Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
B.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
C.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
-
D.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.
Theo bất đẳng thức Cô si:
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$
Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:
\(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}\)
$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $
Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $
Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:
\(\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
Chọn câu đúng.
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
