 1 và tập 2 là một vị trí \( \Rightarrow \) Có 29 vị trí xếp sao cho tập 1,2 kề nhau

            + Xếp 28 quyển còn lại vào giá ta có: \(28!\) cách xếp

Vậy số cách xếp tập 1 và 2 kề nhau là: \(2!.29.28! = 2!.29!\)

+ Vậy số cách xếp mà tập 1 và 2 không đứng kề nhau = Tổng cách xếp ­\( - \,2!\, \times \,29!\)= \(30!\, - 2!\, \times 29!\)= \(28 \times 29!\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

  • A \(420\)
  • B \(342\)
  • C \(360\)
  • D \(348\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và cho 3.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là \(X = \overline {abcde} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a,b,c,d,e \in A} \right)\).

Vì \(X\,\, \vdots \,\,6\) nên \(X\,\, \vdots \,\,2\) và \(X\,\, \vdots \,\,3\).

TH1: \(d = 0\). Khi đó \(a + b + c + d\,\, \vdots \,\,3\).

\( \Rightarrow \left( {a,b,c,d} \right) \in \left\{ {\left( {3;6;1;2} \right);\left( {3;6;1;5} \right);\left( {3;6;4;2} \right);\left( {3;6;4;5} \right);\left( {1;2;4;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(5.4! = 120\) số chia hết cho 6.

TH2: \(e = 2 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3 dư 1.

\( \Rightarrow \left( {a;b;c;d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;6;1} \right);\left( {0;3;6;4} \right);\left( {0;1;4;5} \right);\left( {1;3;4;5} \right);\left( {1;4;5;6} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3\left( {4! - 3!} \right) + 2.4! = 102\) số.

TH3: \(e = 4 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \left( {a;b;c;d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;6;2} \right);\left( {0;3;6;5} \right);\left( {0;1;2;5} \right);\left( {3;1;2;5} \right);\left( {6;1;2;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3\left( {4! - 3!} \right) + 2.4! = 102\) số.

TH4: \(e = 6 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3.

\( \Rightarrow \left( {a,b,c,d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;1;2} \right);\left( {0;3;1;5} \right);\left( {0;3;4;2} \right);\left( {0;3;4;5} \right);\left( {1;2;4;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(4\left( {4! - 3!} \right) + 4! = 96\) số.

Vậy có tất cả \(120 + 102 + 102 + 96 = 420\) số.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho các chữ số 0;1;2;3;4;5. Từ các chữ số này ta có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từng đôi một và chia hết cho 9 ?

  • A 16. 
  • B 18. 
  • C 6 . 
  • D 24 .

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

+ Gọi số có 3 chữ số khác nhau có dạng: \(\overline {abc} \)

+ Để số có 3 chữ số chia hết cho 9 \( \Rightarrow \) Tổng \(a + b + c\) phải chia hết cho 9

+ Tập hợp các số mà tổng của chúng chia hết cho 9 là:

\(A = \left\{ {0,5,4} \right\}\)\( \Rightarrow \) Các số đó là: \(540,450,504,405\) \( \Rightarrow \) Vậy có 4

\(B = \left\{ {2,3,4} \right\}\)\( \Rightarrow \) Đảo vị trí 3 số ta có: \(3!\)

\(C = \left\{ {1,3,5} \right\}\)\( \Rightarrow \) Đảo vị trí 3 số ta có: \(3!\)

Vậy có: \(4 + 3! + 3! = 16\) số

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Có 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng thành 1 hàng sao cho các cuốn sách cùng môn thì đứng kề nhau?

  • A 10! 
  • B 2.5! 
  • C 5!.5!. 
  • D 2.5!.5!.

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Ta phân các trường hợp như sau

TH1:

T

T

T

T

T

V

V

V

V

V


 

+ Xếp 5 quyển toán vào 5 chỗ\( \Rightarrow \) Có 5! Cách

+ Xếp 5 quyển văn vào 5 chỗ\( \Rightarrow \) Có 5! Cách

\( \Rightarrow \) Có: \(5!.5!\) cách

TH2:  

V

V

V

V

V

T

T

T

T

T


 

+ Xếp 5 quyển toán vào 5 chỗ\( \Rightarrow \) Có 5! Cách

+ Xếp 5 quyển văn vào 5 chỗ\( \Rightarrow \) Có 5! Cách

\( \Rightarrow \) Có: \(5!.5!\) cách

Vậy có tổng cộng: \(2.5!.5!\) cách xếp

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó không có chữ số 0 và chữ số 1 đứng ở vị trí chính giữa?

  • A 88
  • B \({8^2}.\)8!     
  • C 99- 8!   
  • D 9! - 8!

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Tập các số tự nhiên là \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\)

+ Gọi số có 9 chữ số khác nhau cần lập là: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}{a_9}} \)

+ Số các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau là \(9 \times 9!\)
+ Ta sẽ lập ra số có 9 chữ số mà có chữ số 0 hoặc 1 đứng giữa

TH1: Số 0 đứng giữa \( \Rightarrow {a_5} = 0\)\( \Rightarrow \) 1 cách

 

 

 

 

0

 

 

 

 

\( \Rightarrow \) Lập 8 số còn lại ta có: 9! Cách

TH1: Số 1 đứng giữa \( \Rightarrow {a_5} = 1\)\( \Rightarrow \) 1 cách

 

 

 

 

1

 

 

 

 

\( \Rightarrow \) Lập 8 số còn lại ta có: 8.8! cách

\( \Rightarrow \) Có tổng cộng: \(9! + 8.8!\) số

Vậy Số các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau mà số 1 hoặc 0 không đứng giữa là: \(9 \times 9!\)\( - \left( {9! + 8.8!} \right) = {8^2}.8!\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Một lớp học gồm 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cô giáo chọn ngẫu nhiên 6 học sinh để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách  chọn 6 học sinh từ lớp ấy sao cho trong đó có ít nhất 5 học sinh nam ?

  • A 65065.
  • B 271320.
  • C 54264.
  • D 55814400.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

+) Trong 6 học sinh có 5 học sinh nam, 1 học sinh nữ\( \Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^5.C_{15}^1\)

+) Cả 6 học sinh được chọn đều là nam  \( \Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^6\)

Vậy tổng có \(C_{20}^6 + C_{20}^5.C_{15}^1 = 271320\) cách chọn thỏa mãn đề bài.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\) có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau và trong năm chữ số đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau.

  • A \(3630\)
  • B \(3360\)
  • C \(3660\)
  • D \(3363\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Đếm các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau mà có đúng hai chữ số lẻ.

- Đếm các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau mà có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

- Trừ các kết quả cho nhau ta dược đáp số.

Lời giải chi tiết:

Gọi số có năm chữ số có dạng \(\overline {abcde} \).

TH1: \(e = 0\) có \(1\) cách chọn.

Chọn \(2\) chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn và xếp vị trí cho chúng có \(C_5^2.C_4^2.4!\) cách chọn.

Do đó có  \(C_5^2.C_4^2.4!\) số.

TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\) có \(4\) cách chọn.

+) Nếu \(a\) chẵn, \(a \ne 0,a \ne e\) thì có \(3\) cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (\(1\) chữ số chẵn và \(2\) chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \(C_3^1.C_5^2.3!\) cách chọn.

Do đó có \(3.C_3^1.C_5^2.3!\) số.

+) Nếu \(a\) lẻ thì có \(5\) cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (\(2\) chữ số chẵn và \(1\) chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \(C_4^2.C_4^1.3!\) cách chọn.

Do đó có \(5.C_4^2.C_4^1.3!\) số.

Khi đó số các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau mà chỉ có đúng \(2\) chữ số lẻ là \(C_5^2.C_4^2.4! + 4.\left( {3.C_3^1.C_5^2.3! + 5.C_4^2.C_4^1.3!} \right) = 6480\) số.

Ta tính số các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau chỉ có \(2\) chữ số lẻ mà chúng đứng cạnh nhau.

Coi hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là một chữ số \(A\), có \(A_5^2\) cách chọn và sắp xếp vị trí của hai chữ số trong \(A\).

Số có dạng \(\overline {abcd} \) với \(a,b,c,d \in \left\{ {A;0;2;4;6;8} \right\}\).

+) Nếu \(a = A\) thì có \(A_5^3\) cách chọn \(b,c,d\).

+) Nếu \(a \ne A,a \ne 0\) thì có \(4\) cách chọn.

\(A\) có thể đứng ở vị trí \(b\) hoặc \(c\) nên có \(2\) cách xếp.

Có \(A_4^2\) cách chọn và sắp xếp hai chữ số còn lại.

Do đó có \(A_5^2\left( {A_5^3 + 4.2.A_4^2} \right) = 3120\)

Vậy có \(6480 - 3120 = 3360\) số.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Có bao nhiêu số nguyên dương có \(5\) chữ số dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \) thỏa mãn điều kiện \({a_1} < {a_2} < {a_3} \le {a_4} < {a_5}\)?

  • A \(252.\)
  • B \(232.\)
  • C \(201.\)
  • D \(198.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét 2 TH:

TH1: \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} < {a_5}\).

TH2: \({a_1} < {a_2} < {a_3} = {a_4} < {a_5}\)

Sử dụng tổ hợp và quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

TH1: \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} < {a_5}\).

Do \({a_1} \ne 0 \Rightarrow 0 < {a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} < {a_5}\).

Chọn 5 chữ số từ 9 chữ số \(\left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\) có \(C_9^5 = 126\) cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp các số đó theo thứ tự tăng dần.

\( \Rightarrow \) Có 126 số.

TH2: \({a_1} < {a_2} < {a_3} = {a_4} < {a_5}\)

Do \({a_1} \ne 0 \Rightarrow 0 < {a_1} < {a_2} < {a_3} = {a_4} < {a_5}\).

Chọn 4 chữ số từ 9 chữ số \(\left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\) có \(C_9^4 = 126\) cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp các số đó theo thứ tự tăng dần.

\( \Rightarrow \) Có 126 số.

Vậy có tất cả \(126 + 126 = 252\) số thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Từ các số \(1,2,3,4,5,6,7\) có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn không đứng kề nhau?

  • A \(7!\)
  • B \(2.6!\)
  • C \(2.7!\)
  • D \(6!\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp vách ngăn.

Lời giải chi tiết:

Xếp 4 số lẻ có \(4!\) cách xếp, khi đó tạo ra 5 vách ngăn giữa các số lẻ (Kể cả 2 vách ngăn ở đầu).

VD: _1_3_5_7_ (_ là các vách ngăn).

Chọn 3 trong 5 vách ngăn để xếp 3 số chẵn, có \(A_5^3 = 3.4.5\) cách.

Vậy có \(4!.3.4.5 = 4!.5.6.2 = 2.6!\) số thỏa mãn.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

  • A \(124\)
  • B \(132\)
  • C \(136\)
  • D \(120\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

- Xét các trường hợp sau:

   TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

             + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).

             + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).

             + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

   TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

             + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

             + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

             + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

\( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\)

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số.

TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\), trong đó \(5 \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\)

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^1.3! - C_1^3.2! = 12\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

\( \Rightarrow \) Có \(C_2^1.3! - 2! = 10\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^2.C_2^1.3! = 36\) cách chọn.

Vậy có tất cả \(66 + 12 + 10 + 36 = 124\) số thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho tập \(A = \left\{ {3;4;5;6} \right\}\). Tìm số các số tự nhiên có bốn chữ số được thành lập từ tập \(A\) sao cho trong mỗi số tự nhiên đó, hai chữ số \(3\) và \(4\) mỗi chữ số có mặt nhiều nhất \(2\) lần, còn hai chữ số \(5\) và \(6\) mỗi chữ số có mặt không quá \(1\) lần.

  • A \(24\)
  • B \(30\)
  • C \(102\).
  • D \(360\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

TH1: Số 3 và số 4 có mặt 2 lần, số 5 và 6 có mặt 0 lần \( \Rightarrow \) Có \(C_4^2.C_2^2 = 6\) số.

TH2: Số 3 có mặt 2 lần, số 4 có mặt 1 lần, số 5 có mặt 1 lần, số 6 có mặt 0 lần \( \Rightarrow \) Có \(C_4^2.C_2^1 = 12\) số.

TH tương tự TH2:

+) Số 3 có mặt 2 lần, số 4 có mặt 1 lần, số 5 có mặt 0 lần, số 6 có mặt 1 lần.

+) Số 4 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 1 lần, số 5 có mặt 1 lần, số 6 có mặt 0 lần.

+) Số 4 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 1 lần, số 5 có mặt 0 lần, số 6 có mặt 1 lần.

TH3: Số 3 có mặt 0 lần, số 4 có mặt 2 lần, số 5 và 6 có mặt 1 lần \( \Rightarrow \) Có \(C_4^2.2! = 12\) số.

TH tương tự TH3:

Số 4 có mặt 0 lần, số 3 có mặt 2 lần, số 5 và 6 có mặt 1 lần.

TH4: Số 3 có mặt 1 lần, số 4 có mặt 1 lần, số 5 và 6 có mặt 1 lần \( \Rightarrow \) Có \(4! = 24\) số.

Vậy có \(6 + 12.4 + 12.2 + 24 = 102\) số.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Một lớp học có 3 tổ. Tổ I gồm có 3 học sinh nam và 7 học sinh nữ; tổ II gồm có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ; tổ III gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Cô giáo chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ để tham gia hoạt động tình nguyện. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn, nếu cô muốn chọn hai em học sinh ở hai tổ khác nhau?

  • A \(154\)
  • B \(145\)
  • C \(242\)
  • D \(224\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Liệt kê và đếm số cách chọn \(2\) bạn thỏa mãn có \(1\) bạn nam và \(1\) bạn nữ tổ khác.

Các trường hợp: nam tổ \(I\) và nữ hai tổ còn lại; nam tổ \(II\) và nữ hai tổ còn lại; nam tổ \(III\) và nữ hai tổ còn lại

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn \(1\) bạn nam tổ \(I\) và \(1\) bạn nữ hai tổ còn lại là \(C_3^1.C_9^1 = 27\) cách chọn.

Số cách chọn \(1\) bạn nam tổ \(II\) và \(1\) bạn nữ hai tổ còn lại là \(C_5^1.C_{11}^1 = 55\) cách chọn.

Số cách chọn \(1\) bạn nam tổ \(III\) và \(1\) bạn nữ hai tổ còn lại là \(C_6^1.C_{12}^1 = 72\) cách chọn.

Vậy có \(27 + 55 + 72 = 154\) cách chọn.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.