Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là tập hợp gồm \(k\) phần tử của \(n\) phần tử đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp \(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\) là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của tập \(A.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng khái niệm tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có \(C_{20}^2\) cách.

Vậy tập hợp A có \(C_{20}^2\) tập con có 2 phần tử.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Lập một đoàn đại biểu gồm 5 người từ 10 người có \(C_{10}^5 = 252\) cách.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số cách chọn \(k\) phần tử trong số \(n\) phần tử có số cách chọn là \(C_n^k.\)

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn 2  phần tử trong số 2020 phần tử có số cách chọn là \(C_{2020}^2.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chọn k học sinh trong n học sinh theo thứ tự có \(A_n^k\) cách chọn \(\left( {k < n,\,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó có \(A_9^2\) cách chọn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức và tính chất của tổ hợp để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Công thức tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) \( \Rightarrow \) Đáp án A và C sai.

Tính chất: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) \( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam.

- Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữa ta có các phương án sau:

Phương án 1: Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam, có \(C_{10}^1.C_{20}^2\) cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nữ, có \(C_{10}^2.C_{20}^1\) cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(C_{10}^1.C_{20}^2 + C_{10}^2.C_{20}^1 = 2920\) cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chọn \(k\) học sinh trong số \(n\) học sinh có số cách chọn là: \(C_n^k\) cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn \(2\) học sinh trong \(10\) học sinh là:\(C_{10}^2\) cách chọn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Có \({P_7}\) cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Có 3 bạn xếp vào 4 chỗ ngồi thì có \(P_4^3 = 24\) cách xếp chỗ.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là: \(\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Chọn 1 học sinh nam trong 6 học sinh nam.

- Chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ.

- Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Chọn 1 học sinh nam có 6 cách.

Chọn 1 học sinh nữ có 4 cách.

Vậy số cách chọn ra hai người có cả nam và nữ là: \(4.6 = 24\) (cách).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính tổng số học sinh. Số cách chọn một học sinh trong số \(n\) học sinh là: \(C_n^1.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có số học sinh là: \(6 + 8 = 14\) (học sinh).

Như vậy có \(C_{14}^1 = 14\) cách chọn một học sinh.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Để chọn ra một học sinh ta có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một học sinh nam, có 9 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một học sinh nữ, có \(x\) cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(9 + x\) cách chọn ra một học sinh

Theo bài ra, ta có: \(9 + x = 15 \Leftrightarrow x = 6\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực hiện 2 phương án:

- Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

- Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết:

Phương án 1: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ, có \(C_6^2.C_8^1 = 120\) cách thực hiện.

Phương án 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ, có \(C_6^1.C_8^2 = 168\) cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng, ta có: \(120 + 168 = 288\) cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm tổ hợp: Giả sử tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi tập hợp con gồm \(k\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử\(\left( {C_n^k} \right)\) đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập hợp con có 5 phần tử là số cách chọn 5 trong 10 phần tử

\( \Rightarrow \) Có \(C_{10}^5\) tập con gồm 5 phần tử của tập \(A\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tổ hợp: Giả sử tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {C_n^k} \right)\) đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số tập con gồm \(5\) phần tử của \(M\) là \(C_{30}^5\).

Chọn: D.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Để tạo thành 1 đội văn nghệ gồm 6 bạn mà số nam bằng số nữ thì ta cần 3 nam và 3 nữ.

Số cách chọn là: \(C_5^3.C_5^3 = 100\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) là số cách chọn \(k\) phần tử khác nhau từ tập hợp có \(n\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Số các tập con gồm 5 phần tử của \(M\) là: \(C_{30}^5\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

\({P_n} = n!\).

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

\(5! - {P_4} = 5! - 4! = 96\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A: \(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Từ các chữ số \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\) lập được \(A_7^3\) số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau.

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Tổng số học sinh của tổ là \(5 + 7 = 12\) (học sinh).

Vậy số cách lấy 4 học sinh của nhóm để tham gia lao động là \(C_{12}^4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị.

Lời giải chi tiết:

Số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) là \(7! = 5040\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Lấy một người làm mốc.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí: 5!.

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Phần tử đầu tiên cố định là a

\( \Rightarrow \) Hoán vị 4 phần tử b,c,d,e còn lại ta có: 4! Cách

\( \Rightarrow \) Có: \(1.4!\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\).

Lời giải chi tiết:

Cứ 2 điểm bất kì trong 2019 điểm đã cho sẽ tạo thành 2 véotơ khác véctơ không.

Do đó có tất cả số véctơ là: \(2.C_{2019}^2 = 2.\dfrac{{2019!}}{{2!.2017!}} = \dfrac{{2019!}}{{2017!}}\)

Chọn D.