30 bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp mức độ nhận biết

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,......;\,\,9;\,\,10} \right\}.\) Một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là:

  • A \(C_{10}^2\)
  • B \(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\)
  • C \(2!\)
  • D \(A_{10}^2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là tập hợp gồm \(k\) phần tử của \(n\) phần tử đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp \(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\) là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của tập \(A.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho tập A có 20 phần tử. Số tập con của A có 2 phần tử là:

  • A \({20^2}\)
  • B \({2^{20}}\)
  • C \(C_{20}^2\)
  • D \(A_{20}^2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng khái niệm tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có \(C_{20}^2\) cách.

Vậy tập hợp A có \(C_{20}^2\) tập con có 2 phần tử.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Với \(n\) là số nguyên dương tùy ý lớn hơn \(1,\) mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A \(C_n^2 = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)
  • B \(C_n^2 = n\left( {n - 1} \right).\)    
  • C \(C_n^2 = 2n.\)          
  • D \(C_n^2 = \frac{{n!\left( {n - 1} \right)!}}{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần gấp một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?

  • A \(30240.\)
  • B \(25.\)
  • C \(50.\)
  • D \(252.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lập một đoàn đại biểu gồm 5 người từ 10 người có \(C_{10}^5 = 252\) cách.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho tập hợp M có 2020 phần tử. Số tập con của M có 2 phần tử là:

  • A \(A_{2020}^2\)    
  • B \({2^{2020}}\)
  • C \(C_{2020}^2\)
  • D \({2020^2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số cách chọn \(k\) phần tử trong số \(n\) phần tử có số cách chọn là \(C_n^k.\)

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn 2  phần tử trong số 2020 phần tử có số cách chọn là \(C_{2020}^2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?

  • A \({2^9}\)
  • B \(C_9^2\)
  • C \({9^2}\)
  • D \(A_9^2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chọn k học sinh trong n học sinh theo thứ tự có \(A_n^k\) cách chọn \(\left( {k < n,\,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó có \(A_9^2\) cách chọn.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Giả sử \(k,\,\,n\) là các số nguyên bất kì thỏa mãn \(1 \le k \le n.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}\)
  • B \(C_n^k = kC_n^{k - 1}\)
  • C \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\)
  • D \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức và tính chất của tổ hợp để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Công thức tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) \( \Rightarrow \) Đáp án A và C sai.

Tính chất: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) \( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ.

  • A \(1140\)
  • B \(2920\)
  • C \(1900\)
  • D \(900\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam.

- Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữa ta có các phương án sau:

Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam, có \(C_{10}^1.C_{20}^2\) cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ, có \(C_{10}^2.C_{20}^1\) cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(C_{10}^1.C_{20}^2 + C_{10}^2.C_{20}^1 = 2920\) cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

  • A \(C_{10}^2.\)      
  • B \(A_{10}^2\)       
  • C \({10^2}.\)             
  • D \({2^{10}}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chọn \(k\) học sinh trong số \(n\) học sinh có số cách chọn là: \(C_n^k\) cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn \(2\) học sinh trong \(10\) học sinh là:\(C_{10}^2\) cách chọn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang ?

  • A \(C_7^1\).
  • B \(C_7^7\).        
  • C \({P_7}\).        
  • D \(A_7^1\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phép hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Có \({P_7}\) cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn A, B, C vào một dãy ghế hàng ngang có 4 chỗ ngồi?

  • A 4 cách.
  • B 64 cách.
  • C 6 cách.
  • D 24 cách.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Có 3 bạn xếp vào 4 chỗ ngồi thì có \(P_4^3 = 24\) cách xếp chỗ.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh ?

  • A \(A_{15}^4.\)
  • B \({4^{15}}.\)
  • C \({15^4}.\)
  • D \(C_{15}^4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phép tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là: \(\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong một nhóm có 6 nam và 4 nữ. Số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là:

  • A \(10\).
  • B \(45\).
  • C \(90\).
  • D \(24\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Chọn 1 học sinh nam trong 6 học sinh nam.

- Chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ.

- Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Chọn 1 học sinh nam có 6 cách.

Chọn 1 học sinh nữ có 4 cách.

Vậy số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là: \(4.6 = 24\) (cách).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?

  • A \(14\)
  • B \(48\)
  • C \(6\)
  • D \(8\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính tổng số học sinh. Số cách chọn một học sinh trong số \(n\) học sinh là: \(C_n^1.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có số học sinh là: \(6 + 8 = 14\) (học sinh).

Như vậy có \(C_{14}^1 = 14\) cách chọn một học sinh.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Một nhóm học sinh gồm 9 học sinh nam và \(x\) học sinh nữ. Biết rằng có 15 cách chọn ra một học sinh từ nhóm học sinh trên, khi đó giá trị của \(x\) là:

  • A \(24\)
  • B \(6\)
  • C \(12\)
  • D \(225\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra một học sinh ta có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một học sinh nam, có 9 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một học sinh nữ, có \(x\) cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(9 + x\) cách chọn ra một học sinh

Theo bài ra, ta có: \(9 + x = 15 \Leftrightarrow x = 6\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ?

  • A \(120\)
  • B \(168\)
  • C \(288\)
  • D \(364\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

- Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ, có \(C_6^2.C_8^1 = 120\) cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ, có \(C_6^1.C_8^2 = 168\) cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(120 + 168 = 288\) cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho tập \(A\) gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của tập \(A\) là

  • A \({5^{10}}\)
  • B \(A_{10}^5\)
  • C \(C_{10}^5\)
  • D \({P_5}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm tổ hợp: Giả sử tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi tập hợp con gồm \(k\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử\(\left( {C_n^k} \right)\) đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập hợp con có 5 phần tử là số cách chọn 5 trong 10 phần tử

\( \Rightarrow \) Có \(C_{10}^5\) tập con gồm 5 phần tử của tập \(A\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho tập hợp \(M\) có \(30\) phần tử. Số tập con gồm \(5\) phần tử của \(M\) là

  • A \(A_{30}^4\)
  • B \({30^5}\)
  • C \({5^30}\)
  • D \(C_{30}^5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tổ hợp: Giả sử tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {C_n^k} \right)\) đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập con gồm \(5\) phần tử của \(M\) là \(C_{30}^5\).

Chọn: D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong lớp học có 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Có bao nhiêu cách chọn đội văn nghệ gồm 6 bạn sao cho số nam bằng số nữ?

  • A \(100\).
  • B \(255\).
  • C \(150\).
  • D \(81\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Để tạo thành 1 đội văn nghệ gồm 6 bạn mà số nam bằng số nữ thì ta cần 3 nam và 3 nữ.

Số cách chọn là: \(C_5^3.C_5^3 = 100\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tập hợp \(M\) có 30 phần tử. Số các tập con gồm 5 phần tử của \(M\) là:

  • A \({30^5}\).
  • B \(A_{30}^4\).
  • C \(C_{30}^5\).
  • D \({30^6}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) là số cách chọn \(k\) phần tử khác nhau từ tập hợp có \(n\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Số các tập con gồm 5 phần tử của \(M\) là: \(C_{30}^5\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

Câu 1:

Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho là

  • A \(A_{18}^3\)
  • B \(C_{18}^3\)
  • C \(6\)
  • D \(\dfrac{{18!}}{3}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

a) Chọn ra 3 điểm bất kì trong 18 điểm sẽ tạo thành 1 tam giác: \(C_{18}^3\)cách chọn.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập điểm đã cho là

  • A \(A_{18}^2\)
  • B \(C_{18}^2\)
  • C \(9\)
  • D \(\dfrac{{18!}}{2}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Chọn 2 điểm trong 18 điểm và hoán đổi vị trí sẽ tạo thành 1 vec tơ: \(A_{18}^2\)cách.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Công thức tính số hoán vị \({P_n}\) là

  • A \({P_n} = \left( {n - 1} \right)!.\)
  • B \({P_n} = \left( {n + 1} \right)!.\)
  • C \({P_n} = \dfrac{{n!}}{{n - 1}}.\)
  • D \({P_n} = n!.\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\({P_n} = n!\).

Chọn D.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Số (5! – P4) bằng: 

  • A 5
  • B 12
  • C 24
  • D 96

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(5! - {P_4} = 5! - 4! = 96\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Với \(n\) là số nguyên dương tùy ý lớn hơn \(1,\) mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A \(C_n^2 = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
  • B \(C_n^2 = n\left( {n - 1} \right)\)
  • C \(C_n^2 = 2n\)
  • D \(C_n^2 = \dfrac{{n!\left( {n - 1} \right)!}}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A: \(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Từ các chữ số \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?

  • A \(A_7^3\).
  • B \({7^3}\).
  • C \({3^7}\).
  • D \(C_7^3\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Từ các chữ số \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\) lập được \(A_7^3\) số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau.

Chọn: A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Một nhóm học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Số cách chọn 4 học sinh của nhóm để tham gia buổi lao động là

  • A \(A_{12}^4.\)
  • B \(C_5^4 + C_7^4.\)
  • C \(4!\).
  • D \(C_{12}^4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Tổng số học sinh của tổ là \(5 + 7 = 12\) (học sinh).

Vậy số cách lấy 4 học sinh của nhóm để tham gia lao động là \(C_{12}^4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tìm các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).

  • A \(4005\)
  • B \(5004\)
  • C \(5040\)
  • D \(4050\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) là \(7! = 5040\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào một bàn tròn có 6 chỗ ngồi?

  • A 120. 
  • B 360. 
  • C 150. 
  • D 720.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Lấy một người làm mốc.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí: 5!.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Số các hoán vị của dãy \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\) mà phần tử đầu tiên bằng \(a\) là:

  • A \(5!\)
  • B \(4!\)
  • C \(3!\)
  • D \(2!\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Phần tử đầu tiên cố định là a

\( \Rightarrow \) Hoán vị 4 phần tử b,c,d,e còn lại ta có: 4! Cách

\( \Rightarrow \) Có: \(1.4!\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt. Hỏi có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ không mà có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2019 điểm trên ?

  • A \(\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}}.\)
  • B \(\dfrac{{2019!}}{{2!}}.\)
  • C \(\dfrac{{2017!}}{{2019!}}.\)
  • D \(\dfrac{{2019!}}{{2017!}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\).

Lời giải chi tiết:

Cứ 2 điểm bất kì trong 2019 điểm đã cho sẽ tạo thành 2 véotơ khác véctơ không.

Do đó có tất cả số véctơ là: \(2.C_{2019}^2 = 2.\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}} = \dfrac{{2019!}}{{2017!}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.