Giá trị của tích phân $\int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $ là
-
A.
$0$.
-
B.
$ - 4043\sqrt 2 $.
-
C.
$2\sqrt 2 $.
-
D.
$4034\sqrt 2 $.
Nhận xét tính chất tuần hoàn của hàm số dưới dấu tích phân, từ đó suy ra \(\int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} = \int\limits_T^{2T} {f\left( x \right)dx} = ... = \int\limits_{\left( {n - 1} \right)T}^{nT} {f\left( x \right)dx} \)
Do hàm số $f(x) = \sqrt {1 - \cos 2x} = \sqrt 2 \left| {\sin x} \right|$là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì $T = \pi $ nên ta có
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^T {f\left( x \right)dx = \int\limits_T^{2T} {f\left( x \right)dx} } = \int\limits_{2T}^{3T} {f\left( x \right)dx} \\ = ... = \int\limits_{\left( {n - 1} \right)T}^{nT} {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{nT} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} \\+ \int\limits_T^{2T} {f\left( x \right)dx}+ \int\limits_{2T}^{3T} {f\left( x \right)dx} + ... + \\ \int\limits_{\left( {n - 1} \right)T}^{nT} {f\left( x \right)dx} = n\int\limits_{0}^{T} {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} \\= 2017\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} \\ = 2017\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\sin x dx = 4034\sqrt 2 } \end{array}\)
Đáp án : D
Một số em có thể sẽ giải như sau:
\(\int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} = \int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {2{{\sin }^2}x} dx} \) \( = \sqrt 2 \int\limits_0^{2017\pi } {\sin xdx} = 2\sqrt 2 \)
Cách giải trên là chưa đúng vì ta chưa biết dấu của \(\sin x\) trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right)\) nên không thể phá dấu giá trị tuyệt đối như trên.
Danh sách bình luận