Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)dx} $ là:
-
A.
$I = \frac{{32}}{{128}}\pi $.
-
B.
$I = \frac{{33}}{{128}}\pi $.
-
C.
$I = \frac{{31}}{{128}}\pi $.
-
D.
$I = \frac{{30}}{{128}}\pi $.
Biến đổi $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$ làm xuất hiện các hàm số lượng giác cơ bản tính được tích phân.
Ta có:
$\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$
\( = \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\)\(\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\)
\( = \left( {1 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\left( {1 - \dfrac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right)\)\( = 1 - \dfrac{5}{4}{\sin ^2}2x + \dfrac{3}{8}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2}\)\( = 1 - \dfrac{5}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + \dfrac{3}{8}.{\left( {\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}\)\( = \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\cos 4x + \dfrac{3}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\)\( = \dfrac{{15}}{{32}} + \dfrac{7}{{16}}\cos 4x + \dfrac{3}{{32}}{\cos ^2}4x\)\( = \dfrac{{15}}{{32}} + \dfrac{7}{{16}}\cos 4x + \dfrac{3}{{32}}.\dfrac{{1 + \cos 8x}}{2}\)\( = \dfrac{{33}}{{64}} + \dfrac{7}{{16}}\cos 4x + \dfrac{3}{{64}}\cos 8x\)
Do đó $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{33}}{{64}} + \dfrac{7}{{16}}\cos 4x + \dfrac{3}{{64}}\cos 8x} \right)dx} $$ = \left. {\dfrac{{33}}{{64}}x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \left. {\dfrac{7}{{64}}\sin 4x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \left. {\dfrac{3}{{512}}\sin 8x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}$$ = \dfrac{{33}}{{128}}\pi $
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx} = {e^2} - 1\), khi đó \(a\) có giá trị bằng
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \([0;\pi ]\) đạt giá trị bằng \(0\) ?
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác \(2\)?
Tích phân \(I = \int\limits_2^5 {\dfrac{{dx}}{x}} \) có giá trị bằng
Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng
Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e\) thì giá trị của \(K\) là
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} \) có giá trị bằng
Tích phân \(\int\limits_0^3 {x(x - 1) dx} \) có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{(x + 1)}^3}}}} $ bằng
Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} $, $J = \int\limits_0^2 {xdx} $. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$
Tích phân $I = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{4{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} dx$ có giá trị bằng
Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng
Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:
Tích phân $\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - x + 4}}{{x + 1}}} dx$ bằng
Tìm hai số thực \(A,B\) sao cho $f(x) = A\sin \pi x + B$, biết rằng \(f'(1) = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 4} \).
Giá trị của a để đẳng thức \(\int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + (4 - 4a)x + 4{x^3}} \right]dx} = \int\limits_2^4 {2xdx} \) là đẳng thức đúng
Giá trị của tích phân$I = \int\limits_0^2 {\min \left\{ {1,{x^2}} \right\}dx} $ là
Giá trị của tích phân $\int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $ là
Biết rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = a + \ln b} \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(2a + 3b\) bằng
