Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là tập hợp gồm $k$ phần tử của $n$ phần tử đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp $\left\{ {1;\,\,2} \right\}$ là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của tập $A.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng khái niệm tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có $C_{20}^2$ cách.

Vậy tập hợp A có $C_{20}^2$ tập con có 2 phần tử.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lập một đoàn đại biểu gồm 5 người từ 10 người có $C_{10}^5 = 252$ cách.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số cách chọn $k$ phần tử trong số $n$ phần tử có số cách chọn là $C_n^k.$

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn 2  phần tử trong số 2020 phần tử có số cách chọn là $C_{2020}^2.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chọn k học sinh trong n học sinh theo thứ tự có $A_n^k$ cách chọn $\left( {k < n,\,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Lời giải chi tiết:

Chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó có $A_9^2$ cách chọn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức và tính chất của tổ hợp để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Công thức tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$ $\Rightarrow$ Đáp án A và C sai.

Tính chất: $C_n^k = C_n^{n - k}$ $\Rightarrow$ Đáp án B sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam.

- Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữa ta có các phương án sau:

Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam, có $C_{10}^1.C_{20}^2$ cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ, có $C_{10}^2.C_{20}^1$ cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: $C_{10}^1.C_{20}^2 + C_{10}^2.C_{20}^1 = 2920$ cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chọn $k$ học sinh trong số $n$ học sinh có số cách chọn là: $C_n^k$ cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn $2$ học sinh trong $10$ học sinh là:$C_{10}^2$ cách chọn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Có ${P_7}$ cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Có 3 bạn xếp vào 4 chỗ ngồi thì có $P_4^3 = 24$ cách xếp chỗ.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là:

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Chọn 1 học sinh nam trong 6 học sinh nam.

- Chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ.

- Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Chọn 1 học sinh nam có 6 cách.

Chọn 1 học sinh nữ có 4 cách.

Vậy số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là: $4.6 = 24$ (cách).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính tổng số học sinh. Số cách chọn một học sinh trong số $n$ học sinh là: $C_n^1.$

Lời giải chi tiết:

Ta có số học sinh là: $6 + 8 = 14$ (học sinh).

Như vậy có $C_{14}^1 = 14$ cách chọn một học sinh.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra một học sinh ta có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một học sinh nam, có 9 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một học sinh nữ, có $x$ cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có: $9 + x$ cách chọn ra một học sinh

Theo bài ra, ta có: $9 + x = 15 \Leftrightarrow x = 6$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

- Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ, có $C_6^2.C_8^1 = 120$ cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ, có $C_6^1.C_8^2 = 168$ cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: $120 + 168 = 288$ cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm tổ hợp: Giả sử tập hợp $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$. Mỗi tập hợp con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử$\left( {C_n^k} \right)$ đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập hợp con có 5 phần tử là số cách chọn 5 trong 10 phần tử

$\Rightarrow$ Có $C_{10}^5$ tập con gồm 5 phần tử của tập $A$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tổ hợp: Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$. Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {C_n^k} \right)$ đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ là $C_{30}^5$.

Chọn: D.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Để tạo thành 1 đội văn nghệ gồm 6 bạn mà số nam bằng số nữ thì ta cần 3 nam và 3 nữ.

Số cách chọn là: $C_5^3.C_5^3 = 100$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là số cách chọn $k$ phần tử khác nhau từ tập hợp có $n$ phần tử.

Lời giải chi tiết:

Số các tập con gồm 5 phần tử của $M$ là: $C_{30}^5$.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

${P_n} = n!$.

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

$5! - {P_4} = 5! - 4! = 96$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A: $C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Từ các chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$ lập được $A_7^3$ số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau.

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Tổng số học sinh của tổ là $5 + 7 = 12$ (học sinh).

Vậy số cách lấy 4 học sinh của nhóm để tham gia lao động là $C_{12}^4.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập $\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$ là $7! = 5040$.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Lấy một người làm mốc.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí: 5!.

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Phần tử đầu tiên cố định là a

$\Rightarrow$ Hoán vị 4 phần tử b,c,d,e còn lại ta có: 4! Cách

$\Rightarrow$ Có: $1.4!$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}$.

Lời giải chi tiết:

Cứ 2 điểm bất kì trong 2019 điểm đã cho sẽ tạo thành 2 véotơ khác véctơ không.

Do đó có tất cả số véctơ là: $2.C_{2019}^2 = 2.\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}} = \dfrac{{2019!}}{{2017!}}$

Chọn D.